1625913943-4651bd14c87f2eac7915671b5ee6e807 (536942), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Спин 1/2: алгебраОбъекты со спином 1/2 реализуют низшее нетривиальное представлениегруппы (2) размерности 2 + 1 = 2. В общей () группе фундаментальные представления размерности описывают подобные базисныесоставляющие (простейший нетривиальный набор объектов, неприводимыйпри всех преобразованиях группы).Задача 5.2Представление Швингера.
Введите два типа операторов рождения и уничтожения ^† , ^ и ^† , ^, которые создают и уничтожают «частицы» со спином = 1/2 и проекцией = 1/2 и −1/2, для -типа и -типа соответственно.С помощью этих операторов постройте состояния с определенным полныммоментом и его проекцией .РешениеВ представлении Холстейна—Примакова (задача 1.8) мы использовалиоператоры спиновых отклонений начиная с низшего состояния = −мультиплета. Назовем числом шагов, необходимых для достиженияпроекции снизу.
Таким же образом мы могли бы начать с высшегосостояния и придти сверху к тому же значению = за шагов(рис.5.1). Поэтому мы определим = − + = − .(5.3)Эти два числа, и , полностью определяют мультиплет (представление(2) группы) и состояние внутри мультиплета:1 = ( + ) ≡ ,221 = ( − ).2(5.4)146Глава 5 Спин 1/2–JnaMnb+JРис. 5.1. Конструкция швингеровского представленияЕсли бы мы могли интерпретировать и как числа частиц типа и соответственно, выражение (5.4) для показало бы, что эти частицы несутпроекции спина 1/2 и -1/2. Такая интерпретация действительно возможна.Матричные элементы (1.51) теперь выглядят следующим образом (сравнитес уравнением (1.59)):√︀√︀− ( ) = ( + 1), + ( ) = ( + 1) .(5.5)Эти комбинации точно соответствуют матричным элементам Гейзенберга—Вейля (I.11.119) для операторов рождения и уничтожения частиц двухтипов и . В соответствии с формулой (5.5), мы отождествляем^+ = ^†^,^− = ^^† .(5.6)Если оператор ^ уничтожает частицы с = −1/2, в то время как ^† рождает частицы с = +1/2, их произведение увеличивает общую проекцию системы на 1, как и должно быть для ^+ .
Числа шагов , являются^, для двух видов квантов, а ихсобственными значениями операторов разность дает оператор ^ ,^ = ^† ^,^ = ^†^,1 †^ = (^^ − ^†^).2(5.7)Новый аспект этого представления, который отсутствовал раньше — это то,что сейчас мы получили не только квадратичный оператор Казимира ^ =^ 2 , но еще и оператор ^ максимальной проекции, «фамилии» мультиплета,Jкоторый равен половине от общего количества квантов^1 †1 ^^^ = (^^ + ^†^) = (. + ) =222(5.8)Легко показать прямым вычислением, что операторы ^± , уравнение (5.6),и ^ , уравнение (5.7), подчиняются нормальным коммутационным соот-5.2. Спин 1/2: алгебра147^ /2)[(^ /2) + 1],ношениям (1.25, 1.26), а оператор Казимира ^ равен (в согласии с (5.8).
Состояния со всеми неотрицательными квантовымичислами и находятся в однозначном соответствии (5.4) с множествомвсех разрешенных мультиплетов | ⟩. Вакуумное состояние (I.11.112) поотношению к обоим типам квантов, = = 0, описывает скалярныймультиплет | = = 0⟩ и удовлетворяет^|00⟩ = ^|00⟩ = 0,(5.9)а произвольное состояние | ⟩ построено аналогично (I.11.121):| ⟩ =(^† ) (^† )√|00⟩. ! !(5.10)Перевод на язык группы (2) обеспечивает последовательное построениепроизвольных мультиплетов| ⟩:(^† )+ (^† )−| ⟩ = √︀|00⟩.( + )!( − )!(5.11)Согласно (5.8), четное число частиц приводит к целому , в то времякак нечетное соответствует полуцелым .
