1625913943-4651bd14c87f2eac7915671b5ee6e807 (536942), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Для частицы со спином 1/2 и зарядом, не имеющей внутренней структуры, спиновое гиромагнитное отноше-8.5. Магнитный момент и спин-орбитальное взаимодействие227ние предсказывается релятивистским уравнением Дирака и равно = 2(в единицах соответствующего магнетона). Это привело бы к спиновомумагнитному моменту для свободной частицы, в точности равному одномумагнетону. Это так для электрона (или позитрона), с небольшими поправками порядка 10−3 из-за поляризации вакуума виртуальными электронпозитронными парами в квантовой электродинамике (КЭД).
Для нуклоновмы видим большую разницу между фактическими (8.58) и дираковскими()()значениями, = 2, = 0. Эта разница (аномальные магнитные моменты) порождается сильными взаимодействиями квантовой хромодинамики(КХД), ответственными за внутреннюю структуру нуклона.Задача 8.5Найдите магнитные моменты для протона и нейтрона в одночастичномсостоянии с квантовыми числами ℓ и . Поскольку нейтрон не несет электрического заряда, считайте, что орбитальные гиромагнитные отношениядля нуклонов равны (в единицах ядерных магнетонов)()ℓ= 1,()ℓ= 0.(8.59)РешениеДля = ℓ ± 1/2 находим одночастичные магнитные моменты () = −1+ ,2 () = ,1 =ℓ+ ,2(8.60)где и - величины (8.58), и () =(2 + 3) − 2,2( + 1) () = − ,+11 =ℓ− .2(8.61)Зависимость магнитных моментов от , описываемую (8.60) и (8.61), такназываемые линии Шмидта, 1937 г., для протонов и нейтронов можносравнить с экспериментальными данными для различных ядер, которыеимеют нечётное число протонов или нейтронов [31] .
Для прямого сравнениямы должны предположить, что весь магнитный момент ядра связан с последней нечётной («непарной») частицей, и экспериментально измеренныйполный угловой момент ядра равен угловому моменту этого последнегонуклона. В квазиклассическом пределе больших ≈ ℓ ≫ магнитныймомент нейтрона, имеющий, в силу (8.59), только спиновую часть, равен± для всех , в зависимости от параллельной или антипараллельной взаимной ориентации s и j; протонный магнитный момент линейно возрастает228Глава 8 Тонкая и сверхтонкая структуракак ± из-за орбитальной части. Следует отметить, что линии Шмидтауниверсальны и не несут информации о характеристиках центральногополя. В действительности одночастичные линии Шмидта дают лишь оченьприблизительное представление о фактических магнитных моментах ядер,которые заметно меняются из-за многочастичных эффектов.
Экспериментальные значения лежат в основном между линиями, и только если такоезначение действительно близко к одной из линий = ± 1/2, мы можемпопытаться определить орбитальный момент последнего нуклона.Задача 8.6Уравнение Паули. Покажите, что гамильтониан Паули^ =(︁)︁2 · (^p − (/)A)2(8.62)правильно описывает поведение электрона в магнитном поле ℬ = curl Aи предсказывает спиновое гиромагнитное отношение = 2 в классических единицах (/2). Этот гамильтониан возникает в нерелятивистскомпределе гамильтониана Дирака (разд. III.7.5).РешениеИспользуя алгебру спиновых матриц (разд.
5.2), мы получаем из (8.62)(︁)︁ (︁)︁^ = ( + ) 1 ^ − ^ − .2(8.63)Диагональный член ( ) не содержит операторов спина и совпадает свыражением для орбитального магнетизма, которое используется в нерелятивистской квантовой механике,(︁ )︁2^ orb = 1 p^− A .2(8.64)^ =p^ 2 /2, диамагЭтот член содержит обычную кинетическую энергию нитный член второго порядка(2)orb =2A2 ,22(8.65)и член первого порядка, отвечающий за орбитальный парамагнетизм,^ (1) = − (^^ ),p·A+A·porb2(8.66)8.5. Магнитный момент и спин-орбитальное взаимодействие229что в удобной симметричной калибровке для однородного статическогомагнитного поля1ℬ × r],A = [ℬ2[∇ × A] = ℬ ,∇·A=0(8.67)^ ))приводит к (в этой калибровке (^p · A) = (A · p(1)orb = −~ ^ℬ ×r]·^ℬ ). (8.68)(A·^[ℬp=−ℬ ·[r×^p] = −(ℓ ·ℬp) = −222Результат (8.68) означает, что орбитальный магнитный момент, определённый согласно^ (1) = −(^ ℓ · ℬ ),orb(8.69)равен^=~ ^ℓ2 =,2(8.70)т.
