1625913943-4651bd14c87f2eac7915671b5ee6e807 (536942), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Векторное сложение угловых моментов201Задача 7.7Установите рекуррентные соотношения для коэффициентов Клебша—Гордана,3 +133= − (1 1 )13+− (2 2 )13; (7.50)+ (3 3 )131 2 21 −1 2 21 2 2 −13 −133− (3 3 )13= + (1 1 )13++ (2 2 )13, (7.51)1 2 21 +1 2 21 2 2 +1где ± () — матричные элементы для повышающей и понижающей компонент углового момента (1.51).РешениеПодействуем операторами 3± = 1± + 2± на обе части разложения (7.46)связанной системы |3 3 ⟩, разложим результирующее состояние |3 3 ± 1⟩снова по коэффициентам Клебша— Гордана и сравним с выражением вправой стороне равенства.Задача 7.8Покажите, что3131 −1 2 23131 2 2 −1=−− (2 2 ).− (1 1 )(7.52)РешениеРассмотрите соотношение (7.46) на верхней ступени лестницы, 3 = 3 .Эти соотношения, вместе с условиями нормировки (7.50) и (7.51), полезны для последовательного вычисления коэффициентов Клебша— Гордана.Фазы, которые не определяются в процессе, могут быть фиксированы,например, при помощи соглашений Кондона—Шортли [32].
Выбор фаз длякоэффициентов Клебша— Гордана31 +2 −3 3 3313= (−)1 +2 −3 13 −2 2 1 1−1 2 −2 = (−)1 2 2(7.53)связан с операцией обращения времени: когда мы меняем знаки всех проекций, это эквивалентно обратному направлению обхода вокруг треугольника.Фазовые соглашения для обращённых во времени состояний обсуждалисьв разд.
5.6.Другое свойство, связанное с симметрией, выясняется, когда мы заменяемисходное условие треугольника,j1 + j2 = j3 ,(7.54)202Глава 7 Сложение угловых моментовна, казалось бы, эквивалентное−j3 + j2 = −j1 .(7.55)Этот переход есть обращение во времени j2 , которое включает соответствующую фазу. Кроме того, нормировка коэффициентов Клебша— Гордана(7.48) была определена по отношению к суммированию по нижним индексами теперь должна быть изменена. Поскольку геометрический смысл (7.54) и(7.55) одинаков, зависимость от магнитных квантовых чисел (ориентациясистемы) не может измениться.
Поэтому коэффициенты Клебша— Горданадля этих двух представлений должны быть просто пропорциональны,3−1= 31−,131 2 23 2 2(7.56)где 2 не зависит от проекций. Возводя в квадрат обе части (7.56), выполняя суммирование по всем проекциям и используя нормировку (7.48), мыполучаем2 =23 + 1.21 + 1(7.57)С фазовыми множителями, снова определёнными по операции обращениявремени, мы можем записать налагаемые симметрией связи между (7.54,7.55), и аналогичное соотношение при замене j3 ⇒ −j1 как√︃313= (−)2 +21 2 223 + 1 1 −1= (−)1 −121 + 1 3 −3 2 2√︃23 + 1 2 −2.22 + 1 1 1 3 −3(7.58)Коэффициенты Клебша— Гордана определены для заданного упорядочения связанных моментов (рис.
7.4). Но геометрически условие треугольникасимметрично по отношению ко всем трём моментам. Вместо коэффициентовКлебша— Гордана можно определить эквивалентные 3-символы Вигнера,(︂)︂(−)1 −2 −3 3 −31 2 3(7.59)= √1 1 2 2 .1 2 323 + 1Как видно из коэффициентов Клебша— Гордана в правой части (7.59), здесьмы имеем 1 + 2 = −3 . Определение Вигнера соответствует условию7.6. Векторное сложение угловых моментовj3j2j3j2j3j1(a)203j1j1(b)j2(c)Рис. 7.4.
