1625913943-4651bd14c87f2eac7915671b5ee6e807 (536942), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Тогда адиабатические термыведут себя как () = +| |2+ ...,( − ′ )(10.51)где опущенные члены имеют энергетические знаменатели с более высокимистепенями . Разложение (10.51) определяет адиабатическую фазу (10.38): () = − 2| |2−ln + ...2~~( − ′ )(10.52)Не выписанные явно члены не растут при больших . Далее мы действуемкак в квазиклассике (см. т. 1, разд. 15.9-15.12), продолжая решение накомплексные значения . Мы предполагаем, что можно в комплекснойплоскости обойти точку пересечения = 0 вдоль дуги радиуса , которыйдостаточно велик, чтобы можно было пренебречь опущенными в (10.51)членами, но достаточно мал, чтобы приближение (10.50) было справедливо.По большой дуге = exp() мы должны связать отдалённое будущее, = 0, с отдалённым прошлым, = ±, где знак зависит от направленияобхода по контуру.
При больших главный член, ∝ 2 , в фазе (10.52)ведёт себя как ⇒ 2 2(−)2 =[− cos(2) + sin(2)].2~2~(10.53)Когда мы приближаемся к действительной оси при → ±, вещественнаячасть в (10.53) даёт экспоненциально большой фактор, когда sin(2) > 0;278Глава 10 Нестационарные возмущенияэто фиксирует направление обхода по верхней дуге. В конечной точкемы имеем = exp() и логарифмическая часть фазы (10.52) даётln() = ( ) + .
В результате амплитуда приобретает вещественныйэкспоненциальный множитель = ()(−/~)| |2 /( − )′= | |2 /[~( − )]′.(10.54)Амплитуда волны нижнего состояния |⟩ при больших отрицательных больше, чем амплитуда того же состояния при больших положительных на фактор (поскольку > ′ ). Таким образом, вероятность диабатического перехода через энергетическую щель между двумя адиабатическимиуровнями находится как =12= −2| | /[~( −′ )] .2(10.55)Вероятность остаться на адиабатической траектории есть 1 − .Здесь мы следовали подходу [48] для вывода вероятности переходаЛандау—Зенера [49], [50].
При очень малых скоростях, ~Δ ≪ ||2 , мывозвращаемся к экстремально адиабатическому режиму, → 0. Однакотакая маленькая вероятность не может быть получена в рамках обычнойтеории возмущений — результат имеет неаналитическую зависимость от( − ′ ). При быстром проходе, ~Δ ≫ ||2 , вероятность перехода близка к единице. Этот результат имеет широкую область применимости, отстолкновений молекул с электронными переходами между различнымиэнергетическими термами до ядерных реакций. Он может также быть обобщён на случай множественных пересечений [51], [48], аппроксимированныхпоследовательностью парных переходов.10.7. Геометрическая фазаПредположим, что внешние параметры ≡ () меняются со временем крайне медленно и, описав замкнутую траекторию в пространствепараметров, возвращаются к своим первоначальным значениям.
В такомадиабатическом процессе реальными переходами в другие состояния можнопренебречь, поэтому волновая функция |Ψ⟩ возвращается в своё начальноесостояние. При этом волновая функция из-за квантовой динамики может приобрести геометрическую фазу (M. Berry [25]), которую не следуетпутать с обычной динамической фазой (10.38).10.7. Геометрическая фаза279Если стартовать при = 0 со стационарного состояния |; (0)⟩, торешение уравнения Шрёдингера (10.39) при дальнейшей адиабатическойэволюции может быть представлено в форме единственного члена |; ()⟩в суперпозиции (10.40), но с неизвестной дополнительной фазой ()):|Ψ()⟩ = () () |; X()⟩.(10.56)Как и при выводе (10.43), проектируя на компоненту мгновенного векторасостояния |; ()⟩, мы приходим к уравнению для новой фазы:⃒⃒⟩∑︁ ⟨⃒ ⃒˙⃒⃒− () =; X() ˙ (),(10.57); X() ⃒ ⃒или, вводя формальный вектор градиента в пространстве параметров ∇ ,−˙ () = ⟨; X()|∇X |; X()⟩ · Ẋ().(10.58)После очень медленного и длинного обхода мы замыкаем контур ивозвращаемся в начальную точку в пространстве параметров.