е. одному магнетону (при заданных значениях заряда и массы частицы).(Вспомните простой квазиклассический вывод этого результата, разделI.1.8).Оставшийся в уравнении (8.63) спиновый член антисимметричен и, следовательно, содержит только перекрёстные слагаемые:^ (1) = − (^ + ^ ) .spin2(8.71)Выражение в скобках в уравнении (8.71) можно переписать в виде^ + ^ = [^ , ] + ^ + ^ .(8.72)Последние два слагаемых симметричны относительно перестановки индексов ↔ и дают нуль при свёртке с антисимметричным тензором , вто время как коммутатор даёт^ (1) = − (−~) = − ~ [∇ × A] · ,spin22(8.73)или, поскольку ^s = /2,^ (1) = −(^ · ℬ ),spin^ = ~^s, == 2 .(8.74)230Глава 8 Тонкая и сверхтонкая структураТаким образом, уравнение Паули предсказывает, что спиновый магнитныймомент частицы спина 1/2 в состоянии покоя равен (1/2)~ , т.е.
опятьодному магнетону.8.6. Магнитная сверхтонкая структураДо сих пор при рассмотрении электронных атомных состояний было принято во внимание только кулоновское поле ядра. Однако, как мы знаем изразд. 7.5, ядра с ненулевым спином могут иметь также высшие мультипольные моменты внутреннего распределения заряда. Магнитные моментыупоминались в предыдущем пункте, они имеют величину порядка ядерных магнетонов. Многие ядра со спином > 1/2 обладают несферическимраспределением заряда, которое характеризуется электрическим квадрупольным моментом.
Высшие мультипольные моменты также изменяютполе, действующее на электроны, что приводит к появлению дополнительных членов в атомном гамильтониане. Соответствующие измененияатомных спектров наблюдаются как их сверхтонкая структура.Начнём с эффектов для ядерных магнитных моментов. Магнитное дипольное взаимодействие ядерного магнитного момента с магнитныммоментом электрона можно оценить по порядку величины как [1], S 44 ∼ · )(.3(8.75)Ядерный магнетон меньше магнетона Бора в отношении / массы электрона к массе протона, и среднее расстояние валентного электрона от ядраимеет порядок боровского радиуса , так что2 ∼ ∼3 (︂~)︂21 .3 (8.76)Сравнивая с расщеплением тонкой структуры (8.7), мы находим ∼ ℓ≃ 10−3 ℓ ∼ 10−7 ,(8.77)где есть типичная энергия связи электрона.
Малость эффекта оправдывает название сверхтонкая структура.Геометрия магнитной сверхтонкой структуры определяется эффективным гамильтонианом, который можно записать как взаимодействие ядерного магнитного момента с магнитным полем ℬ (0), создаваемым элек-8.6. Магнитная сверхтонкая структура231троном(ами) на ядре, расположенном в начале координат; ядро считаетсяточечным в этом приближении(︁)︁′^^^ℬ = − · (0) .(8.78)Из-за слабости магнитного взаимодействия мы можем ограничиться приближением теории возмущений, беря среднее значение возмущения (8.78)в невозмущенном состоянии ядра и электронов.
Ядерный магнитный дипольный оператор, в соответствии с векторной моделью, должен бытьпропорционален ядерному спину (полному угловому моменту ядра) I:^ = ~^I.(8.79)Гиромагнитное отношение было найдено в задаче 8.5 в одночастичномприближении; точное многочастичное значение можно взять из эксперимента.
