1625913943-4651bd14c87f2eac7915671b5ee6e807 (536942), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Такие эксперименты идут уже много лет,но окончательный результат ещё не достигнут [57].11.6. Приближение вращающегося поляВернёмся к взаимодействию атомных состояний с периодическим электромагнитным полем — главной проблеме квантовой оптики. В предыдущихразделах мы видели решающую роль условия резонанса. Фактически мыуже обсуждали это в связи с магнитным резонансом (см. разд. 5.4) и вразд. 11.3, где речь шла о вырожденных состояниях; здесь мы рассмотрим резонансное приближение, которое полезно во многих практическихприложениях.В простейшей ситуации мы имеем двухуровневую систему, атом в монохроматическом поле. Атомные состояния мы будем называть |⟩ («основное» состояние) с невозмущённой энергией и |⟩ («возбуждённое»состояние) с энергией = + ~0 . Внешнее поле^ ′ () = ^ cos( + )(11.66)характеризуется своей частотой , которая, вообще говоря, отличается от0 , так что имеется расстройкаΔ = 0 − = − − ~.~(11.67)11.6.
Приближение вращающегося поля307Эрмитовское возмущение (11.66) индуцирует переходы как между состояниями |⟩ и |⟩, так и в другие атомные состояния. Мы будем предполагать, что оператор ^ = ^ † имеет большие матричные элементы ≡ ⟨|^ |⟩ = ⟨|^ |⟩* для переходов ↔ . В квантовой оптике наиболеесильными являются дипольные переходы между состояниями противоположной чётности.
В этом случае^ℰ · d),^ = −(ℰ(11.68)где ℰ — электрическое поле внешней электромагнитной волны.Далее мы ограничимся только двумя уровнями, пренебрегая переходами в другие состояния. Это приближение связано с резонансом, которыйотвечает условию Δ = 0. Таким образом, мы приходим к двухуровневой динамике, в которой волновая функция есть линейная комбинация состояний|⟩ и |⟩,|Ψ()⟩ = ()|⟩ + ()|⟩,(11.69)и амплитуды () и () удовлетворяют системе дифференциальных уравнений~˙ = + () ,~˙ = + * () .(11.70)Здесь мы используем произвольную зависимость от времени (), описывающую форму импульса поля.Во многих проблемах взаимодействия излучения с материей, когда рассматривается только пара атомных состояний, связанных сильными радиационными переходами, то удобно отобразить эти состояния на системуспина 1/2 (на современном языке это кубит — элементарная ячейка будущих квантовых компьютеров), см.
разд. 5.7. Состояние с ориентацией спинавверх или вниз отвечает соответственно большей или меньшей энергии, такчто гамильтониан свободного атома есть(︂)︂ + ^ ~00∘^ ==1+ .(11.71)at0 22Повышающий оператор + = (1/2)( + ) описывает поглощение резонансного кванта, в то время как понижающий оператор − = (1/2)( − )308Глава 11 Периодические возмущенияописывает излучение. Волновая функция изображается спинором(︂)︂ |⟩|Ψ⟩ =,(11.72) |⟩а полный гамильтониан даётся матрицей 2 × 2,^ =(︂ * () ())︂= + ^ ~0 + Re( ()) + Im( ()) .1+22(11.73)Выделяя невозмущённую зависимость от времени, мы приходим к представлению взаимодействия для новых амплитуд () = −(/~) (), () = −(/~) (),(11.74)которые удовлетворяют системе уравнений~˙ = ()−0 (),~˙ = * ()0 ().(11.75)Во многих случаях проблему можно заметно упростить, используя резонанс, так называемое приближение вращающегося поля.
Монохроматическое поле (11.68) может быть представлено как^ ′ () = 1 ^ [(+) + −(+) ],2(11.76)где полагается действительным, а его фаза включена в . Если расстройка мала, Δ ≪ 0 , в первом уравнении (11.75) первая экспонента из (11.76)почти сокращает исходную временную зависимость exp(−0 ), оставляятолько медленную зависимость от времени.
В теории возмущений этотчлен будет порождать малый энергетический знаменатель и, следовательно, большую вероятность перехода, как в случае резонансного члена в(11.7). Вторая экспонента быстро осциллирует и даёт нерезонансный вклад.В приближении вращающегося поля такими членами пренебрегают. Таким образом, мы оставляем только первую экспоненту из (11.76) в первомуравнении (11.75) и вторую экспоненту во втором уравнении. Системасвязанных уравнений в приближении вращающегося поля принимает вид~˙ =1 −(Δ+) (),21~˙ = (Δ+) ().2(11.77)11.6. Приближение вращающегося поля309Это приближение справедливо, если решение действительно содержиттолько плавную зависимость от времени.Задача 11.4Найти общее решение двухуровневой задачи в приближении вращающегося поля.РешениеВ действительности, эквивалентную проблему мы уже решали для магнитного резонанса (см.
разд. 5.4). Имеются два независимых решения:⎛⎞(︂)︂− − (Ω+Δ/2) ()⎠Ψ− () ==⎝(11.78) () +(Ω−Δ/2)+ и(︂Ψ+ () = () ())︂⎛=⎝−+ (−Ω+Δ/2)− −−(Ω+Δ/2)⎞⎠.Здесь мы положили Δ > 0 и ввели частоту Раби√︂12Ω=Δ2 + 2 ,2~(11.79)(11.80)в которую входит расстройка внешнего поля и расщепление 2 , как этовсегда имеет место в двухуровневой проблеме. Оба члена в уравнении дляΩ должны быть много меньше 0 , чтобы резонансное приближение былосправедливо.