Полная приобретённая фаза выражается тогда интегралом по замкнутому контуру:∮︁∮︁ = ⟨; X()|∇X |; X()⟩ · Ẋ() = X · ⟨; X|∇X |; X⟩. (10.59)Здесь временные характеристики произвольного медленного процесса исчезли и окончательное выражение имеет геометрический смысл с величинойфазы, зависящей в общем случае от контура . Поскольку состояния |; ⟩предполагаются нормированными при всех значениях параметров,⟨; X|; X⟩ = 1,(10.60)мы видим, что⟨∇X (; X)|; X⟩ ≡ ⟨; X|∇X |(; X)⟩* = −⟨; X|∇X |; X⟩.(10.61)Следовательно, подынтегральное выражение в (10.59) является мнимым, афаза действительна,∮︁ () = − ImX · ⟨; X|∇X |; X⟩.(10.62)280Глава 10 Нестационарные возмущенияЗадача 10.2Показать, что фаза инвариантна по отношению к выбору внутренней фазы () векторов состояния |; ⟩, которые предполагаются однозначными функциями параметров, |; ⟩ ⇒ exp(())|; ⟩ — аналогградиентного преобразования.РешениеИспользовать условие нормировки (10.60) и тот факт, что интеграл позамкнутому контуру от градиента однозначной функции равен нулю.В одномерном пространстве параметров замкнутый контур содержитпроход вперёд и назад по одному и тому же пути, поэтому геометрическаяфаза равна нулю.
Следуя [25], рассмотрим случай трёхмерного пространства параметров, где формулы векторного анализа помогут в получениирезультата. Интеграл (10.62) по замкнутому контуру есть циркуляциявектора ⟨|∇|⟩, где мы опустили аргумент . Циркуляция может бытьпреобразована в интеграл от плотности потока ротора этого вектора черезповерхность , натянутую на контур в пространстве параметров,∫︁∫︁ · curl ⟨|∇∇|⟩ = − Im ∇ ⟨|∇ |⟩. (10.63) () = − ImСимметричный по производным член ∼ ∇ ∇ |⟩ исчезает, так что∫︁∫︁ · ⟨∇∇| × |∇∇⟩. (10.64) () = − Im ⟨∇ |∇ ⟩ ≡ −Im Другая форма этого результата получается при использовании тождества(см. т.
1, формула 19.36) для недиагональных матричных элементов параметрического градиента. Если вставить полный набор состояний |′ ; ⟩между градиентами в (10.64), то диагональный вклад с ′ = исчезаетиз-за (10.61) и мы получаем геометрическую фазу как поток:∫︁ · V (X), () = − (10.65)10.7.
Геометрическая фаза281вектора Берри,V (X) = Im∑︁ ⟨ : X|∇X |^ ′ ; X⟩ × ⟨′ ; X|∇X |;^ X⟩.2[′ (X) − (X)]′(10.66) ̸=Снова следуя [25], мы можем рассмотреть пример частицы со спиномs в статическом магнитном поле ℬ . Частица описывается стандартнымгамильтонианом^ ℬ ) = −~(^s · ℬ ).(ℬ(10.67)Компоненты ℬ являются нашими параметрами , в то время как текущее состояние |⟩ будет обозначено |⟩ и характеризоваться проекциейспина = на медленно меняющееся направление поля, описываемоеединичным вектором b = ℬ̃/|ℬ| и энергией = −~.Задача 10.3Найти вектор Берри (b) для этого примера.РешениеВектор Берри даётся уравнением⃗ = ImV (ℬ)∑︁ ⟨|s|′ ⟩ × ⟨′ |s|⟩,ℬ 2 (′ − )2′(10.68) ̸=где текущее состояние |⟩, так же как и промежуточные состояния |′ ⟩⃗ Выбирая направление поля заберутся при текущем значении поля ℬ.ось при вычислении (10.68) и используя матричные элементы углового момента, находим, что вектор Берри направлен вдоль той же оси ,что естественно, так как направление поля — единственное выделенноенаправление в данном примере.
