1625913943-4651bd14c87f2eac7915671b5ee6e807 (536942), страница 17
Текст из файла (страница 17)
При формальном нахождении коэффициентов из систе-4.2. Теория возмущений при отсутствии вырождения119мы уравнений (4.5) мы сталкиваемся с энергетическими знаменателями,характерными для этой формы теории возмущений.Система уравнений (4.5) эквивалентна оригинальному уравнению Шрёдингера и точного решения не имеет, хотя численные методы диагонализации разработаны для матриц достаточно больших размеров. В этом случаетребуется основанное на физических соображениях обрезание гильбертовапространства, что сводит задачу к вариационному методу (разд. I.10.3).В настоящей главе мы вместо этого будем искать более простой методрегулярных приближений.4.2. Теория возмущений при отсутствии вырожденияРассмотрим изменение невырожденного невозмущенного состояния |⟩под влиянием возмущения.
Наиболее практически удобным методом является теория возмущений Рэлея—Шрёдингера, где точное состояние |Ψ⟩ иточная энергия возникают из |⟩ и ∘ под действием возмущения.Без возмущения, → 0, мы имеем |Ψ⟩ = |⟩, т. е. = в выражении (4.4). При наличии возмущения в волновой функции (4.4) появляютсяпримеси состояний ≠ . Предположение аналитичности позволяет разложить коэффициенты (4.6) по малому параметру силы возмущения:2 (2) = + (1) + + ... .(4.6)Собственное значение энергии начинается с ∘ и гладко эволюционируетпо мере включения возмущения:(1)(2) = ∘ + + 2 + ...
.(4.7)Вычислив энергетический терм () для конечного, но малого значения, мы можем проследить его эволюцию назад вплоть до начального состояния в предположении однозначного «генетического» развития, рис. 4.1(здесь мы видим часть реального спектра сложного ядра 24 Mg, рассчитанного с использованием оболочечной модели [23], где роль параметра играет сила межчастичного взаимодействия ). Это «генетическое» предположение основано на теореме о непересечении из разд. I.10.5.
Используялупу, можно убедиться, что на рис. 4.1 все пересечения уровней обходятся.Существует также вариант теории возмущения Бриллюэна—Вигнера, гдесобственное значение энергии не разлагается в ряд, в то время как волноваяфункция разлагается. На практике этот вариант менее удобен.120Глава 4 Стационарные возмущения190Number scale180170160150–10 010 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110Percent interaction strengthРис. 4.1.
Эволюция энергетических термов как функции силы возмущенияПодстановка (4.6) и (4.7) ведёт к системе уравнений для разных значений:(︁)︁(︁)︁(1)(2)∘2 (2)∘ − + + 2 + ... + (1)++...=(4.8)(︁)︁∑︁′2 (2)= + (1) + + ... ,где — фиксированный номер интересующего нас состояния, а пробегаетпо всему гильбертову пространству. (Следует аккуратно обращаться смногочисленными индексами.)Вначале берём выражение (4.8) c = , тогда невозмущённые энергиии общий множитель сокращаются и мы получаем(︁)︁(︁)︁ ∑︁(︁)︁(1)(2)(1)(2)′2 (2) + +... 1+ + 2 +... = +(1)++....(4.9)4.2.
Теория возмущений при отсутствии вырождения121Здесь мы выделяем в отдельные уравнения первый(1)′ = ,(4.10)второй(2)(1) (1) + =∑︁′ (1)(4.11)и все высшие порядки по степени . Низший порядок поправки (4.10) к уровню энергии определяется средним значением возмущения по невозмущенному состоянию.
Поэтому член с = из правой части выражения (4.11)сокращается со вторым слагаемым из левой части и остаётся выражение∑︁(2)′ (1) = ,(4.12)̸=(1)в котором не содержится коэффициента .Вычисляя выражение (4.8) с ̸= , мы получаем:(︁)︁(︁)︁(1)(2)∘(2)∘ − + + 2 + ... (1)++...=(︁)︁∑︁′2 (2)= + (1) + + ... .(4.13)Опять рассматриваем это выражение в каждом порядке теории возмущений:∘′(∘ − )(1) = ,(1)∘∘(2) (1) + ( − ) =(4.14)∑︁′(1)(4.15)и так далее. В предположении, что состояние |⟩ не является вырожденными мы не боимся делить на разность энергий, получаем:(1) =′,∘− ∘ ̸= .(4.16)Таким образом, собственный вектор, эволюционирующий из невозбуждённого состояния |⟩, в первом порядке теории возмущений выражается122Глава 4 Стационарные возмущенияуравнением|Ψ⟩ =∑︁∑︁(1)( + (1))|⟩=(1+)|⟩+̸=′|⟩, (4.17)∘∘ − (1)где поправка пока ещё не найдена.
Энергия (4.12) не зависит от этогокоэффициента:′ = ∘ + + 2∑︁ | ′ |2.∘ − ∘(4.18)̸=′ = ( ′ )* .Здесь учтено, что гамильтониан эрмитов Наконец, потребуем, чтобы решение |Ψ⟩ (4.17) было нормировано:⟨Ψ|Ψ⟩ = 1.(4.19)В этом равенстве члены первого порядка должны компенсироваться(1)(1)* + = 0,(4.20)(1)т.е. неизвестный коэффициент должен быть мнимым, = , и соответствующая поправка к волновой функции — это первый член разложенияфазы .