Таким образом, швингеровская конструкция обеспечивает построение всех унитарных неприводимыхпредставлений группы (2), используя спины 1/2 фундаментального представления как элементарные строительные блоки. Оператор ^† добавляетодин спин вверх и увеличивает сумму + , оставляя разницу − нетронутой, то есть и увеличиваются на 1/2. Операторы ^± , уравнение (5.6), действуют внутри мультиплета, просто заменяя одну частицудругой — противоположного типа.Канонический базис для спина 1/2 = | = 1/2, ⟩ состоит из двухбазисных векторов = ±1/2. Иногда удобно называть их «спин вверх»,1/2 ≡ + ≡ ↑, и «спин вниз», −1/2 ≡ − ≡ ↓. Все операторы в этомпространстве — матрицы 2×2.
Алгебра (1.22) удовлетворяется при ^s = , где компоненты могут быть выбраны как матрицы Паули(1/2)(︂)︂(︂)︂(︂)︂0 10−1 0, =, =.(5.12) =1 0 00−1Легко проверить коммутационные соотношения (1.21) и матричные элементы (1.50— 1.55); эти матрицы бесследовые в соответствии с общим148Глава 5 Спин 1/2результатом задачи 5.1. Три матрицы имеют квадраты, равные единичнойматрице, и каждая пара из них антикоммутирует, см. ниже (5.14).Задача 5.3Покажите, что швингеровское представление может быть записано ввиде∑︁^=J^† s′ ^′ ,(5.13),′ =±1/2где мы переименовали ^→^1/2 , ^ → ^−1/2 , и s′ = ⟨ |^s|′ ⟩ стандартные матричные элементы углового момента для = 1/2.
Это частныйслучай формы вторичного квантования, которая очень полезна в теориимногих тел (см. гл. III.11).Вместе с единичной матрицей матрицы (5.12) образуют полный набориз четырех независимых матриц в пространстве 2×2. В частности, ихпроизведения также являются матрицами того же набора. Это позволяетскомбинировать всю алгебру спина в тождестве = + .(5.14)Отсюда следует, что любая операторная функция матриц Паули может быть приведена к линейному выражению, частный случай задачиI.6.7. Первый член (5.14) эрмитов и симметричен относительно векторныхиндексов , , второй антиэрмитов и антисимметричен.
Часто приходитсяиметь дело со скалярными произведениями (a · ) матриц Паули с нематричными векторами. Тогда (5.14) дает(a · )(b · ) = (a · b) + [a × b] · .(5.15)В соответствии с уравнением (5.15)(n · )2 = n2 = 1(5.16)для любого единичного вектора n.Задача 5.4Покажите, что оператор конечных вращений (1.2) для спина 1/2 можетбыть представлен в линейной форме^ n () = exp[−(^s ·n)] = exp[(−/2)( ·n)] = cos(/2)−( ·n) sin(/2).ℛ5.2. Спин 1/2: алгебра149(5.17)РешениеВыполните суммирование четных и нечетных слагаемых ряда (1.5) поотдельности.Задача 5.5Найдите коэффициенты (перед единичной матрицей) и B = { } вразложении произвольной 2 × 2 матрицы ℳ на полный набор { , 1}ℳ = + (B · ).(5.18)РешениеКак следует из (5.14),tr( ) = 2 .(5.19)Поэтому=1tr ℳ,2 =1tr(ℳ ).2(5.20)Отсюда легко получить разложение (5.18) любой (несингулярной) матричной функции ( + b · ).
В этом случае=1[ ( + ) + ( − )],2B=b[ ( + ) − ( − )],2(5.21)где — это длина вектора b.Задача 5.6^ = ( · ℓ^), где ℓ^ — операторНайдите собственные значения оператора орбитального момента.Решение^ 2 и применим алгебру (5.15)Рассмотрим оператор ^ 2 = ℓ^ ℓ^ = ℓ^2 + ℓ^ ℓ^ .(5.22)150Глава 5 Спин 1/2Теперь мы должны принять во внимание, что компоненты ℓ^ не коммутируют.Из-за антисимметрии ^ 2 = ℓ^2 + [ℓ^ , ℓ^ ] = ℓ^2 + ℓ^ = ℓ^2 -( · ℓ^).22(5.23)2^ можно подставитьПоскольку ℓ^ коммутирует со скалярным оператором ,его вместе с собственным значением и получить квадратное уравнение^2 + ^ − ℓ(ℓ + 1) = 0(5.24)^ при заданном ℓ)с корнями (собственные значения + = ℓ,− = −(ℓ + 1).(5.25)5.3.
