1625913943-4651bd14c87f2eac7915671b5ee6e807 (536942), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Как можно увидеть из непосредственнойоценки, он может стать сопоставимым с предыдущим членом только вочень сильном магнитном поле и на удаленных орбитах. На фоне линейного члена квадратичные эффекты экспериментально наблюдались в спектрепоглощения щелочных металлов для переходов в сильно возбуждённыесостояния, ≫ 1, в магнитном поле ℬ ∼ 1 T (см. разд. 9.12).9.8. Нормальный квантовый эффект ЗееманаДля относительно слабого однородного магнитного поля мы можемпренебречь квадратичным членом гамильтониана (9.42). Также не будемпока принимать во внимание спиновый магнетизм.
Для бесспиновых частицс одинаковым соотношением / гамильтониан (9.42) становится равным∑︁^^ =^ ∘ − ~ ℬ ·^ ∘ − ~ ℬ · L,ℓ^ = 22(9.43)где L есть полный орбитальный момент системы. Гамильтониан (9.43) оченьпрост. Конечно, мы выбираем ось квантования вдоль магнитного поля,^ ∘ был инвариантентогда ℬ = ℬ .
Если невозмущённый гамильтониан относительно вращений, так что анизотропия возникает только за счётмагнитного поля, невозмущённые состояния имели определённые значения^2 и ^ . Невозмущённая энергия ∘ зависит от (и других квантовыхLчисел), но не от = . Как видно из (9.43), квантовые числа и^ Стационарные сохраняются и для возмущённого гамильтониана .cостояния | ⟩ остаются стационарными, хотя их энергии изменяются: = ∘ −~ℬ = ∘ − ℬ.2(9.44)Магнитное поле в этом случае просто расщепляет все вырожденные -мультиплеты на 2 + 1 компонент с различными значениями . Рас-252Глава 9 Атом в статическом полеMJ210–1–2J=2(B=0)10–1J=1σ–∆MJ=–1π∆MJ=0σ+∆MJ=+1Рис. 9.3. Нормальный квантовый эффект Зеемана и триплет Лоренца; пример переходов Δ = 0, ±1 между мультиплетами = 2 и = 1 с одинаковымгиромагнитным отношениемщепление линейно по величине поля и эквидистантно (рис.
9.3) с шагом,равным кванту ларморовской частоты: +1 − = − ℬ = −~ℬ = ~Ω .2(9.45)В отличие от электрического поля, вырождение сопряжённых по времени состояний ± снимается. Как обсуждалось выше, это связано с -нечётнымхарактером магнитного поля, которое действует противоположным образомна состояния с противоположными направлениями вращения.Эти результаты точно соответствуют классическому нормальному эффекту Зеемана. В самом деле, рассмотрим излучение невозмущённой частоты0 = (1∘ − 2∘ )/~, отвечающее переходу между двумя невозмущённымимультиплетами (рис.
9.3). При наличии магнитного поля вместо этого возникает ряд переходов между различными компонентами двух расщеплённыхмультиплетов. Возможные частоты равны=1 − 2 ∘ − 2∘ = 1−ℬ(1 − 2 ) = 0 + Ω Δ.~~~(9.46)9.9. Аномальный квантовый эффект Зеемана253Как мы увидим в теории излучения, наиболее интенсивными переходамиявляются переходы с изменением проекции Δ = 0, ±1. Это связано справилами отбора для дипольного излучения, которое в атомах имеетнаибольшую интенсивность по сравнению с другими мультиполями. Такиепереходы точно соответствуют лоренцевскому триплету = 0 , 0 ± Ω .Легко видеть, что поляризация излучаемых волн также совпадает с тем,что мы упоминали для классического случая. В -переходе, Δ = 0,излучаемый фотон не несёт углового момента в направлении , что означает,что волна линейно поляризована вдоль поля. -Переходы с Δ = ±1соответствуют круговой поляризации в плоскости, перпендикулярной полю.9.9.
