1625913943-4651bd14c87f2eac7915671b5ee6e807 (536942), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Решение урав-(3.41)может быть легко найдено, поскольку оно сферически симметрично(︂)︂11 −2/⟨()⟩ = +.(3.42) На малых расстояниях, ≪ , этот потенциал сводится к потенциалу голого ядра, в то время как на больших расстояниях, ≫ ,он экспоненциально спадает из-за электронного экранирования. Среднее электрическое поле определяется градиентом среднего потенциала(3.42):(︂)︂221Rℰ⟨ℰ (R)⟩ = −∇⟨(R)⟩ = ++−2/ .(3.43)2 2Поле направлено по радиусу и на больших расстояниях экспоненциальноубывает.3.3.
Дискретный спектр99b) Чтобы вычислить средний квадрат флуктуации электрического поля,нам нужно взять мгновенное поле ℰ (R), созданное протоном, находящимся в начале координат, и электроном, находящимся в произвольнойточке r, построить произведение компонент этого поля и усреднить свероятностью |100 (r)|2 для электрона находиться в точке r.
Поле набольших расстояниях такое же, как у электрического диполя d = −r,ℰ (R) ≈3n′ (d · n′ ) − d,3(3.44)где n′ = R/ — единичный вектор в направлении точки наблюдения. Это поле диполя имеет нулевое среднее значение, потому чтов сферически-симметричном основном состоянии атома направление dусредняется. Поэтому средний потенциал и электрическое поле, найденные ранее, соответствуют сферической симметрии.
Тем не менее,билинейная корреляционная функция дипольного поля не обращаетсяв нуль. Из уравнения (3.44) находим∫︁1⟨ℰ (R)ℰ (R)⟩ = 6 3 |100 (r)|2 [3′ (d·n′ )− ][3′ (d·n′ )− ]. (3.45)В интеграле по 3 пишем = − , где мы вводим единичный векторвдоль радиуса, n = r/. Интеграл затем разделяется на радиальнуючасть, которая содержит ||2 4 и может быть легко вычислена, и угловую часть с четырьмя интегралами типа (1.107). Собирая все части,получим⟨ℰ (R)ℰ (R)⟩ =2 2( + 3′ ′ ).6(3.46)Среднеквадратичная флуктуация дипольного электрического поля атома√√︀6 2ℰ (R)⟩ =⟨ℰ(3.47)3изотропна и убывает с расстоянием от атома медленнее, ∝ −3 , чемсреднее монопольное поле нейтрального атома.Задача 3.7С помощью метода, используемого для гармонического осциллятора вгл.
2, получить рекуррентное соотношение для стационарного состояния в100Глава 3 Атом водородакулоновском потенциале с квантовыми числами и ℓ:22(+1)ℓ ⟨ ⟩ℓ + (2+1)⟨−1[︂]︂~2 2 − 1⟩ℓ +− ℓ(ℓ + 1) ⟨−2 ⟩ℓ = 0.4(3.48)Используя в (3.48) подходящие значения параметра , проверить теоремувириала и вычислить средние значения ⟨1/⟩ℓ , ⟨⟩ℓ и ⟨2 ⟩ℓ ; выразитьрезультат в атомных единицах , связанных с боровским радиусом, ~ = = = 1.РешениеРекуррентное соотношение для = 0 приводит к⟨ ⟩2 12 = −= ⟨ ⟩.(3.49)Это теорема вириала⟨⟩ = − ⟨ ⟩ = −.(3.50)Используя боровский радиус и энергетический спектр водорода, как атомные единицы=~2= 1 a.u.
(длина),2 = −получим (опять же в атомных единицах)⟨ ⟩1= 2. ℓ При = 1 то же соотношение ведет к⟨ ⟩~2124⟨⟩ + 3 − ℓ(ℓ + 1)= 0,2 2 42=−a.u. (энергия),2~2 222(3.51)(3.52)(3.53)что эквивалентно (сравнить с (3.39))⟨⟩ℓ =1[32 − ℓ(ℓ + 1)].2(3.54)3.3. Дискретный спектр101Наконец, для = 2 тем же самым способом получим[︂]︂2~2 3226⟨ ⟩ + 5 ⟨⟩ +− ℓ(ℓ + 1) = 0 4(3.55)или2[52 + 1 − 3ℓ(ℓ + 1)].2 2⟨2 ⟩ =(3.56)Те же результаты могут быть получены прямым интегрированием с точными волновыми функциями, но алгебраический способ более простой иэлегантный.Задача 3.8Обобщая правила сумм разд.
