1625913943-4651bd14c87f2eac7915671b5ee6e807 (536942), страница 30
Текст из файла (страница 30)
В то время как J^ может иметьвнутри мультиплета, произвольный векторный оператор Vтакже недиагональные по и матричные элементы (7.67), которые не^связаны с матричными элементами J.Для установления окончательного соответствия уравнений (7.70) и (7.73),^ · V).^ Расчёт прост:^ 2 и (Jвычислим средние значения скалярных величин Jзапишем скалярное произведение в сферических компонентах (1.120); выразим искомый матричный элемент в виде произведения матричных элементов отдельных векторов с суммированием по промежуточным проекциям^ все промежуточные(поскольку по крайней мере один из векторов есть J,состояния имеют одинаковые квантовые числа ); применим теоремуВигнера— Эккарта (7.66) к каждому множителю и суммируем по промежуточным проекциям с помощью (7.61). В результате получается⟨ ′ |(J · V)| ⟩ = ′ ⟨‖‖⟩⟨‖ ‖⟩.2 + 1(7.74)^ есть произвольный векторный оператор.
Как и должно быть,Здесь Vматричные элементы скалярной величины не зависят от ориентации ( =208Глава 7 Сложение угловых моментов^ ⇒ J левая сторона (7.74) равна ′ ( + ′ ). В частном случае V1). Отсюда определяется редуцированный матричный элемент угловогомомента⟨‖‖⟩2 = ( + 1)(2 + 1).(7.75)В конечном итоге, объединяя эти результаты, получаем⟨ ′ | | ⟩ =⟨|(J · V)|⟩⟨ ′ | | ⟩,( + 1)(7.76)что есть не что иное, как векторная модель (7.69,7.70). Матричный элемент^ · V)^ в (7.76) не зависит от .скаляра (J7.9. Электрический дипольный момент и анапольный моментЗная, что сохранение чётности не есть универсальное правило природы, атакже используя векторную модель, мы можем вернуться к вопросу о разрешённых и запрещённых мультиполях.
Как видно в табл. 7.1, существованиеэлектрического дипольного момента в системе со спином > 1/2 допускается, если снять ограничения, связанные с сохранением чётности. Конечно,мы по-прежнему сохраняем ограничения, налагаемые инвариантностьюотносительно вращений.На самом деле проблема более сложна.
Дипольный оператор d естьполярный вектор. Его среднее значение может быть вычислено с помощью векторной модели. Это даёт эффективный дипольный оператор длячастицы со спином 1/2:^^ = ⟨(d · ^s)⟩ ^s = 4 ⟨(d · s)⟩ ^s.d^s23(7.77)Результат определяется средним значением псевдоскалярной величины(d · s). Поскольку в результате слабых взаимодействий стационарные состояния не имеют определённой чётности, это среднее значение можетотличаться от нуля. Однако ненулевое значение этой величины противоречило бы инвариантности относительно обращения времени.Действительно, спиноры |1/2, ⟩ с проекцией спина преобразуются в^ каксоответствии с (5.67) при обращении времени.
Дипольный момент d,и вектор координаты ^r, инвариантен относительно -преобразования ( чётен), тогда как вектор спина ^s, как и любой угловой момент, -нечетен.7.9. Электрический дипольный момент и анапольный момент209^ · ^s) является -нечётным. Если Поэтому скалярное произведение (dинвариантность имеет место, среднее значение обращённого во времениоператора в обращённом во времени состоянии должно быть таким же, каки до -преобразования,^ s)|1/2, ⟩ = ⟨1/2, −|−(d·^^ s)|1/2, −⟩* = −⟨1/2, −|(d·^^ s)|1/2, −⟩⟨1/2, |(d·^(7.78)(средние значения любого эрмитового оператора вещественны). В то же^ · ^s) является скаляром относительно вращения, и еёвремя величина (dсреднее значение одинаково во всех состояниях мультиплета.
Значит, оноравно нулю. Этот вывод справедлив для состояния с любым угловым моментом (не обязательно спин 1/2). Ненулевая спиральность ∝ (^p · ^s),в противоположность (7.78), может существовать, будучи произведением двух -нечётных векторов. -инвариантность также не противоречитсуществованию -нечётных векторов, таких как магнитный момент .Мы показали, что ненулевой электрический дипольный момент частицы встационарном состоянии был бы свидетельством комбинации несохранениячётности и нарушения инвариантности относительно обращения времени[33]. Интенсивный экспериментальный поиск дипольного момента частицпока не дал результата. Последние данные дают только верхний пределна уровне 10−23 ·см для протона, 10−25 ·см для нейтрона и 10−28 ·смдля электрона. Положительный результат имел бы большое влияние навыбор теории за пределами общепринятой в настоящее время Стандартноймодели элементарных частиц.Предсказанный давно (Зельдович, 1958 ) анапольный момент был открыт экспериментально [34] в ядре 133 Cs.