Постоянная общая фаза не имеет значения, и мы можем принять(1) = = 0.(4.21)Это определяет ответ для волновой функции в первом порядке|Ψ⟩ = |⟩ + ∑︁̸=′|⟩.∘ − ∘(4.22)Уравнения (4.18) и (4.22) решают задачу поиска возмущённой волновойфункции и её новой энергии. Этот итерационный метод является регулярным, так что несложно явно вычислить поправки в любом (не слишкомвысоком) порядке. В конце мы можем избавиться от вспомогательногопараметра , полагая его равным 1, тем самым просто включив его в^ ′ .
Структура разложения в ряд (4.8) демонстрирует, что дляоператор вычисления поправки к энергии порядка достаточно знать поправку кволновой функции порядка − 1. В первом порядке по возмущению состо-4.2. Теория возмущений при отсутствии вырождения123яние |⟩ приобретает только примеси состояний |⟩, напрямую связанных с′ .исходным состоянием ненулевыми элементами матрицы возмущения Задача 4.1Найдите во втором порядке теории возмущений вектор состояния, полученный из невозмущённого состояния |⟩, и третий порядок теориивозмущений для энергии.РешениеСобирая члены следующего порядка, получаем:(2) = −1 ∑︁ | |2;2(∘ − ∘ )2(4.23)̸=(2)̸= =(3) =∘1∘− ⎧⎫⎨∑︁ ′ ′′′ ⎬ −;∘ ⎭⎩∘ − ∘∘ − ′∘ ∘ − ̸= ∑︁(4.24)̸=⎧⎫⎨∑︁ ′ ′′′ ⎬ −.∘ ⎭⎩∘ − ∘∘ − (4.25)̸=В -ом порядке теории возмущений входят примеси невозмущенныхсостояний, достигаемых из исходного состояния |⟩ за шагов с использо^ ′ .
Этот процесс перебирает все возможныеванием матричных элементов пути, включающие ( − 1) промежуточное (виртуальное) состояние. Если^ ∘ имеет наряду с дискретным спектром, где взято состогамильтониан яние |⟩, также и континуум, то в общем случае возмущённое состояние|Ψ⟩ может принадлежать и непрерывному спектру, так как соответству^ ′ . Это произойдёт, еслиющие примеси могут порождаться с помощью возмущённая энергия перейдёт в непрерывную часть спектра. Состоянияиз непрерывного спектра также должны учитываться при переборе виртуальных состояний.Поправка первого порядка к энергии (4.10) известна без вычислений иможет быть просто включена в невозмущенную энергию ∘ с самого начала, так что в последующих итерациях участвуют только недиагональныематричные элементы, которые и дают нетривиальный эффект.
Обратитевнимание, что поправки к энергии из-за недиагональных элементов всегдаобразуют циклы, → → → в выражении (4.25), а соответствующиепоправки к волновой функции образуют дерево (хотя и включающее в себяциклы) с ветвями, доходящими до примешанных состояний. Поправка124Глава 4 Стационарные возмущениявторого порядка (4.18) к энергии основного состояния всегда отрицательна из-за знака в энергетическом знаменателе. Мы уже упоминали, чтопоявление таких знаменателей является типичной особенностью этого варианта теории возмущений. Как мы помним из задачи с двумя уровнями(разд. I.10.5), смешивание состояний приводит к их расталкиванию.
Основное состояние чувствует отталкивающее давление всех примесей сверхуи перемещается вниз, в то время как для других состояний баланс сил,сдвигающих вверх и вниз, может оказаться любого знака. Таким образом, вэтой формулировке теория возмущений содержит признаки вариационногоподхода.4.3. СходимостьКак видно из полученных результатов и задачи 4.1, каждый новыйпорядок теории возмущений добавляет недиагональный матричный эле′ , делённый на энергетический знаменатель ∘ − ∘ .мент возмущения Таким образом, очевидным условием применимости пертурбативного подхода Рэлея—Шрёдингера является малость недиагональных матричныхэлементов по сравнению с разностью значений энергий соответствующихневозмущённых уровней:⃒⃒′⃒ ⃒⃒⃒(4.26)⃒ ∘ − ∘ ⃒ ≪ 1.Если это условие выполнено, то, в зависимости от требуемой точности, мыможем ограничиться несколькими низшими порядками теории возмущений.Также очевидно, что если для исходного состояния |⟩ существует состояние| ′ ⟩, которое является вырожденным по отношению к начальному, ∘ = ∘′ ,или имеет энергию близкую к энергии первого, |∘ − ∘′ | ≃ |′ |, топоправка к состоянию |⟩ становится большой и теория возмущений вэтой форме перестаёт работать.
В этом случае волновые функции |⟩ и^ ′ способно| ′ ⟩ являются нестабильными, и даже слабое возмущение существенно их перемешать.Тем не менее, если мы работаем в пространстве конечной размерности,то как всегда в задаче диагонализации (разд. I.10.3) для матриц конечногоразмера, выражение (4.5) сводится к алгебраическому уравнению, решениекоторого зависит алгебраически от параметра возмущения , а все корниявляются действительными, что исключает особенности типа квадратногокорня, который может стать мнимым. В этом случае разложение в ряд4.3. Сходимость125U(x)x3x2x2E1x2x1xx3Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
