1625913943-4651bd14c87f2eac7915671b5ee6e807 (536942), страница 50
Текст из файла (страница 50)
уравнение 6.57) по полиномам Лежандра,^ ′ = 0∞ ∑︁∑︁ ℓ (cos ()),ℓ+1 () ℓ(12.68)ℓ=0где () — зависящий от времени угол между r и R(). Первый порядоктеории возмущений, зависящих от времени (см. уравнение 1.12), даёт для12.7. Кулоновское возбуждение339амплитуды перехода → ∫︁ 0 ∑︁ ∞ = − ℓ+1~ ()−∞ℓ⃒ ⟩⟨ ⃒⃒∑︁⃒⃒⃒⃒ ℓ ℓ (cos ())⃒ .⃒ ⃒(12.69)Если траектория () достаточно далека от мишени, мультипольное разложение (12.69) быстро сходится и мы можем ограничиться нижнимимультипольностями . Монопольный член ℓ = 0 не даёт вклада в неупругоерассеяние в силу ортогональности состояний |⟩ и | ⟩. В атомной физикеглавный член соответствует дипольным переходам ℓ = 1. В ядерной физике сильнейшие низколежащие переходы имеют в большинстве случаевквадрупольный характер ℓ = 2.Рассмотрим дипольный случай более детально,⟨ ⃒)︂⃒ ⟩∫︁⃒∑︁ (︂ R() ⃒⃒0 ∞⃒⃒ r · = −⃒ .⃒~ −∞ 2 ()() ⃒(12.70)Если координатные оси направлены как на рис. 12.3, оператор в (12.70)может быть записан как(︂)︂R()r ·= sin () + cos (),(12.71)()где все углы для далёких траекторий приближённо совпадают с ().
Еслимишень в начальном состоянии имеет сферически симметричное распределение заряда, то орбитальный момент налетающей частицы сохраняетсявдоль траектории: = = 2 ˙,=2(12.72)где b — прицельный параметр (рис. 12.3). Вводя оператор дипольного момента и переходя от времени вдоль траектории к углу (), мы приходим камплитуде () = −0~∫︁() () [( ) sin + ( ) cos ],(12.73)−где () — классический угол рассеяния при → ∞ для траектории падающей частицы вдоль оси и прицельного параметра .340Глава 12 Рассеяние быстрых заряженных частицЧасть траектории, отвечающая наименьшему расстоянию ∼ , даётосновной вклад в вероятность возбуждения.Если положить = 0 в момент√наибольшего сближения, то () ≈ 2 + 2 2 для далёких траекторийс малым углом рассеяния. Поэтому эффективное время взаимодействиябудет порядка = /.
Если это время слишком велико, ≫ −1 , то возмущение меняется слишком медленно, и мы приходим к адиабатическомурежиму с малой вероятностью возбуждения. Для < −1 мы можем пренебречь экспонентой в подынтегральном выражении в (12.73) и в результатеинтегрирования получаем () = −)︁0 (︁−( ) [1 + cos ()] + ( ) sin () .~(12.74)Поскольку угол рассеяния () предполагается малым, то главный вкладв (12.74) идёт от компоненты дипольного момента, перпендикулярной поотношению к направлению падающего пучка, () ≈20( ) .~(12.75)Задача 12.2Используя дипольное правило сумм (см.
т. 1, уравнение (7.138)), показать,что (12.75) даёт тот же результат (12.65) для потерь энергии.РешениеСредние потери энергии в столкновении с прицельным параметром описываются в приближении (12.75) выражением(︂ )︂∑︁42 ∑︁−=| ()|2 ( − ) = 2 02 2|( ) |2 ( − ). (12.76) ~ Используя дипольное правило сумм получаем(︂ )︂220 2 1−=, 2 2(12.77)где — масса составляющих мишени. Наконец, интегрирование по прицельным параметрам(︂ )︂∫︁−= 2 (12.78) 12.7. Кулоновское возбуждение341воспроизводит результат (12.65), если в качестве пределов интегрированиявыбрать значения, обсуждавшиеся выше.В квантовой теории все физическиесущности имеют свойства как полей, так ичастиц и поэтому квантовая теория,несмотря на свою сложность, демонстрируетглубокую гармонию природы.С.Н.
