1625913943-4651bd14c87f2eac7915671b5ee6e807 (536942), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Взаимодействие атомов на больших расстоянияхХимическая связь объясняется в основном взаимодействием атомов насравнительно коротких расстояниях, когда электронные облака взаимодействующих атомов значительно перекрываются. Такие силы спадаютэкспоненциально вместе с волновыми функциями электронов. Существуютслабые притягивающие силы Ван-дер-Ваальса (иногда называемые дисперсионными силами Лоренца), которые спадают по степенному закону4.7. Взаимодействие атомов на больших расстояниях139и действуют поэтому на больших расстояниях. Будучи обусловленнымивзаимодействием флуктуирующих электрических диполей, они отвечаютза связи в молекулярных кристаллах и отклонения уравнения состояниягазов от простых законов идеальных газов.В задаче 3.6 мы видели, что атомные электроны создают флуктуирующеедипольное электрическое поле, которое, в отличие от поля средней электронной плотности, спадает ∼ −3 на расстояниях больших, чем радиусатома.
Взаимодействие двух диполей описывается гамильтонианом [1, ур.(42.7)]:[︁]︁^^1 · d^ 2 ) − 3(d^ 1 · n)(d^ 2 · n) ≡ ,^ = 1 (d33(4.78)где дипольные операторы двух нейтральных атомов с зарядами ядра 1 и2 равны1,2^ 1,2 = d∑︁(^r − R1,2 ),R = R1 − R2 ,(4.79)=1а n есть единичный вектор вдоль R. Координаты ядра фиксированы вадиабатическом приближении.Слабые диполь-дипольные силы можно рассматривать по теории возмущений. Для основных состояний двух атомов средние значения дипольных^операторов исчезают, разд. I.8.5.
В первом порядке взаимодействие подмешивает к основному состоянию |01 02 ⟩ состояния |1 2 ⟩ с одним электроном в каждом атоме, возбуждённым на следующие доступные орбиталипротивоположной чётности. Поправка к энергии основного состояния всегдаотрицательна (4.18):Δ () =^ |1 2 ⟩|21 ∑︁ |⟨01 02 |,6 (0, 0) − (1 , 2 )(4.80)1 2где (1 , 2 ) — невозмущённые уровни энергии изолированных атомов. Этафункция определяет притягивающий потенциал двух атомов на большихрасстояниях:Δ () = −.6(4.81)140Глава 4 Стационарные возмущенияЗадача 4.7Оцените константу в уравнении (4.81) для двух атомов водорода восновном состоянии.РешениеРяды (4.80) можно просуммировать [24]. Мы ограничимся простой оценкой (приближение полноты).
Если средняя энергия возбуждения в знаменателе (4.80) равна , мы можем оценить результат с помощью суммированияпо полному набору состояний |1 2 ⟩,≈21 ∑︁^ |1 2 ⟩|2 = ⟨01 02 | |01 02 ⟩ .|⟨01 02 | (4.82)1 2Промежуточные энергии начинаются с 2-состояний, (11 12 ) = −2 ×(2 /20 ) × (1/4), т.е.
с энергии возбуждения (3/4)(2 /0 ). Средняя энергиявозбуждения, по соображениям размерности, должна быть = (2 /0 ) счисленным множителем ∼ 1. При вычислении ⟨ 2 ⟩ мы можем выбратьось вдоль , тогда 2 = 4 (1 2 + 1 2 − 21 2 )2 ,(4.83)и среднее значение для основного состояния равно⟨01 02 | 2 |01 02 ⟩ = 64 40 .(4.84)В результатеΔ () = −6 2 (︁ 0 )︁6. 0 (4.85)Точный расчёт даёт = 0, 93.Это рассмотрение справедливо, если большое расстояние между атомами не превышает длину волны 0 ∼ ~/ типичных атомных переходов.При > 0 становятся важными эффекты запаздывания, и закон взаимодействия изменяется с(4.81) на ∼ −7 [4, § 85].Новые эффекты появляются для двух тождественных атомов, один изкоторых находится в возбуждённом состоянии |⟩ с чётностью, противоположной чётности основного состояния.
Здесь мы должны использовать4.7. Взаимодействие атомов на больших расстояниях141теорию возмущений для вырожденных состояний. Действительно, состояния |01 2 ⟩ и |1 02 ⟩ имеют одинаковую невозмущённую энергию. Дипольдипольное взаимодействие (4.78) имеет ненулевой матричный элемент дляпередачи возбуждения между вырожденными состояниями^ 1 |01 ⟩·⟨02 |d^ 2 |2 ⟩−3⟨1 |(d^ 1 ·n)|01 ⟩⟨02 |(d^ 2 ·n)|2 ⟩,^ |01 2 ⟩ = ⟨1 |d ≡ ⟨1 02 |(4.86)или, поскольку атомы тождественны,^ 1 |01 ⟩|2 − 3|⟨1 |(d^ 1 · n)|01 ⟩|2 .