Действительно, поперечные компоненты, обращаются в ноль, поскольку для них требуется, чтобы один из матричных элементов в числителе был бы матричным элементом , которыйне имеет недиагональных матричных элементов. Для -компоненты имеем = Im∑︁ ( )′ ( )′ − ( )′ ( )′ ′ℬ 2 ( − ′ )2,(10.69)282Глава 10 Нестационарные возмущенияи так как здесь − ′ = ±1, можно воспользоваться полнотой промежуточных состояний и получить =∑︁11Im[( )′ ( )′ −( )′ ( )′ ] = 2 Im [^ , ^ ] = 2 .2ℬℬℬ′(10.70)Таким образом,ℬ) =V (ℬ1b = 3 ℬ = −∇ℬ .2ℬℬℬ(10.71)Результат (10.71) показывает, что поле вектора Берри в этом случаеесть поле «заряда» , помещённого в начало координат пространства магнитных параметров. Другими словами, это поле монополя, порождённоготочкой вырождения уровней энергии. Фаза Берри (10.65) в этом случаевычисляется по теореме Гаусса и равна () = −Ω(),(10.72)где Ω() есть видимый из начала координат телесный угол поверхности,натянутой на контур .
Этот результат справедлив как для целого, так и дляполуцелого спина . Для спина 1/2 полный поворот в плоскости на угол 2порождает телесный угол Ω = 2. При этом спинорная волновая функцияприобретает множитель exp(±1/2 ) = −1 в согласии со свойствами группы (2), см. разд. 5.1.Результат последнего примера не зависит от величины спина и, следовательно, от степени вырождения состояний в отсутствие магнитногополя. В общем случае сингулярности, связанные с пересечением уровнейпри некоторых значениях параметров (особые точки), являются источниками геометрической фазы. Это можно увидеть на примере пересечениядвух уровней.
Эффективный гамильтониан этой пары уровней (сравнитес (10.49)) всегда может быть записан через матрицы Паули как пропор · X), где коэффициенты X являются соответствующимициональный (параметрами (единичная матрица не даёт смешивания). Тогда мы возвращаемся к примеру с магнитным полем и спином = 1/2, где вектор Берри(10.71) равен±1/2 = ∓1 X.2 |X|3(10.73)10.8. Внезапные возмущения283Геометрическая фаза здесь по-прежнему описывается телесным углом(10.72).10.8. Внезапные возмущенияЭтот случай является противоположным по отношению к адиабатическому.
Здесь возмущение меняется настолько быстро, что его характерноевремя оказывается малым по сравнению с периодом, определяемым обратной частотой перехода ≪ 1/ . Ранее мы уже обсуждали случаймгновенного изменения потенциала, → 0, см. т. 1, задача 3.3. В этомслучае много фурье-компонент доступно для переходов.^ ′ () внезапно включается при = 0 и адиабатическиПусть возмущение затухает при → ∞. Если возмущение слабое, то можно воспользоваться общим результатом (10.14) и, действуя подобно (10.35), выразить вероятностьперехода как⃒∫︁⃒2′ () ⃒⃒1 ⃒⃒ ∞ (10.74) = 2 2 ⃒⃒ . ⃒~ ⃒ −∞В этом случае временная производная от ′ () не мала только в течение короткого промежутка времени вблизи = 0. Поскольку exp( ) почти неменяется внутри этого интервала, мы можем положить экспоненту равнойединице.
Остающийся интеграл даёт полный скачок матричного элемента,равный ′ () (возмущение отсутствовало при < 0), и, следовательно, =1~2 2|′ |2 .(10.75)Этот результат напоминает стационарную теорию возмущений, см. (4.16);действительно, после момента = 0 слабое возмущение практически неиндуцирует переходы.В более общем случае, когда нет ограничения на силу возмущения иединственное приближение связано с быстротой включения возмущения(малое ), можно развить специфическую теорию внезапных возмущений.^ до ^ 1 в коротком интервале времёнПусть гамильтониан меняется от от = 0 до = , оставаясь независящим от времени вне этого интервала.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