Аномальный квантовый эффект ЗееманаАномальный квантовый эффект Зеемана возникает, когда во взаимодействие с магнитным полем даёт вклад спиновый член в гамильтониане (9.40).На практике это случается чаще, чем «нормальный» эффект. Для системыодинаковых частиц, например, атомных электронов с гиромагнитнымиотношениями ℓ и , гамильтониан (9.43) заменяется на∑︁^ + S)^ · ℬ, S^=^ =^ ∘ − ~(ℓ L^s .(9.47)Дальнейшие расчёты в значительной мере зависят от соотношения междувеличинами внешнего поля ℬ и «внутреннего» поля, ℬint ∼ (1/)[v × ℰ ] ∼1 − 10 T в атомах, которое приводит к расщеплению тонкой структуры,гл.
8.За исключением самых тяжёлых атомов, релятивистские эффекты неочень сильны, и -связь может служить хорошим приближением. Тогда и являются хорошими квантовыми числами многоэлектронных состояний.Пусть внешнее магнитное поле относительно слабо, так что зеемановскоерасщепление мало по сравнению с интервалами тонкой структуры; этообласть истинного эффекта Зеемана. В такой ситуации тонкая структураопределяет также как хорошее квантовое число. Состояния | = ⟩ служат правильными линейными комбинациями нулевого порядка.Физическую картину можно интерпретировать таким образом, что L и Sсвязаны спин-орбитальным взаимодействием в полный момент J, которыйпрецессирует вокруг поля ℬ .
Зеемановское расщепление даётся среднимзначением магнитного взаимодействия в подуровнях | ⟩ мультиплета.Задача полностью аналогична задаче разд. 8.5, и результат можно взятьнепосредственно из (8.55), изменив обозначения. Сдвиг энергии состояния254Глава 9 Атом в статическом поле| ⟩ равен = −~ℬ,(9.48)где эффективное гиромагнитное отношение вновь определяется факторомЛанде:=ℓ + ℓ − ( + 1) − ( + 1)+.22( + 1)(9.49)Здесь важно, что мы имеем дело с тождественными электронами, такчто гиромагнитные отношения ℓ = /~ и = 2 /~ такие же, как дляодного электрона∑︁ ()^ + S.^^=(ℓ ℓ^ + ()^s ) = ℓ L(9.50)В отличие от нормального эффекта Зеемана, здесь расщепление не универсально, а определяется всеми квантовыми числами , и . Уровень| ⟩ расщепляется на 2 + 1 эквидистантных компонент, в то времякак его центр тяжести не сдвигается,∑︁ () = 0.(9.51)Радиационные переходы между расщеплёнными по-разному зеемановскимимультиплетами дают в общем случае более трёх спектральных линий.Только спиновый синглет = 0 приводит к нормальному эффекту Зеемана.9.10.
Сильное магнитное полеСейчас мы переходим к случаю, когда магнитное поле является сильнымпо сравнению с расщеплением тонкой структуры, но конечно, всё ещёслабее, чем электростатическое расщепление между уровнями с различными значениями и , — только тогда мы можем использовать теориювозмущений.В таких «сильных» полях мы можем сначала пренебречь тонкой структурой. Орбитальный момент и спин тогда становятся несвязанными подсистемами, выстроенными независимо друг от друга вдоль магнитного поля^ и ^ коммутируют с гамильтонианом, который включаетℬ = ℬ . Тогда внешнее магнитное поле, но не спин-орбитальное взаимодействие, и дают9.10. Сильное магнитное поле255хорошие квантовые числа и . Рассуждая качественно, сильное магнитное поле разрушает спин-орбитальное взаимодействие и заставляет Lи S прецессировать по отдельности вокруг вектора ℬ (эффект Пашена—Бака).Правильные линейные комбинации в случае магнитного поля более сильного, чем тонкая структура, это несвязанные состояния | ⟩.
Среднее значение магнитной части гамильтониана (9.47) определяет сдвигиэнергии^ + ^ | ⟩ = −~ℬ(ℓ + ). = −~ℬ⟨ |ℓ (9.52)Подставляя стандартные гиромагнитные отношения для электронов, получаем = − ℬ( + 2 ).(9.53)Теперь спин-орбитальное взаимодействие (8.31) является вторичным эффектом, что в первом порядке приводит к дальнейшим сдвигам уровней(ℓ)^ · S)|^ = ⟨ | (L ⟩ = .(9.54)В промежуточных случаях спин-орбитальное взаимодействие и внешнее магнитное поле должны рассматриваться одновременно, что обычноприводит к секулярному уравнению некоторого порядка.