Сложение угловых моментов: 1 + 2 = 3 , a; 1 + 2 + 3 = 0, b и cтреугольника в симметричной формеj1 + j2 + j3 = 0.(7.60)3-символ имеет более простые свойства: при перестановке двух столбцовон приобретает симметричную фазу (−)1 +2 +3 .Условия ортогональности (7.48) и (7.49) принимают для 3-символов(7.59) вид∑︁ (︂ 1 2 3 )︂ (︂ 1 2 ′ )︂13′ , (7.61) ′=1 2 31 2 ′323 + 1 3 3 3 3 1∑︁3 32(︂(23 + 1)1 2 31 2 3)︂ (︂1 2 3′1 ′2 3)︂= 1 ′1 2 ′2 .
(7.62)Переход от несимметричного соотношения (7.53) к симметричному (7.61)можно опять рассматривать (рис. 7.4, b) как изменение углового моментаj3 при обращении времени. Естественное изменение 3 → −3 сопровождается обычным изменением фазы при обращении времени: (−)3 −3 .Можно сообразить, что изменение всех трёх проекций эквивалентно общемуобращению времени и, поскольку в 3-символе 1 + 2 + 3 = 0,(︂)︂(︂)︂1231 2 31 +2 +3= (−).(7.63)−1 −2 −31 2 3Фаза в (7.63) такая же, как при обмене столбцов (см. выше), потому что,как легко видеть, этот обмен эквивалентен обратному движению вокругтреугольника.204Глава 7 Сложение угловых моментов7.7. Теорема Вигнера—ЭккартаМы вывели правила отбора для тензорных операторов ^ , связанные синвариантностью относительно вращений.
Для угловых моментов 2 , 1 и ,удовлетворяющих (7.39) и (7.41), в общем случае имеется много ненулевыхматричных элементов (мы явно указываем другие квантовые числа состояний, которые фиксированы для данного набора матричных элементов)⟨2 2 2 |^ |1 1 1 ⟩.(7.64)Все матричные элементы с различными комбинациями проекций отражают одну и ту же физику, различаясь взаимной ориентацией состояний|1 1 1 ⟩ и |2 2 2 ⟩, и оператора ^ . Поэтому, например, в таблицах физических величин можно найти только одно число для магнитного моментачастицы или ядра вместо множества чисел, соответствующих различнымматричным элементам ⟨ ′ |^ | ⟩.
Оказывается возможным отделитьуниверсальную геометрическую информацию от специфических внутренних характеристик изучаемой системы.Рассмотрим действие тензорного оператора ^ на начальное состояние |1 1 1 ⟩. В результате векторного сложения (7.38) можно получитьдля промежуточного состояния единственную проекцию углового момента, ′ = 1 + , и множество значений углового момента ′ , разрешённыхусловием треугольника J′ = J+.
Относительные амплитуды возможныхпромежуточных состояний | ′ ′ ⟩ даются коэффициентами Клебша— Гордана, как в (7.46),∑︁ ′ ′^ |1 1 1 ⟩ =|1 ( 1 ) ′ ′ ⟩,(7.65)1 1 ′ ′где сумма по ′ содержит фактически только один член. Теперь мыдолжны спроектировать состояние | ′ ′ ⟩ на конечное состояние |2 2 2 ⟩.Из-за ортогональности собственных функций, соответствующих различнымсобственным значениям эрмитовых операторов, в сумме (7.65) выживаеттолько член ′ = 2 , ′ = 2 . Кроме того, матричный элемент (7.64) неможет измениться, если начальное состояние, конечное состояние и оператор подвергаются общему вращению. Поэтому результат проектирования⟨2 2 2 | ′ ′ ⟩ не зависит от конкретного значения 2 = ′ = 1 + .Мы пришли к важному выводу: в любом матричном элементе (7.64)тензорного оператора между состояниями с определёнными угловым моментом и его проекцией вся зависимость от магнитных квантовых чисел7.8.
Векторная модель2051 , и 2 входит только через коэффициенты Клебша— Гордана. Остающийся множитель не имеет -зависимости и даёт физическую амплитудупроцесса, не связанную с ориентацией системы. Все правила отбора поотношению к вращениям уже включены в коэффициент Клебша— Гордана.Это суть теоремы Вигнера—Эккарта.Используя 3-символ вместо коэффициентов Клебша— Гордана, запишемрезультат в виде⟨2 2 2 |^ |1 1 1 ⟩ = (−)2 −2(︂2 1−2 1)︂⟨2 2 ‖ ‖1 1 ⟩.(7.66)Здесь не зависящий от множитель вводится как заключённый в двойные скобки (приведённый) матричный элемент.