Гупта «Квантовая электродинамика»Глава 13Фотоны13.1. Введение: классическое и квантовое полеВ нашем обсуждении когерентных состояний (см. т. 1, разд. 12.6) мы касались вопроса о связи между классическим и квантовым описанием фазы иинтенсивности волны (измеряемой числом квантов) в одномодовой системе.Классический предел получается, когда многоквантовая функция, такаякак, например, описывающая когерентное состояние, имеет определённуюфазу и малые относительные флуктуации числа квантов Δ/ ≪ 1.
Этовыполняется в пределе ≫ 1, когда интенсивность настолько велика,что дискретность числа квантов становится физически несущественной.Противоположный предел малых требует полного квантового описания.Нам нужно развить описание электромагнитного поля и, в общем случае,любого волнового поля в квантовом пределе.В наших предыдущих подходах предполагалось, что движение частицопределяется заданными внешними полями потенциальной или магнитнойприроды, стационарными или зависящими от времени. Такое описаниезаведомо имеет ограниченную область применимости. В приближениификсированного поля пренебрегается обратным влиянием частиц на поле.Квантовые системы излучают и поглощают фотоны и поэтому меняютвнешнее поле.
Этим можно пренебречь только для классических интенсивных полей. В противоположной ситуации квантовая природа поля иего взаимодействия с веществом становится решающей. В общем случаеполе само должно рассматриваться как специфическая квантовая система,взаимодействующая с другими квантовыми системами (твёрдыми телами, молекулами, атомами, ядрами, частицами).
Новое свойство поля, посравнению с нашим предыдущим опытом, заключается в том, что полеимеет бесконечное число степеней свободы — его «координатами» являются344Глава 13 Фотоныамплитуды поля в каждой точке пространства. Поле (например, электрическое поле ℰ ) может иметь классический смысл только после усредненияпо некоторому пространственному объёму Δ и промежутку времени Δ.Такое усреднение связано с неопределённостью в энергии Δ ∼ ~/Δ.В классическом случае эта неопределённость должна быть меньше, чемполная энергия поля в этом объёме ∼ ℰ 2 Δ ≫ ~/Δ. Если нас интересует компонента поля с частотой или периодом ∼ 1/, то временнойинтервал усреднения должен быть много меньше , иначе поле усреднится до нуля.
Это значит, что Δ ≪ 1/, и поэтому ~/Δ ≫ ~. Отсюдаследует, что средняя энергия классического поля должна удовлетворятьусловию ≫ ~, и среднее число квантов в классическом пределе велико, ∼ /~ ≫ 1. Это условие необходимо для того, чтобы можнобыло игнорировать влияние процессов излучения и поглощения на поле(Δ ≪ ).Квантование классического поля, как и любой переход к более общейтеории, требует некоторых постулатов. Мы рассмотрим эту процедурудля электромагнитного поля в упрощённом виде; полную теорию можнонайти в книгах по квантовой электродинамике [8]. Мы рассмотрим толькополя излучения в пустом пространстве и покажем, как можно перейти отнепрерывно меняющихся волновых полей ℰ и ℬ к фотонам (вспомните т.
1,гл. 1), число которых, их энергия и импульс могут меняться дискретно впроцессах излучения и поглощения квантов веществом.13.2. Гамильтоново описание поля излученияНаша стратегия будет заключаться в следующем. Энергию классическогоэлектромагнитного поля мы представим как сумму энергий бесконечнобольшого числа гармонических осцилляторов с различными волновымивекторами, поляризациями и частотами.
Затем мы постулируем, что этиосцилляторы могут быть проквантованы стандартным образом.Поле излучения, распространяющееся в свободном пространстве, можетописываться в различных калибровках. Пользуясь этой свободой, мы всегда можем работать только с векторным потенциалом A(r, ), полагая,что скалярный потенциал отсутствует = 0 (радиационная калибровка).Дополнительно в свободном пространстве div ℰ = 0, что будет выполняться,еслиdiv A = 0.(13.1)13.2. Гамильтоново описание поля излучения345Радиационная калибровка очень удобна для наших целей. Чтобы избежатьвопросов, связанных с поведением полей на бесконечности, мы используемпериодические граничные условия во вспомогательном объёме = 3 ;реальный резонатор может описываться подобным же образом. В этомслучае все волновые вектора дискретны (см.