Это величина, подобная токув тороидальной катушке; основной вклад в анапольный момент связан соператором^ = [^r × ^s].a(7.79)^ есть полярный -нечётный вектор, который может сущеМы видим, что aствовать в квантовых состояниях с ненулевым спином , соответствующийэффективный оператор равен^=a⟨(a · J)⟩ ^J.( + 1)(7.80)210Глава 7 Сложение угловых моментов^ есть -чётный псевдоскаляр и требует только несохранеa · J)Величина (^ния чётности, но не нарушения - инвариантности. Анапольный моментбыл обнаружен с помощью наблюдения нарушения чётности в атомныхрадиационных переходах, индуцированных слабыми взаимодействиямимежду атомными электронами и ядром.7.10.
Ряд Клебша—Гордана⋆Важные практические применения основаны на рассмотрении вращениясвязанной системы.^ действует в соответствии сПусть произвольный оператор вращения ℛ(6.1) на систему в квантовом состоянии | ⟩. Если система состоит из двухсвязанных подсистем с моментами 1 и 2 ,∑︁|(1 2 ) ⟩ =|1 1 ; 2 2 ⟩,(7.81)1 1 2 21 2мы можем применить такое же вращение к правой стороне равенства,действуя на обе части по отдельности:∑︁12′′^ 1 1 ; 2 2 ⟩ =ℛ|(7.82)′ (ℛ) ′ (ℛ)|1 1 ; 2 2 ⟩.121′ 2′12Тогда∑︁^ 1 2 ) ⟩ =ℛ|(1 2 1′ 2′12′′′ (ℛ) ′ (ℛ)|1 1 ; 2 2 ⟩.1 1 2 21212(7.83)С другой стороны, результат (21.1) эквивалентен∑︁′^ 1 2 ) ⟩ =ℛ|(′ (ℛ)|(1 2 ) ⟩′=∑︁ ′ 1′ 2′′′′′′ ′ (ℛ)|1 1 ; 2 2 ⟩.1 2 12(7.84)7.10.
Ряд Клебша—Гордана⋆211Поскольку несвязанные состояния ортонормированы, мы можем сравнитькоэффициенты перед ними в (7.83) и (7.84), что даёт∑︁∑︁12 ′′ (ℛ) ′ ′ . (7.85)′ (ℛ) ′ (ℛ)1 1 2 2 =12121 212′12Если мы умножим обе части на и просуммируем по и ,1 1 2 2свойство ортогональности (7.49) приводит к важному результату:∑︁′12(ℛ)(ℛ)= (7.86)′ (ℛ),1 1 2 2 1 1 2 21 12 2 ′где мы переименовали 1′ , 2′ → 1 , 2 .Ряд Клебша—Гордана (7.86) позволяет разложить произведение -функций в сумму -функций того же аргумента, подтверждая полноту матричных элементов конечных вращений как функций на группе.
Как частныйслучай, с помощью (6.14) получаем аналог этого соотношения для сферических функций,(n) ℓ2 2 (n)ℓ (n)1 ∑︁ ℓ√ℓ1 1√=√ℓ1 1 ℓ2 2 ℓℓ01 0 ℓ2 0 √,2ℓ1 + 1 2ℓ2 + 12ℓ + 14 ℓ(7.87)где все сферические функции относятся к тем же углам n = (, ). Конечно,суммирование по в правой части (7.87) (а также соответствующее суммирование в (7.86)) является избыточным, поскольку выживает только одинчлен = 1 + 2 , но эта форма является более симметричной. Наконец,для полиномов Лежандра ℓ (cos ) = ℓ () мы получаемℓ1 ()ℓ2 () =]︁2∑︁[︁ℓℓ01 0 ℓ2 0 ℓ ().(7.88)ℓВ уравнениях (7.87) и (7.88), где все угловые моменты ℓ, ℓ1 , ℓ2 являютсяцелыми, мы видим, что левая сторона имеет чётность (−)ℓ1 +ℓ2 , тогда какчётность ℓ члена в правой стороне равна (−)ℓ .
