1625913943-4651bd14c87f2eac7915671b5ee6e807 (536942), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Однакомагнитное поле изменяет знак при обращении времени. Система во внешнем магнитном поле не инвариантна относительно обращения времени,и вырождение снимается. Если источник (ток), создающий магнитное поле , является частью рассматриваемой системы, так что полная операция , вся система снова становитсяобращения времени включает в себя → − -инвариантной. Тогда вырождение восстанавливается, потому что для̃︀ − ⟩ такой жекаждого состояния |Ψ; ⟩ есть сопряженное состояние |Ψ;энергии. Если система подвержена внешнему вращению, угловая скоростьΩ также меняет знак при обращении времени, и ситуация такая же, какдля магнитного поля.5.6. Состояния, сопряженные по времениКак мы видели в предыдущем разделе, поведение волновой функции приобращении времени зависит от спина состояния и от представления. Мыбудем использовать представление, где спиноры преобразуются согласно^ уравнения (5.60) с фазовым множителем = −. Для частицматрице со спином 1/2 оператор поворота на угол вокруг оси n был найден в(5.17).
Таким образом, при нашем выборе оператор обращения временисовпадает с поворотом вокруг оси на угол 180∘^ = ℛ^ ().(5.65)5.6. Состояния, сопряженные по времени161^ изменяет → −,Действуя на спинор с = = ±(1/2), оператор а фазовый множитель дает^ + = − ,^ − = −+ ,(5.66)что может быть выражено как^ = (−)1/2− − .(5.67)Мы знаем, что по отношению к вращениям систему с угловым моментом можно представить как составленную из 2 спинов 1/2. Изучая поведениепри обращении времени, мы должны, как и при доказательстве теоремыКрамерса, выполнить преобразование (5.67) для каждого спина. В результате состояние∑︀| ⟩ изменяет знак и приобретает фазовый множитель споказателем (1/2 − ) = − .
Таким образом, сопряженное по временисостояние в соответствии с (5.67) определяется как̃︂ ⟩ = | ⟩ = (−)− | − ⟩.|(5.68)Заметим, что вторичное обращение времени восстановило бы первоначальное состояние | ⟩ с фазовым множителем (−)2 , равным 1 для целого и −1 для полуцелого , в согласии с теоремой Крамерса (5.63). Это можетбыть записано в виде 2 = (−)2 .(5.69)Мы увидим появление фазы (5.68) в векторном сложении угловых моментов, где это связано с обращением движения, J → −J. Определение(5.68) согласуется с выбором фазы матричных элементов углового моментаи коэффициентов векторного сложения (разд.
7.5). К сожалению, традиционное определение сферических функций ℓ отличается от предлагаемогоформулой (5.68). Поскольку ℓ функции координат, они подвергаютсякомплексному сопряжению при обращении времени, и соответствующийфазовый фактор равен (−) :*ℓ (n) ⇒ ℓ(n) = (−) ℓ− (n),(5.70)вместо (−)ℓ− , как это было бы по правилу (5.68).
Это было причинойдля изменения определения сферических гармоник, используемых многими авторами, например, в [3], где дополнительный фактор ℓ добавлен кобычному выражению ℓ . Тогда комплексное сопряжение согласуется с162Глава 5 Спин 1/2уравнением (5.68), так как (ℓ )* = (−)ℓ ℓ . Необходимо быть осторожным виспользовании фазовых соглашений различных авторов.5.7. Спиноры как кубитыКвантовая информатика и квантовые системы связи формируют одну изнаиболее быстро развивающихся областей применения квантовой физики.Бинарная система, построенная из чисел 0 и 1, используется для классических вычислений. Мы можем установить соответствие между этимидвумя числами и двумя возможными состояниями ± спина 1/2, определенными в некотором представлении, характеризующемся выбором осиквантования.
Выбранное представление обычно называется вычислительным базисом. Физическая реализация спиноров не ограничена частицамисо спином 1/2. Элементарная бинарная система может быть реализованаочень разными физическими системами, которые имеют два квантовыхсостояния, достаточно изолированных от других состояний; алгебра Паулиуниверсальна.Произвольное состояние спинора представляет собой суперпозицию (5.27)и, следовательно, содержит одновременно обе возможности, 0 и 1, с различными вероятностями, которые могут быть выявлены при проведенииизмерений. До того как измерение сделано, мы можем манипулировать соспинорами различными внешними полями, сохранив оба возможных результата.