СпинорыВ представлении (5.12) матрица = 2 диагональная. Принимая базисные состояния ± в качестве собственных состояний с собственнымизначениями ±1, получаем канонический базис углового момента с осью в качестве оси квантования. В представлении, соответствующем матрицам (5.12), базисные состояния | = 1/2, = = ±(1/2)⟩ являютсядвухкомпонентными столбцами(︂ )︂(︂ )︂10+ =, − =.(5.26)01В то время как преобразование поворота векторных компонент, соответствующих спину = 1, было дано в задаче 1.2 и разд. 1.8, состояния(5.26) преобразуются при вращениях оператором (5.17). Такие объекты,реализующие фундаментальное представление алгебры (2), называютсяспинорами.
Любое состояние со спином 1/2 может быть представлено ввиде суперпозиции(︂)︂+== + + + − −(5.27)−базовых спиноров (5.26) с верхней (нижней) компонентой + (− ), дающейамплитуду нахождения величины , равной 1/2 (− 1/2). Начиная с со-5.3. Спиноры151стояния + (спин, поляризованный вдоль оси ) и применяя различныевращения (5.17), можно получить состояния с любой ориентацией спина.Задача 5.7Построить состояние спина 1/2, поляризованное вдоль оси n, котораяопределяется полярным углом и азимутальным углом .РешениеИспользуя геометрическую картину вращений, применим последователь^ ()ℛ^ () к состоянию + .
Мы ожидаем, что эта операцияные повороты ℛизменит направление вектора спина от оси к оси n. С матрицами вращения (5.17) в явной форме получаем(︂ )︂(︂ −/2)︂1cos /2^^n ≡ ℛ ()ℛ ()=.(5.28)0/2 sin /2Как легко проверить непосредственным вычислением, это действительносостояние со спином, ориентированным в направлении n(, ): · n)n = n .((5.29)Вместо вращения можно прямо решить задачу нахождения собственныхзначений (5.29).Любой нормированный спинор характеризуется двумя комплекснымиамплитудами ± с |+ |2 + |− |2 = 1, то есть тремя вещественными параметрами.
Они всегда могут быть выбраны в терминах углов и , такчто спинор приобретает вид (5.28) и несущественную общую фазу. Иначеформулируя этот результат, мы приходим к важному выводу: для любого спинора существует направление n такое, что спинор удовлетворяетуравнению (5.29). Это означает, что частицы со спином 1/2 всегда полностью поляризованы в некотором направлении. (Такое утверждение невернодля высших спинов, вспомним задачу 1.12с.) Согласно (5.28), для состояния, поляризованного вдоль n, анализатор, ориентированный вдоль оси, обнаружит интенсивность, которая составляет долю cos2 /2 от полнойинтенсивности.Задача 5.8Используя общий результат задачи I.6.11, найти проекционные операторы^ ± , которые проектируют любой спинор на компоненты с · n = ±1.Λ152Глава 5 Спин 1/2nPolarizern'AnalyzerРис.
5.2. Схема эксперимента для задачи 5.9Решение^ ± (n) = 1 (1 ± · n).Λ2(5.30)Эти операторы удовлетворяют общим свойствам проекционных операторов(разд. I.6.11)^2 = Λ^ ±,Λ±^ +Λ^− = Λ^ −Λ^+ = 0Λ(5.31)и(︁)︁(︁)︁^ ± (n) = ± Λ^ ± (n) . ·n Λ(5.32)Задача 5.9Пучок частиц со спином 1/2, поляризованный в направлении n(, ), проходит через анализатор, который пропускает только частицы, поляризованные вдоль направления n′ (′ , ′ ), рис.5.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