Это соотношение можетиметь место, только если члены с неправильной чётностью исчезают,ℓℓ01 0 ℓ2 0 = 0 для ℓ1 + ℓ2 + ℓ = нечётное число.(7.89)Тот же результат следует и из инвариантности относительно обращениявремени, см. первое равенство в (7.53).212Глава 7 Сложение угловых моментовВместе с условием ортогональности (21.21) разложение Клебша—Горданаопределяет интеграл от трёх -функций∫︁12*ℛ (ℛ)′ (ℛ)′ (ℛ) = ′ 12128 2′′′.1 1 2 21 1 2 22 + 1(7.90)Для сферических функций мы получаем отсюда∫︁√︃*(n)ℓ1 1 (n)ℓ2 2 (n) =n ℓ(2ℓ1 + 1)(2ℓ2 + 1) ℓℓ1 1 ℓ2 2 ℓℓ01 0 ℓ2 0 ,4(2ℓ + 1)(7.91)и для полиномов Лежандра∫︁ 1 ℓ ()ℓ1 ()ℓ2 () =−1]︁22 [︁ ℓ0ℓ1 0 ℓ2 0 .2ℓ + 1(7.92)Соотношения (7.91) и (7.92) определяют угловую часть матричных элементов одночастичных тензорных операторов для движения в центральномполе.Дополнительная литература: [11], [35], [36], [34], [37], [38]Понадобится сотня лет развитияфизических и химических наук,чтобы люди узнали, что такое атом.П.Э.М.
Бертeло (цит. по: Р. Эспер«Из жизни ученых»)Глава 8Тонкая и сверхтонкая структура8.1. Спин-орбитальное взаимодействиеВ разд. 3.5 мы перечислили физические эффекты, которыми мы пренебрегли при пeрвом рассмотрении атома водорода. Эти эффекты, будучиявно малыми по сравнению с основным кулоновским полем ядра, важны сами по себе и ведут к интересным наблюдаемым явлениям, особенно в связис впечатляющими достижениями современной экспериментальной спектроскопии.
Теория возмущений (гл. 4), а также развитая алгебра угловогомомента, включающая спиновые эффекты (гл. 5-7), дают нам возможностьрассмотреть квантовую механику этих эффектов.Тонкая структура спектра атома водорода возникает в результате снятия«случайного» кулоновского вырождения релятивистскими поправками кгамильтониану порядка (/)2 .
Точный расчёт этих поправок будет сделан на основе уравнения Дирака позже (гл. III.7). Здесь мы рассмотримспин-орбитальное взаимодействие качественно. Соответствующий членгамильтониана частицы должен иметь вид^ ℓ = ()(ℓ^ · ^s).(8.1)Действительно, спин электрона может входить только линейно (высшиетензорные конструкции сводятся к линейным выражениям); полный гамильтониан является скаляром, так что ^s должен входить в виде скалярногопроизведения с другим вектором, и второй вектор должен быть аксиальным,если чётность сохраняется. Из пространственных переменных частицы можно сконструировать только один аксиальный вектор, вектор орбитальногомомента ^ℓ.Наличие спин-орбитального взаимодействия (8.1) показывает, что орбитальное движение создает момент сил, действующий на спин частицы.214Глава 8 Тонкая и сверхтонкая структураЕсли бы частица двигалась в однородной среде, то не было бы никакойпричины для этого закручивания.
Поэтому мы ожидаем, что () связанс пространственным изменением потенциала, действующего на частицу,кулоновского для атома водорода. Сила создаёт выделенное направление —радиальное для градиента изотропного потенциала.Механизм возникновения спин-орбитального взаимодействия являетсяобщим для любой заряженной частицы со спином ̸= 0, движущейсяв электрическом поле, которое даётся градиентом электростатическогопотенциала, ℰ = −∇. Проведём классическую оценку этого эффекта. Всистеме отсчёта, связанной с частицей, ядро движется со скоростью −v, иего электрическое поле индуцирует магнитное поле11ℬ = − [v × ℰ ] = −[p × ℰ ].(8.2)Поле ℬ взаимодействует со спиновым магнитным моментом частицы, = ~s. Соответствующий член в гамильтониане равен · ℬ) =ℓ = −( ~s · [∇ × p].(8.3)Для центрального потенциала, () = (),∇ =r , (8.4)гамильтониан (8.3) принимает форму (8.1),ℓ = ~ 1 ~2 1 s · [r × p] =(s · ℓ), (8.5)где, как обычно, угловые моменты записаны в единицах ~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