Фазовый множитель дляконечного состояния в (7.66) согласуется с изменением при отражениивремени: конечное состояние (2 = + 1 ) должно быть обращено, чтобысделать ситуацию симметричной. Мы видим, что геометрическая частьинформации отделяется в 3-символ, тогда как внутренняя, не зависящаяот ориентации, физика сосредоточена в приведённом матричном элементе. Как указывалось ранее, достаточно одного числа, чтобы описать весьнабор матричных элементов (7.64), если вращательные квантовые числасостояний и операторов известны.В физических таблицах значения для средних значений мультипольныхоператоров в состоянии с угловым моментом в соответствии с соглашением приводятся для состояния с максимальной проекцией = .
Тогда = 0, и табличное значение есть (, ) ≡ ⟨|^0 |⟩.(7.67)Например, компонента вектора ( = 1) в (7.67) есть 0 = , см. (6.48).Табличное значение магнитного момента есть, следовательно, среднее значение его проекции на ось квантования в состоянии с максимальнойвыстроенностью системы вдоль -оси.7.8. Векторная модельТеорема Вигнера—Эккарта даёт нам обоснование простой процедуры,которую использовали на заре атомной физики для расчётов средних206Глава 7 Сложение угловых моментовzJJMVV(a)J·VJ 2J(b)Рис.
7.5. Иллюстрация к векторной модели (a); смысл выражения (7.70) (b)значений, как, например,^⟨ ′ |V|⟩,(7.68)где начальное и конечное состояния принадлежат одному и тому же муль^ есть произтиплету, но могут отличаться проекцией углового момента, а Vвольный векторный оператор. Наивный, хотя и правильный, способ рассуждения состоит в следующем. Квазиклассический образ (рис. 7.5,√︀a) состояния | ⟩ есть прецессия. Вектор углового момента J длины ( + 1)имеет проекцию на ось квантования, он прецессирует вокруг√︀этой оси,образуя конус с фиксированным полярным углом , cos = / ( + 1).Поперечные компоненты , усредняются и имеют нулевые средние ⟨ ⟩ и⟨ ⟩, но ненулевые средние квадраты величин ⟨2 ⟩ и ⟨2 ⟩. Сумма ⟨2 + 2 ⟩дополняет 2 до полной величины ( + 1) квадрата углового момента,задача 1.4.
В этой ситуации любой вектор V, относящийся к системе, может быть в среднем направлен только вдоль единственно выделенногонаправления, а именно, углового момента J. Эта пропорциональность двухвекторов может быть записана как векторная модель^ = (, )J,^V(7.69)где коэффициент пропорциональности есть скаляр (, ), который можетзависеть от величины углового момента и других характеристик состояния(), а равенство следует понимать как эквивалентность двух операторовдля любого матричного элемента внутри мультиплета. Мы находим этотмножитель, беря проекцию на J в обеих частях (7.69), рис. 7.5, b:(, ) =⟨(V · J)⟩⟨(V · J)⟩=.2J( + 1)(7.70)7.8. Векторная модель207Вместо этого нестрогого вывода мы можем использовать теорему Вигнера— Эккарта (7.66). Вспоминая, что любой вектор является тензорнымоператором ранга 1 и вводя его сферические компоненты согласно(16.99), мы можем написать матричный элемент (7.67) между состояниямиодного мультиплета как)︂(︂1 ′ ^− ′⟨ | | ⟩ = (−)⟨‖ ‖⟩.(7.71)− ′ Точно таким же способом мы находим для углового момента)︂(︂1 ′ ^− ′⟨ | | ⟩ = (−)⟨‖‖⟩.− ′ (7.72)Отделяя 3-символ, мы находим, что матричные элементы любого вектора^ и углового момента J^ пропорциональны как в векторной модели (7.69) сVкоэффициентом(, ) =⟨‖ ‖⟩.⟨‖‖⟩(7.73)Стоит ещё раз подчеркнуть, что вся процедура имеет смысл только для^ действует толькопереходов внутри мультиплета | ⟩.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