Расширяя эту идею на множество связанных спиноров, где в общейсложности 2 состояний возможны, мы бы манипулировали ими всемиодновременно, необычайно сильно увеличивая вычислительную мощь. Индивидуальный спинор играет роль элементарного вычислительного блока,квантового бита (кубита). Эволюция спинора(-ов) осуществляется применением унитарных операторов; как мы знаем из предыдущих разделов,все они могут быть сведены к комбинации матриц Паули, и достаточнорассмотреть их действие в вычислительном базисе. В унитарной эволюциинорма волновой функции сохраняется — это именно то, что мы хотели быдля управления всеми квантовыми вероятностями одновременно.Язык квантовых вычислений был создан под сильным влиянием математической информатики, хорошо развитой для классических компьютеров.Унитарные операторы, изменяющие состояния кубита, называются логическими элементами.
Простейший классический элемент — NOT − изменяeтзначение кубита на противоположное, 0 ⇔ 1. Для спиноров, используемыхв вычислительном базисе, аналогичная операция выполняется матрицей5.7. Спиноры как кубиты163Паули :)︀)︀ (︀(︀ + − = − + .(5.71)В частности, базисные состояния преобразуются как ± ↔ ∓ , как в классическом компьютере. В компьютерной науке вместо ,, , используютсяобозначения , , , но здесь нам не нужно отказываться от нашей старойсистемы обозначений.
Таким образом, может быть названа квантовымNOT -элементом. Поскольку квантовое состояние любого спинора описывается соответствующим вектором поляризации n(, ), иногда полезноиспользовать эти углы, описывая квантовую эволюцию как движение этого вектора Блоха по сфере единичного радиуса. Операция изменяет → − , → 2 − .Еще один широко используемый элемент Адамара описывается матрицей)︂(︂111 1= √ ( + ).(5.72)ℋ= √1 −122Так как и антикоммутируют, ℋ2 = 1.
Легко видеть, что оператор ℋ преобразует произвольные спиноры + + + − − , где использованвычислительный базис с осью квантования , в такую же суперпозицию+ x +− −x состояний, поляризованных вдоль оси и в противоположномнаправлении.Задача 5.13Опишите действие элемента Адамара на состояние x в терминах вектораБлоха на единичной сфере.Идея возможных операций для системы нескольких кубитов можетбыть проиллюстрирована примером двух спиноров. У нас есть четыревозможных комбинированных состояния, которые могут быть помечены ввычислительном базисе как| + +⟩,| + −⟩,| − +⟩,| − −⟩.(5.73)Общая волновая функция этой системы в виде линейной комбинации состояний (5.73) не может быть выражена как произведение |1 ⟩ · |2 ⟩ двухнезависимых волновых функций: подсистемы запутаны (подробнее о запутанности будет сказано в третьем томе, разд. III.9.1).
Теперь мы можемпостроить оператор, называемый контролируемый NOT -элемент, или, короче, CNOT (иногда также называется контролируемый-X ), действующий164Глава 5 Спин 1/2в четырехмерном пространстве (5.73):⎛1 0 0)︂(︂⎜ 0 1 0^10^CNOT =≡⎜⎝ 0 0 00 0 0 1⎞00 ⎟⎟.1 ⎠0(5.74)В этой матрице базисные состояния упорядочены в соответствии с линией(5.73), а оператор не может быть представлен как произведение операторов,действующих независимо на первый и второй кубит.Назовем, с помощью обычного языка, первый кубит «управление», а^CNOT действует:второй «мишень». Теперь мы можем видеть, как оператор если управляющий кубит находится в состоянии 1, что означает |+⟩1 , спин^CNOT не изменит состояние кубита-мишени, так чтовверх, то | + +⟩ ⇒ | + +⟩,| + −⟩ ⇒ | + −⟩.(5.75)Действительно,^CNOT | + +⟩ = ^CNOT(︀1000)︀=(︀1000)︀= | + +⟩(5.76)^CNOT | + −⟩ = ^CNOT(︀0100)︀=(︀0100)︀= | + −⟩.(5.77)иВ противоположность этому, если спин управляющего кубита направлен^CNOT переворачивает состояние кубита-мишени:вниз |−⟩1 , действие ^CNOT | − +⟩ = | − −⟩,^CNOT | − −⟩ = | − +⟩.(5.78)Используя один кубит контроля и несколько кубитов-мишеней, можногенерировать произвольную эволюцию состояний кубитов.