Это значит, что поле волны, которое входит в , должнобыть много слабее электрического поля в атоме. При этом соотношениемежду Δ и может быть произвольным. Амплитуды ± равны√︂√Δ2± = 1 ±.(11.81)2ΩВ действительности, система уравнений даёт только линейную связь между+ и − ; в (11.78) и (11.79) они выбраны так, чтобы для не связанных сполем состояний ( → 0, Ω = Δ/2)(︂ )︂(︂ )︂10Ψ− → Ψ =, Ψ+ → Ψ =.(11.82)01310Глава 11 Периодические возмущенияОбщее решение с произвольными начальными условиями описываетсясуперпозициейΨ = − Ψ− + + Ψ+ .(11.83)Не следует забывать, что это получено в представлении взаимодействия ичто полная зависимость от времени получается возвращением к амплитудам () и () согласно (11.74).Выделяя полную зависимость от времени в амплитудах (), мы видим,что имеются четыре квазиэнергии, которые в порядке возрастания равны(︁)︁̃︀(−) = + ~ Δ − Ω ,(︁ 2)︁(+)̃︀ = + ~ Δ+Ω,(︁ 2)︁(11.84)̃︀(−) = − ~ Δ + Ω ,)︁(︁ 2(+)̃︀−Ω.
= − ~ Δ2Здесь имеется попарное соответствие:̃︀ (+) − ̃︀ (+) = ̃︀ (−) − ̃︀ (−) = ~(0 − Δ) = ~.(11.85)Верхнее состояние в каждой паре можно интерпретировать как нижнеесостояние плюс квант внешнего поля.11.7. Взаимодействие с квантованным полемРассмотрим теперь модель Джейнса—Каммингса [58, 59], где внешнеемонохроматическое поле представлено квантовым гармоническим осциллятором. Квантование поля детально будет обсуждаться в гл. 13. Здесьмы нуждаемся только в идее фотонов как квантов с энергией ~, которыемогут испускаться или поглощаться системами атомов. Моделируя полегармоническими квантами с возможными -квантовыми состояниями |⟩,мы сможем перейти к рассмотрению многофотонных процессов.В рамках двухуровневой системы во внешнем поле с малой расстройкой Δ мы имеем такие резонансные процессы: поглощение кванта, когдаполе теряет один квант, |⟩ → | − 1⟩, в то время как атом возбуждается, |⟩ → |⟩, и индуцированное излучение, которое отвечает переходам|⟩ → | + 1⟩, |⟩ → |⟩.
Индуцированные процессы генерируют фотон стеми же квантовыми числами, что и квант поля, до тех пор пока мы игнори-11.7. Взаимодействие с квантованным полем311руем некогерентное спонтанное излучение. Гамильтониан даётся спинорноймоделью (11.73), в которой внешнее поле представлено гармоническимосциллятором:)︂(︂ + ^ ~01†^+ ′.(11.86)=1+ + ~ ^ +222Резонансная часть гамильтониана взаимодействия может быть записанакак^ ′ = + ^ + * − ^† ,(11.87)где повышающие и понижающие спиновые операторы ± = ± имеютматричные элементы⟨|+ |⟩ = ⟨|− |⟩ = 1.(11.88)Заметим, что здесь нет никакой явной зависимости от времени, посколькуквантованное электромагнитное поле не есть внешний объект с заданнойвременной зависимостью; теперь оно включено в степени свободы всейсистемы.Полное гильбертово пространство генерируется базисными состояниями|; ⟩ и |; ⟩, которые характеризуются атомным уровнем и целым числом = ^† ^ квантов.
Кроме полной энергии, имеется другой очевидныйинтеграл движения — полное число квантов, если приписать системе в возбуждённом состоянии один квант. По этой причине только два состояниядля каждого > 0 связаны резонансным гамильтонианом: |; ⟩ и |; − 1⟩.Основное состояние |; 0⟩ (отсутствие квантов поля) является стабильным.Но, начиная с |; > 0⟩, мы получаем двухуровневую динамику с волновойфункцией(︃)︃()()|;−1⟩|Ψ() ⟩ =.(11.89)() () |; ⟩Задача 11.5Предполагая, что начальное состояние было суперпозицией многофотонных состояний с атомом в основном состоянии(︂)︂0|Ψ(0)⟩ = ∑︀,(11.90) |; ⟩312Глава 11 Периодические возмущениянайти динамику волновой функции при > 0.РешениеВ каждом двумерном секторе (11.89) удобно использовать представлениевзаимодействия, выделяя тривиальную невозмущённую динамику−(/~)[( + )/2+~] ()(), ()., () = (11.91)()Новые амплитуды , () удовлетворяют уравнению˙ () =Δ () + () ,2 ˙ () =−Δ () + * () ,2 (11.92)где мы учли матричные элементы гармонического осциллятора (см.
т. 1,уравнение 11.119) и ввели расстройку Δ и зависящий от параметр связи√ = (2 /~) . Эта система уравнений может выть решена так же, как ираньше, и для начального условия (11.90) мы получаем{︂ (︁(︁ Ω )︁}︂Ω )︁Δ() () = cos+sin,(11.93)2Ω2() () = −(︁ Ω )︁sin,Ω2(11.94)где частота Раби Ω зависит теперь не от амплитуды электрическогополя, как в (11.80), или от магнитного поля, как в уравнении 5.54, а от (интенсивность квантованного поля):√︀(11.95)Ω = Δ2 + | |2 .Осциллирующая зависимость амплитуд волновой функции от временипорождает явление воскрешения первоначального многофотонного волнового пакета (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