I.7.9, вычислите∑︁() =( − ) |(r) |2 ,(3.57)где = 2 и 3, для связанного состояния |00⟩ электрона в водородоподобноматоме.РешениеИспользуя операторные уравнения движения (I.7.89), получаем(2) = −∑︁^ ^r] · [,^ ^r] =[,~2 ∑︁~2(p · p ) = 2 (p2 ) . (3.58)2Теорема вириала (3.50) даёт(2) =2~22~2 (2 )22~2(2 )2 =| | ==. 2~2 22(3.59)В отличие от правила сумм Tомаса— Райхе— Kуна (I.7.138), этот результатзависит от состояния |⟩.
Аналогичным образом(3) =~2 ∑︁( − )(p · p ).2(3.60)Разность энергий может быть интерпретирована как следующий коммутатор с одним или другим оператором импульса. Взяв симметрично их102Глава 3 Атом водородаполусумму и используя (I.7.90), находим(3) = ~3~4[^p,∇]=(∇2 ) .2222(3.61)Это верно для любого потенциала (r). Для водородоподобного атома,∇2 = 42 (r),(3.62)и уравнение (3.61) приводит к(3) =22 ~422 ~4 32(2 )4 2|(0)|==.00223 3~2 3(3.63)Можно использовать эти два правила сумм для оценки энергии dip возбуждённых промежуточных состояний, соответствующих максимуму дипольной силы.
Для основного состояния = 1dip ≈ (3)2(2 )2 == 4|=1 |.~2 (2)(3.64)Это означает, что такие возбуждённые состояния принадлежат главнымобразом континууму.Тот факт, что вероятность для -волны имеет ненулевое значение вначале координат, уравнение (3.21), важен для многих физических процессов. Так, структура ядра может сделать процесс захвата электронаядром энергетически разрешённым.
Реакция + − → + происходитс превращением протона в нейтрон и излучением электронного нейтрино. Этот процесс индуцируется слабым взаимодействием; в результатеядро с избытком протонов преобразуется в другое, энергетически болеевыгодное ядро, а высвобождающаяся энергия уносится нейтрино. Процесспроисходит благодаря обмену - и -бозонами. Из-за их большой массы,∼ 100 ГэВ, радиус действия этого взаимодействия очень мал, ∼ 10−16 см,вспомним оценки из разд. I.5.10. Поэтому процесс может иметь заметнуювероятность, только если у электрона есть шанс попасть внутрь ядра.
Этопроисходит только для -электронов; в зависимости от главного квантовогочисла это может быть -захват, -захват и так далее. Атомные -оболочкииграют преобладающую роль и в других процессах, таких как внутренняя конверсия, когда возбуждённое ядро передаёт энергию возбуждениябез реального излучения фотонов непосредственно одному из атомных-электронов, который покидает атом.3.3.
Дискретный спектр103Задача 3.9Электрон находится в основном состоянии атома трития. Ядро трития3 H (один протон + два нейтрона) внезапно претерпевает бета-распад3H → 3 He + − + ¯ ,(3.65)превращаясь в ядро лёгкого изотопа гелия 3 He (два протона и один нейтрон); новый электрон и антинейтрино, образовавшиеся при бета-распаде,уносят электрический заряд и энергию.
Найти вероятность для первоначального атомного электрона остаться в основном состоянии атома гелия.РешениеПосле того как произошло внезапное изменение потенциала, начальнаяволновая функция не является больше стационарной собственной функцией нового потенциала. Она содержит амплитуды новых собственныхфункций различных возбуждённых (в том числе ионизованных) состояний.Амплитуда основного состояния равна√︂√︂∫︁∫︁ ∞23 −2/1 −/3(g.s.)* (g.s.)2..
= new old = 4=330√ ∫︁√4 8 ∞16 22 −3/= 3 =.(3.66)270Соответствующая вероятность 2.. = (8/9)3 ≈ 70 %.Общее выражение для радиальных водородоподобных волновых функций(3.5) связанных состояний в притягивающем потенциале 2 / есть(︂ℓ () = ℓ2)︂ℓ+1(2ℓ+1)−ℓ−1(︂2)︂−(/) ,(3.67)где полиномы Лагерра вводятся стандартным образом, () = − − +( ).! (3.68)При обычном выборе фазы нормировочная константа в (3.67) равна√︃ ( − ℓ − 1)!−ℓ−1 1ℓ = (−).(3.69) ( + ℓ)!104Глава 3 Атом водородаИногда полиномы (3.68) называются обобщенными, в то время как терминполиномы Лагерра зарезервирован для особого случая = 0.