Для этой целив принципе достаточно использовать CNOT -элемент и элементы, действующие на отдельные кубиты. По аналогии с CNOT можно сконструировать^ -операцию для произвольного унитарного оператораконтролируемую ^ таким образом, что для состояния вверх кубита управления ничего неизменится в кубитах мишеней, в то время как для состояния вниз кубита^ будет воздействовать на мишени.управления операция 5.7. Спиноры как кубиты165Задача 5.14Покажите, что оператор⎛1 0 0 0⎜ 0 0 1 0^SWAP = ⎜⎝ 0 1 0 00 0 0 1⎞⎟⎟⎠(5.79)обменивает состояния двух кубитов: в том же базисе (5.73)^SWAP |++⟩ = |++⟩,^SWAP |−−⟩ = |−−⟩,^SWAP |±∓⟩ = |∓±⟩. (5.80)Поскольку квантовая информатика стала почти отдельной, сложнойи быстро развивающейся ветвью квантовой науки, мы не можем углубляться здесь в подробности, отсылая для продолжения к Дополнительнойлитературе. Тем не менее имеет смысл упомянуть, что есть не только преимущества квантовых вычислений, но и серьезные (не только технические)проблемы.Один из примеров может быть дан с помощью так называемой теоремыо невозможности клонирования квантового состояния [27].
В то времякак возможно сделать практически полную копию классического объекта(«распечатать новую копию» любой, изначально подготовленной книги натом же принтере), в квантовой механике это не всегда разрешено. Простоедоказательство состоит в следующем. Попробуем сделать вторую копиюквантового состояния |1 ⟩. Мы имеем систему мишеней в произвольномначальном (нормированном) состоянии |0 ⟩ , и наша задача заключается^ , чтобы получить в качестве выв использовании унитарной эволюции ходного преобразования |0 ⟩ ⇒ |1 ⟩ . Тогда состояние двух наших системразвивается как^ |1 ⟩ · |0 ⟩ = |1 ⟩ · |1 ⟩ .(5.81)Предположим, что нам нужно скопировать другое состояние |2 ⟩ тем же^:копировальным аппаратом ^ |2 ⟩ · |0 ⟩ = |2 ⟩ · |2 ⟩ .(5.82)166Глава 5 Спин 1/2^ †^ = 1, и норма перекрытия сохраняется,Поскольку эволюция унитарна, ^ †^ |2 ⟩ · |0 ⟩ = ⟨0 | · ⟨1 |2 ⟩ · |0 ⟩ = ⟨1 |2 ⟩.
(5.83) ≡ ⟨0 | · ⟨1 |С другой стороны, мы знаем результаты эволюции (5.81, 5.82), так что^ 0 | · ⟨1 ^ 2 ⟩|0 ⟩ = ⟨1 |2 ⟩ ⟨1 2 ⟩ = 2 . = ⟨(5.84)Поэтому мы должны иметь = 1 или 0, а это возможно только дляклонирования точно ортогональных состояний. Другими словами, еслипроцедура клонирования работает для двух различных состояний базиса |1 ⟩ и |2 ⟩, она не будет работать для их произвольной суперпозиции,|1 + 2 ⟩. Точное клонирование не представляется возможным дажедля смешанных состояний, описываемых матрицей плотности (гл. III.8),а не чистой волновой функцией. Только после полной потери когерентности, которая эквивалентна возврату в мир без когерентной суперпозициисостояний, мы вновь приобретем точное классическое копирование.Еще один аспект может быть здесь упомянут. Физики работают в поискахмасштабируемых кубитовых систем с большим количеством составляющих,что в принципе позволило бы использовать на практике все теоретическиепреимущества квантовых вычислений.
Для того чтобы передавать и обрабатывать информацию, т.е. выполнять сложную работу, входящие в составсистемы кубиты должны взаимодействовать. Однако взаимодействие всистеме многих тел с высокой плотностью уровней быстро приводит к квантовому хаосу многих тел (разд. III.8), когда уже нет смысла говорить оквантовых состояниях отдельных кубитов. Вместо этого мы можем прийтик чрезвычайно сложным многочастичным волновым функциям, которыесделают проблему извлечения необходимой информации неразрешимой.Это означает, что должны быть разработаны специальные сложные схемыдля изоляции кубитов и включения их взаимодействия только на короткиевременные интервалы, когда это необходимо для вычислений.Дополнительная литература: [28], [29], [30], [27]Теория углового момента посуществу очень формальна. Еёосновными составляющими являютсянекоторые разделы теории групп итензорной алгебры.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