Несмотря на точто аналитически решить его невозможно, численную диагонализациювыполнить просто и, как правило, легко сделать качественную интерполяцию между предельными случаями слабого и сильного поля, для которыхрешение известно. Очень помогают соображения необходимости избегатьпересечения уровней с одинаковой симметрией (разд. I.10.5). В самом деле, предположим, что два уровня пересекаются при некотором значенииℬ = ℬ0 . Тогда их энергии близки в непосредственной близости от этогозначения. Эта эффективная двухуровневая задача обсуждалась в разделах I.10.4 и I.10.5.
Решение (I.10.42) показывает, что точное пересечениеможет произойти, только если одновременно выполняются два условия,11 (ℬ0 ) = 22 (ℬ0 ) и 12 (ℬ0 ) = 0. Два независимых условия, как правило,не могут быть удовлетворены при помощи выбора одного параметра ℬ0 .Пересечение происходит только в том случае, когда благодаря свойствамсимметрии элемент 12 смешивающей матрицы тождественно равен нулю.256Глава 9 Атом в статическом поле∆E(2p)m=3/22p3/2m=1/2m=–1/22p1/2m=–1/2m=1/2m=–3/2+1 +1/2+3/2+20 +1/2+1/2+1–1 +1/2+1 –1/2–1/2+1/2000 –1/2–1 –1/2–1/2–3/2–1–2mlmsm=ml+msml+2msQuantum numbers (strong field)Рис.
9.4. Схема уровней для 2-состояния водородоподобного атома в магнитномполеДля нашей задачи точной константой движения для любого значениямагнитного поля является только проекция = полного углового момента на направление поля. Уровни энергии (ℬ) сохраняют значение при изменении поля ℬ. Поскольку все матричные элементы гамильтонианамежду уровнями с различными исчезают, эти уровни могут пересекаться, а уровни одинаковой симметрии (с одинаковыми значениями ) непересекаются.Задача 9.7Начертить качественно расщепление уровня 2 в водородоподобном атомекак функцию магнитного поля.РешениеСм. рис. 9.4. В отсутствие магнитного поля мы имеем спин-орбитальноерасщепление между вырожденным дублетом 21/2 и вырожденным квартетом 23/2 , который смещён в сторону больших энергий.
В достаточносильном магнитном поле степень упорядоченности определяется, в соответствии с (9.53), квантовым числом ℓ + 2 . Полная проекция = ℓ + сохраняется при эволюции системы. Уровни с одинаковым не пересекаются.Задача 9.8Ядро со спином , гиромагнитным отношением и квадрупольныммоментом помещено в кристаллическую структуру, в которой имеетсяградиент электрического поля на ядре, (ℰ /)0 = −′′ . Кроме того,под углом с осью приложено статическое магнитное поле ℬ. Найтиэнергетическое расщепление мультиплета | ⟩.9.11.
Диамагнетизм257РешениеМы должны объединить электрический квадрупольный эффект (9.33),чётный по отношению к → − , с эффектом Зеемана. Осложнением приполуцелых значениях является то, что магнитное поле имеет поперечнуюкомпоненту ℬ sin , которая связывает состояния = ±1/2, которые былибы вырожденными при наличии только электрического поля. Поэтому мыдолжны рассмотреть отдельно это подпространство размерности 2 × 2, гдетребуется точная диагонализация магнитной части. В результате получим( ) = ′′[3 2 − ( + 1)] − ~ ℬ cos [1 + ( − 1)| |,1/2 ],4(2 − 1)(9.55)где параметр√︁ = 1 + ( + 1/2)2 tan2 (9.56)возникает при диагонализации.9.11. ДиамагнетизмМагнитные эффекты, связанные с линейными членами гамильтониана(9.42), исчезают, если состояние атома не имеет ни спина, ни орбитальногомомента, = = 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
