1625913943-4651bd14c87f2eac7915671b5ee6e807 (536942), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Однакофункция в целом, а также скалярное произведение (n·n′ ), инвариантны приодновременных поворотах n и n′ . Беря вращение, которое совмещает векторn′ с направлением , мы можем представить ℓ (n · n′ ) как сферическуюфункцию ℓ0 (n). Это означает, что как функция n, исходная функциядвух единичных векторов преобразуется по представлению с орбитальныммоментом ℓ. Поэтому ряд для ℓ (cos ) может содержать только функцииℓ′ ′ с ℓ′ = ℓ. Ситуация симметрична для n и n′ , так что разложениедолжно иметь вид∑︁ℓ (n · n′ ) =ℓ′ ℓ (n)ℓ′ (n′ ).(6.23)′При общем вращении n и n′ на угол вокруг полярной оси функция(6.23) не меняется, но каждое слагаемое приобретает фазу exp[−( + ′ )].Следовательно, фактически имеются только члены с ′ = −, как этоможно видеть также из (6.22), так как функция зависит от разности − ′ ,а не от углов и ′ по отдельности.
Используя (1.90), мы получаем∑︁ℓ*ℓ (n · n′ ) =ℓ (n)ℓ(n′ )(6.24)ℓ = (−) ℓс новыми коэффициентами − .Мы всё ещё использовали не все следствия инвариантности (n · n′ ) отно^ −1 одновременносительно вращения. Применим произвольное вращение ℛ′−1†^^к n и n . Принимая во внимание унитарность ℛ = ℛ и правило преобразования (6.11), мы имеем∑︁ℓ^ −1 n|ℓ⟩ = ⟨n|ℛ|ℓ⟩^ℓ (ℛ−1 n) = ⟨ℛ=(ℛ)ℓ (n).(6.25)Произведя те же самые преобразования для сопряжённой функции в (6.24),мы получаем∑︁ℓℓ*′ℓ (n · n′ ) =()ℓ*′ (ℛ)ℓ (n)ℓ(6.26)′ (n ).′Теперь сравним этот результат с выражением (6.24) для той же функциидо вращения.
Сферические функции линейно независимы. Переобозначая в (6.24) → и сравнивая выражения, получаем соотношение для6.3. Теорема сложения⋆175коэффициентов∑︁ℓℓ(ℛ)ℓ*′ (ℛ) = ℓ ′ ,(6.27)ℓ = ℓ и негде ℛ всё ещё произвольно. Очевидно, что решение есть зависит от , потому что (6.27) тогда совпадает с соотношением унитарности (6.4). Это решение единственно, так как (6.27) может быть записано в матричной форме (ℛ)† (ℛ) = , где есть диагональнаяℓ .
Благодаря унитарности(в -представлении) матрица с элементами † (ℛ) = −1 (ℛ), это означает, что матрица коммутирует со всемиматрицами (ℛ) неприводимого представления, (ℛ) = (ℛ). Такаяматрица должна быть пропорциональна единичной матрице (так называеℓ с данным ℓмая лемма Шура, раздел 8.12), т.
е. матричные элементы ℓвсе равны между собой. Постоянная может быть найдена, например,если выбрать n′ вдоль оси . Тогда обе части (6.15) должны дать ℓ (cos ).Используя (1.141) и (1.143), мы видим, что ℓ = (2ℓ + 1)/4. В конечномитоге, мы получили теорему сложения для сферических гармоник,ℓ (n · n′ ) =4 ∑︁*(n′ ).ℓ (n)ℓ2ℓ + 1 (6.28)В частности, для совпадающих n и n′ ,∑︁|ℓ (n)|2 =2ℓ + 1.4(6.29)Заметим также, что для единичных векторов равенство (6.22) есть просточастный случай теоремы сложения (6.28) для ℓ = 1. Мы провели выводво всех деталях для того, чтобы показать силу соображений симметрии,которые позволили нам избежать явных вычислений. Теорема сложения(6.28) позволяет нам переписать разложение плоской волны (17.106) вформе(17.98), симметричной по k и r,*ℓ (k) = 4 ℓ ℓ(nk ),(k·r) = 4∑︁ℓnk =k,* ℓ(nk )ℓ (n)ℓ ().(6.30)(6.31)176Глава 6 Конечные вращения и тензорные операторы6.4.