Поле ℬ (0) должно быть усреднено по данной электронной конфигурации,что даёт аксиальный вектор, направленный, в соответствии с векторноймоделью, вдоль единственного вектора, характеризующего электроны какцелое — их полного углового момента J^ (0) = J.^ℬ(8.80)Здесь коэффициент зависит от конфигурации и должен вычисляться врамках атомной физики.Мы видим, что эффективный гамильтониан сверхтонкой магнитнойструктуры должен иметь форму^ · ^I) ≡ (J^ · ^I).^ ′ = −~ (J(8.81)Этот гамильтониан можно рассматривать совершенно аналогично гамильтониану тонкой структуры (8.46). Соответствие между ними очевидно,Тонкая структура Сверхтонкая структураSILJJ=L+SF = I + J.(8.82)Повторяя те же рассуждения, что и в случае тонкой структуры, мыконстатируем, что невозмущенные атомно-ядерные уровни с данными и, но с разным полным угловым моментом атома образуют мультиплетсверхтонкой структуры (2 + 1) уровней, если 6 , и (2 + 1) уровней,232Глава 8 Тонкая и сверхтонкая структураесли 6 . Каждый -уровень вырожден по общей проекции = .Сдвиг энергии за счёт взаимодействия (8.81) выражается как в (8.49), (, ) = (, )[ ( + 1) − ( + 1) − ( + 1)] ≡.22(8.83)Снова выполняется правило интервалов (8.49), (, ) − −1 (, ) = .(8.84)Таким образом, измерение сверхтонкого расщепления позволяет сделатьзаключение о постоянной и, следовательно, о магнитном моменте испине ядра.
Атомная постоянная должна рассчитываться независимо поволновой функции атома.8.7. Пример: один валентный электронВ качестве иллюстрации мы рассмотрим простейший случай, когда магнитное поле на ядре создаётся одним валентным электроном на орбите|ℓ⟩; полностью заполненные оболочки имеют нулевой угловой момент,так что их общее магнитное поле исчезает.В случае одного электрона вектор J сводится к j = ℓ + s.
Соответственно,магнитное поле имеет два источника. Поле орбитального момента можнонайти по закону Био—Савара [1, §43]. Классический заряд , движущийсясо скоростью v, создаёт на расстоянии r магнитное полеℬ ℓ (0) =[r × v].3(8.85)Соответствующий квантовый оператор направлен вдоль орбитального момента ℓ^^^ ℓ = ~ ℓ = −2 ℓ .ℬ3 3(8.86)Спиновый магнитный момент = ~s создаёт другую часть магнитногополя [1, §44]^ · n) − 3n(^s · n) − ^s^ (0) = 3n(^ℬ= −2,33(8.87)8.7. Пример: один валентный электрон233где n = r/, единичный вектор в направлении электрона. Таким образом,(︁)︁^ (0) = − 2 ℓ^ − ^s + 3n(^s · n) .ℬ3(8.88)Этот оператор должен быть усреднён по всем квантовым числам, за исключением проекции полного углового момента j, что приводит к эффективному оператору векторной модели, пропорциональному ^j.Задача 8.7Покажите, что эффективный оператор векторной модели для величиныв скобках в равенстве (8.88) определяется соотношениемℓ(ℓ + 1) ^⟨ℓ^ − ^s + 3n(^s · n)⟩ =⟨j⟩.( + 1)(8.89)Выражение (8.89) обращается в нуль для -электронов (ℓ = 0).
Однаков -состояниях волновая функция (0) электрона отличается от нуля вначале координат, и среднее значение 1/3 расходится, так что результатоказывается конечным и правильным также и для ℓ = 0. Для любогозначения ℓ получаем, используя решение задачи 4.4,^ (0) = −2ℬ3^j.3 3 (ℓ + 1/2)( + 1)(8.90)Это выражение определяет константу ℓ из уравнения (8.80). Оно справедливо с точностью до релятивистских поправок и поправок, учитывающихконечный размер ядра. Коэффициент (8.81), который определяет наблюдаемое сверхтонкое расщепление, выражается соотношением = 23~ .3 3 (ℓ + 1/2)( + 1)(8.91)Для основного состояния атома водорода, = 1, ℓ = 0, = 1/2, зарядпротона = 1, спин = 1/2, и магнитный момент протона = 2, 79 =2, 79(/ ) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