Низшиеполиномы записываются как0 () = 1,1 () = 1+−,12 () = [(1+)(2+)−2(2+)+2 ].2(3.70)Задача 3.10Докажите алгебраические свойства полиномов Лагерра (3.68): явныйвид полинома () =∑︁Γ( + + 1)=0(−);Γ( + + 1) !( − )!(3.71)связь с полиномами Эрмита,ℋ2 () = (−) 22 !−1/2(2 ),2ℋ2+1 () = (−) 22+1 !1/2 ( ); (3.72)производящая функция, (, ) = (1 − )−(+1) −/(1−) =∞∑︁ () ,(3.73)=0удовлетворяющая дифференциальным уравнениям(1 − )2+ [ − (1 − )(1 + )] = 0,+ = 0,(1 − )(3.74)(3.75)и(︂)︂= − (, )=1(3.76)(разложение (3.73)) сходится при || < 1); рекуррентные соотношения сфиксированной ,( + 1)+1 () + ( − − 2 − 1) () + ( + )−1 () = 0, (3.77)3.4. Операторное решение ()= () − ( + )−1 ();рекуррентные соотношения для разных ,105(3.78)+1 () = +1 () − −1 (),(3.79) ()= −+1−1 ().(3.80)и3.4. Операторное решениеКак уже кратко обсуждалось в разд. I.7.10, «случайное» вырождениеможно отнести к скрытой симметрии. Эта симметрия приводит к появлениюдополнительного интеграла движения в кулоновском поле, вектора Рунге—Ленца(︁)︁^ = ^r − ~ [^^] .Ap × ℓ^] − [ℓ^ × p 2(3.81)Этот вектор лежит в плоскости классической орбиты кеплеровской задачи^ = (A^ · ^ℓ) = 0,(^ℓ · A)(3.82)в направлении из точки фокуса в перигелий.
Постоянная Планка появиласьв определении (3.81) из-за нашего условия измерять угловые моменты вединицах ~; классически ~ℓ^ = ℓ (cl) и два векторных произведения в (3.81)равны.В классической механике этот закон сохранения проявляется в наличии замкнутой периодической планетарной траектории, так как наличиепостоянного вектора A фиксирует ориентацию орбиты в плоскости, перпендикулярной другому сохраняющемуся вектору ℓ . Отклонения от точногогравитационного (или кулоновского) потенциала ∼ 1/ приводят [2] к искажению орбиты, когда радиальные и угловые частоты слегка рассогласовываются и траектория становится розеткообразной вместо эллиптической(сдвиг перигелия в общей теории относительности).
В квантовой механике^ не коммутирует с угловым моментом. Как и для любого вектора,вектор A[ℓ^ , ^ ] = ^ .(3.83)106Глава 3 Атом водородаПоэтому невозможно найти состояние, в котором оба вектора имеют определённые значения. Как мы знаем из обсуждения измеримости (разд.I.6.13) собственные состояния гамильтониана в таких случаях должныбыть вырожденными — тогда можно построить два множества вырожденных собственных функций для того, чтобы диагонализовать один из этихинтегралов движения одновременно с гамильтонианом. Мы вернёмся к этойтеме, когда будем обсуждать эффект Штарка в гл. 9.
Теперь мы в состоянии найти энергетический спектр атома водорода чисто алгебраическимспособом.Задача 3.11Докажите операторные соотношения:^ 2 и гамильтонианом ^a) связь между A2^ 2 = 1 + 2~ (1^ + ℓ^2 );A 2(3.84)классический предел этой величины есть квадрат эксцентриситета орбиты [2]√︃2(ℓ(cl) )2;(3.85)= 1+ 2b) коммутаторы компонент ^2~2^ ℓ^ .[^ , ^ ] = − 2(3.86)Рассмотрим вырожденный набор связанных кулоновских состояний с^ действуют только^ → = −. Оба вектора ℓ^ и Aотрицательной энергией внутри этого семейства состояний.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