т. 1, разд. 3.8).Мы начнём с пространственного фурье-разложения классического векторного потенциала. Векторный потенциал — действительная величина, анаши базисные функции — комплексные плоские волны. Из-за этого нашеразложение должно состоять из двух комплексно сопряжённых слагаемых,)︁∑︁(︁A(r, ) =bk ()(k·r) + b*k ()−(k·r) .(13.2)kИз-за условия калибровки (13.1) комплексные вектора bk () должны бытьортогональны своим волновым векторам:(k · bk ) = 0.(13.3)Таким образом, при условии (13.1), поперечный характер поля излученияучитывается автоматически с самого начала.Временная зависимость амплитуд bk () определяется динамикой классических полей.
В пространстве, свободном от зарядов и токов, векторныйпотенциал подчиняется волновому уравнению(︂)︂1 22A(r, ) ≡− ∇ A(r, ) = 0.(13.4)2 2Поскольку различные компоненты разложения (13.2) линейно независимы,то каждая из них должна удовлетворять волновому уравнению. Это даётbk () = bk − , = .(13.5)Здесь мы полагаем > 0, а решения с < 0 содержатся во второмчлене суммы (13.2); в обеих частях мы суммируем по всем квантованнымвекторам k.Векторный потенциал определяет электрическое и магнитное поля:ℰ =−)︁1 A ∑︁ (︁= bk ()(k·r) − b*k ()−(k·r) , k(13.6)346Глава 13 Фотоныℬ = curl A = ∑︁(︁)︁k × bk ()(k·r) − b*k ()−(k·r) .(13.7)kС этими выражениями мы можем сосчитать энергию поля излучения,∫︁ℰ 2 + ℬ23 = el + magn =.(13.8)8Энергия свободного поля должна сохраняться.
Однако прямая подстановкаразложений (13.6) и (13.7) в (13.8) даёт, на первый взгляд, зависящие отвремени члены. Проследим теперь, как неправильные члены сокращаются.Интеграл по объёму от произведения двух экспонент, которые входят ввыражение для квадрата поля, даёт символ Кронекера∫︁′3 (k±k )·r = k′ ,∓k .(13.9)Коль скоро два вектора в каждом сомножителе имеют одну и ту же величину k′ = ±k, то соответствующие частоты равны ′ = . Электрическаячасть энергии приводится кel =)︁ (︁)︁}︁ ∑︁ 2 {︁(︁(bk · b*k ) + (c.c.) − (bk · b−k )−2 + (c.c.) . (13.10)8kТем же путём мы для магнитной энергии получаемmagn =)︁ (︁)︁}︁ ∑︁{︁(︁[k×bk ]·[k×b*k ]+(c.c.) + [k×bk ]·[k×b−k ]−2 +(c.c.) .8k(13.11)В обоих выражениях (с.с.) означает комплексно сопряжённый член. Легкоувидеть, что из-за поперечного характера поля (13.3) не зависящие от времени члены в электрическом и магнитном вкладах равны и складываются,в то время как зависящие от времени вклады сокращаются. Например,первый член в магнитной энергии содержит[k×bk ]·[k×b*k ] = (k ) (*k ) = ( − ) (k ) (*k )= 2 (bk · b*k ) − (k · bk )(k · b*k ) = 2 (bk · b*k ).(13.12)13.2.
Гамильтоново описание поля излучения347Поэтому члены, не сохраняющие энергию, исчезают и=)︁ ∑︁ 2 (︁ (bk · b*k ) + (c.c.) .4(13.13)kДо квантования величина (bk · b*k ) действительна и можно просто удвоитьэтот член. Однако впоследствии амплитуды bk станут операторами и ихпорядок действия в этих членах будет важен.Поперечная плоская волна может иметь две поляризации в плоскости,перпендикулярной k. Их можно описать с помощью двух ортогональных,действительных единичных векторов ek , = 1, 2, расположенных в этойплоскости:(e1k · e2k ) = (e1k · k) = (e2k · k) = 0.(13.14)Три единичных вектора e1k , e2k и e0k = k/ образуют правую декартовутройку и описывают две возможные линейные поляризации волны с даннымk.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