= |⟨1 |d(4.87)Правильные линейные комбинации нулевого порядка, как мы знаем изразд. I.10.4-I.10.6, равны)︁1 (︁√|±⟩ =|1 02 ⟩ ± |01 2 ⟩ .2(4.88)Они расщепляются матричным элементом (4.87)± = 0 + ±.3(4.89)Если атомы медленно приближаются друг к другу в начальном состоянии|1 02 ⟩, в результате последующей эволюции, описываемой таким же образом, как и в разд. I.10.6, будет периодически возникать состояние |01 2 ⟩с резонансной передачей возбуждения второму атому. Частота передачиопределяется матричным элементом /3 и зависит от расстояния . Таккак расстояние меняется со временем, лучшим подходом будет включениев рассмотрение адиабатической фазы (см. разд.
10.5).Дополнительная литература: [21], [25], [26]Электрон – это точка, ничто в нем невращается. Спин – это такое же внутреннеесвойство электрона как и масса.С. Газиорович «Квантовая физика»Глава 5Спин 1/25.1. (2) группаКак отмечалось в гл. 3.5., существуют наблюдаемые спектроскопическиеэффекты, связанные с электронными и ядерными спинами; спиновые степени свободы играют все возрастающую роль в науке и технологическихприменениях.
Наименьшее нетривиальное значение спина 1/2 и, используя частицы со спином 1/2 в качестве строительных блоков — электроны,кварки и нейтрино — природа конструирует практически всю материю (объединяя составные части со спином 1/2, можно получить произвольныйугловой момент ). Поэтому спин 1/2 заслуживает особого внимания.Существует важная геометрическая разница между целым и полуцелымзначениями углового момента. Орбитальный угловой момент ℓ^ генерируетмультиплеты с целым = ℓ. Спиновый угловой момент может приниматькак целые, так и полуцелые значения. Мы можем понять физическиепричины этого различия. При вращении (1.2) вокруг оси квантования волновая функция состояния | ⟩ с определенной проекцией на этуось просто приобретает фазу^ ()| ⟩ = −^ | ⟩ = − | ⟩.ℛ(5.1)Рассмотрим поворот на угол = 2.
Состояния с целыми не изменяются,exp(−2 ) = 1, в то время как состояния с полуцелым получают множитель −1. Как мы видели в разд. 1.1, орбитальный момент преобразуетявную координатную зависимость волновых функций. Так как направления, обозначаемые углами 0 и 2, физически совпадают, однозначнаяволновая функция должна быть периодической функцией углов с периодом2, то есть она может иметь только целые значения и . Другой аргумент происходит от эквивалентности (разд. 2.5) полных наборов плоских144Глава 5 Спин 1/2волн и сферических функций только с целыми значениями ℓ. Спиновые волновые функции не являются явными функциями координат, и требованиепериодичности отсутствует.
Поскольку физические предсказания даютсяв терминах амплитуд, которые билинейны по волновым функциям, тодопустимо двузначное представление группы вращений, соответствующейполуцелому спину.С математической точки зрения общие коммутационные соотношения(1.21) определяют группу (2), которая является так называемой накрывающей группой по отношению к трехмерной группе вращений ℛ(3).Специальные унитарные группы () — это группы унитарных × матриц с определителем, равным 1. Такие матрицы образуют группу, потомучто результатом их перемножения является новая матрица того же класса.Количество различных генераторов равно 2 − 1 — числу независимыхбесследовых матриц (единичная матрица дополняет этот набор линейнонезависимых матриц до общего числа 2 ). В случае = 2 число генераторов — три и алгебраическая структура одинакова для ℛ(3) и для (2)групп. Однако это всего лишь локальная структура вблизи единичногооператора, см.
уравнение (1.1). Различие в глобальных структурах (топологиях) проявляется в том, что две разные (2) матрицы (они отличаютсязнаком для полуцелого спина) соответствуют одному и тому же вращению.Физически идентичные повороты, отличающиеся на 2, согласно (5.1), дают +1 и −1, соответственно. Невозможно избавиться от этой двузначности,просто выбрав ветвь +1, поскольку тогда представление терпит разрыв вточке = 0(= 2).Задача 5.1Покажите, что генераторы ^ алгебры (2) представлены бесследовымиматрицами.РешениеУтверждение следует из коммутационных соотношений (1.21), так как влюбом представлении конечной размерности след коммутатора исчезает всилу инвариантности следа относительно циклической перестановки:tr ^ = − tr [^ , ^ ] = 0.2(5.2)Для данной системы все возможные состояния имеют либо только целыезначения углового момента, либо только полуцелые.
В противном случаеможно было бы построить, согласно принципу квантовой суперпозиции,5.2. Спин 1/2: алгебра145состояние линейной комбинации = int + half . Суперпозиция имеет фи^ изменяющий угловойзический смысл, только если существует оператор ,момент на полуцелую величину; его отсутствие означало бы, что целая иполуцелая подсистемы состояний никогда не интерферируют, и на самомделе нужно рассматривать их как различные системы (суперотбор). Поворот на 2 преобразует волновую функцию в int − half . После такого^ давали бы результатыповорота физические измерения с переменной противоположного знака из-за интерференционного члена ⟨int ||half ⟩.Это несовместимо с идеей вращения системы как целого на угол 2 безизменения внутренней структуры.5.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