Преобразование операторовНапомним (раздел. I.6.9), что если векторы состояний |⟩ преобразуются^ в | ′ ⟩ = ^ |⟩ и операторы ^при помощи унитарного преобразования преобразуются по правилу^⇒^′ = ^^^ −1 ,(6.32)то все физические амплитуды не меняются,^ ′ | ′ ⟩ = ⟨2 |^ −1 ^^^ −1 ^ |1 ⟩ = ⟨2 ||^ 1 ⟩.⟨2′ |1(6.33)^ ′ действуют после преобразованияЭто означает, что новые операторы ^ до преобразования. Другими слоточно так же, как старые операторы ^^ операторы повернулись вместе свами, в применении к вращению = ℛ,системой, так что физические измерения с помощью повёрнутых приборовдают те же результаты.Операторы можно классифицировать по их поведению при вращенияхточно так же, как векторы состояний были разбиты на мультиплеты всоответствии с их трансформационными свойствами.
Про набор 2 + 1операторов ^ , где есть целое или полуцелое и = −, − + 1, . . . , ,говорят, что они образуют тензорный оператор ранга , если операторынабора преобразуются при вращениях по таким же правилам (6.1), как ивекторы состояний | ⟩,∑︁^ ^ ℛ^ −1 =^ℛ(6.34)′ (ℛ) ′ .′Для целого = ℓ тензорные операторы ^ℓ должны преобразовыватьсякак сферические функции ℓ .
В случае бесспиновой частицы тензорныеоператоры ^ℓ (r), которые являются функциями координат, должны иметьтакую же угловую зависимость, как ℓ (n),^ℓ (r) = ℓ ()ℓ (n),(6.35)где радиальный множитель ℓ () одинаков для всех . В этом случае легкопроверить непосредственно, что правило преобразования (6.34) сохраняет амплитуды, равенство (6.33). Действительно, как мы знаем из (4.65),преобразование (6.34) для функции от координат (6.35) должно даватьℓ (ℛ−1 n). (Напомним, что здесь мы преобразуем оператор; первый мно^ в левой стороне равенства (6.34) преобразует только ^ ижитель ℛ6.4.
Преобразование операторов177^ −1 , так что все функции после ^ не затрагиваются.)сокращается с ℛПреобразованный матричный элемент будет отличаться от оригинала про^ −1 n под знаком интеграла, что несто заменой угловых переменных n → ℛможет изменить интеграл. То же справедливо и для функций импульса,которые будут пропорциональны ℓ (np ), где np = p/|p|.Задача 6.4Покажите, что для любой пары ℓ и ℓ тензорных операторов одинакового ранга ℓ свёртка, образованная по такому же правилу суммированиякак (1.120),∑︁=(−) ℓ ℓ − ,(6.36)есть скаляр (инвариант вращений).В соответствии с разделом 1.8., любой векторный оператор есть тензорранга 1.
Далее векторы подразделяются по поведению при пространственной инверсии. Вектор координаты n есть пример полярного вектора. Егокомпоненты, как и сферические функции 1 , меняют знак при простран^ ведёт себя какственной инверсии. Любой оператор углового момента Jвектор при вращении, но как псевдовектор при инверсии (аксиальныйвектор).Задача 6.5Докажите, что спиновый угловой момент ведёт себя точно так же (псевдовектор), как орбитальный момент: его компоненты преобразуются каку вектора при вращении, сохраняя тот же знак при пространственнойинверсии.РешениеПространственная инверсия не действует на спиновые операторы.
Поотношению к вращениям, в соответствии с общим законом преобразования,преобразованный вектор спина есть1 ^ ^ −1ℛ .^s′ = ℛ2(6.37)^ n () из (20.17), получаемПодставляя оператор спинового вращения ℛ1 · n) sin(/2)] [cos(/2) + ( · n) sin(/2)]. (6.38)^s′ = [cos(/2) − (2178Глава 6 Конечные вращения и тензорные операторыКак и ожидалось, проекция спина на ось вращения n не меняется,^ n ()ℛ^ −1(n · ^s′ ) = (n · ^s)ℛs).n () = (n · ^(6.39)Чтобы упростить выражение (6.38), используем алгебру матриц Паули(5.14). Например, для произведения трёх -матриц имеем = + − + .(6.40)Конечный результат есть1^′ = { cos − [n × ] sin + 2 (n · ) sin2 (/2)},2(6.41)или, в векторной форме^s′ = ^s cos − [n × ^s] sin + n(n · )2 sin2.2(6.42)Это правильное преобразование вектора при конечном вращении; возьмитепредел малых , получите для n = e^′ = ^ + ^ ,^′ = ^ − ^ ,^′ = ^(6.43)и сравните это с преобразованием координат (разд.
1.1). Если наш векторный оператор преобразуется так же, как в (6.43), он будет соответствоватьизмерению такой же величины после вращения, в соответствии с определением (6.33) преобразования операторов. Это преобразование являетсяобратным к преобразованию вектора в (1.16).6.5. Введение в правила отбораТензорные свойства операторов играют важную роль в расчётах физических амплитуд, пропорциональных матричным элементам ⟨′ 2 2 |^ |1 1 ⟩.Для заданных начальных и конечных мультиплетов состояний мы имеемздесь (22 + 1)(2 + 1)(21 + 1) различных матричных элементов.
Однако, как мы увидим позже, только одно число характеризует физику;остальные не зависят от природы системы и полностью определяются геометрическими соображениями. Некоторые матричные элементы исчезаютблагодаря свойствам вращательной симметрии состояний и операторов,другие оказываются тесно взаимосвязаны.6.5. Введение в правила отбора179Простейшие правила отбора могут быть установлены непосредственно изопределения тензорных операторов (6.34). Рассмотрим бесконечно малый^ =поворот на угол вокруг оси n.
Соответствующий оператор есть ℛ^1 − (J · n), (1.1). Удерживая лишь линейные члены в , выразим левуючасть(6.34) через коммутатор тензора ^ с угловым моментом^ · n), ^ ].^ ^ ℛ^ −1 = ^ − [(Jℛ(6.44)Выпишем матричные элементы этого вращения в данном представлении′ ^′ (ℛ) = ′ − ⟨ |(J · n)| ⟩.(6.45)Так как направление оси n произвольно, формулы (6.44) и (6.45) приводят к соотношению коммутации, справедливому для любого тензорногооператора:∑︁[^ , ^ ] =(6.46)⟨ ′ |^ | ⟩^ ′ ,′где ^ может быть и декартовой, и сферической компонентой.Для ^ = ^0 компоненты в (6.46) имеем[^ , ^ ] = ^ .(6.47)Это типичное лестничное соотношение, см. раздел I.11.6. Мы заключаем,что, действуя на состояние с определенной -проекцией полного углового момента системы, тензорный оператор ^ увеличивает эту проекцию на .Мы получили простое правило отбора: в переходах ⟨2 2 2 |^ |1 1 1 ⟩,где 1 и 2 обозначают все дополнительные (не относящиеся к вращениям)квантовые числа, единственными отличными от нуля амплитудами будутте, для которых Δ ≡ 2 − 1 = ,^ :Δ = .(6.48)Наши обозначения в уравнениях (1.99) для сферических компонент векторов согласуются с этим общим правилом.
Результат не зависит от конкретных величин 1 , 2 и дополнительных квантовых чисел 1 , 2 .Повышающая, = +1, компонента соотношения (6.46) содержит вправой части только член ′ = + 1. Мы видим, что произведениеоператора ^+1 , имеющего правило отбора Δ = +1, и ^ , создаёт новыйоператор с Δ = + 1. Для понижающей компоненты в (6.46) = −1 и180Глава 6 Конечные вращения и тензорные операторыe5e4r–raeara=ranaαar=rne1e3e2Рис. 6.3. Электростатический потенциал за пределами системы зарядовΔ = − 1.
В произведении операторов правила отбора для проекции просто складываются алгебраически. Позже мы увидим, что для абсолютнойвеличины углового момента ситуация более сложна.В применении к векторному оператору, ^1 → ^ , общее соотношение(6.47) даёт [^ , ^±1 ] = ±^±1 . Очевидно, что вращение вокруг оси неменяет -компоненту вектора, [^ , ^ ] = 0. В декартовых координатах такиесоотношения эквивалентны коммутаторам, сравните с задачей I.4.5:[^ , ^ ] = ^ ,(6.49)что обобщает алгебру углового момента (1.21) на произвольный вектор.Все эти правила коммутации имеют чисто геометрическое происхождениеи, следовательно, универсальны, будучи справедливыми независимо от природы или поведения при инверсии тензорного оператора. Они могут бытьполучены с помощью простых наглядных образов вращающихся векторов, хотя данная выше формулировка является более общей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
