1625913943-4651bd14c87f2eac7915671b5ee6e807 (536942), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Поскольку мы знаем асимптотическое поведение волновых функцийсвязанных состояний вблизи начала координат и на больших расстояниях,мы выделяем оставшуюся интерполяционную функцию (), представляярешение в виде() = ℓ+1 − ().(3.5)Новая функция () должна быть регулярной вблизи особых точек. Онаудовлетворяет уравнению (штрих − это производная по ))︂[︂]︂(︂ (/) 2(ℓ + 1)ℓ+1′′′−1 −+ = 0.(3.6) +2Введём вспомогательный параметр√︂ (/) 2=−==.~(3.7)Теперь уравнение (3.6) преобразуется к виду ′′ + 2(ℓ + 1 − ) ′ + [ − 2(ℓ + 1)] = 0.(3.8)Мы пришли к уравнению для вырожденной гипергеометрической функции,уже обсуждавшейся в разделе (I.11.31). Энергетический спектр определяется с помощью обычной процедуры. Решение должно быть выражено в3.1.
Связанные состояния91виде ряда() =∑︁ ,(3.9)=0где коэффициенты подчиняются двучленному рекуррентному соотношению+1 =2( + ℓ + 1) − .( + 1)( + 2ℓ + 2)(3.10)Если бы ряд (3.9) был бесконечным, то далёкие члены ряда удовлетворяли бы +1 / ≈ 2/, что эквивалентно асимптотическому поведению∼ exp(2) и, следовательно, росту волновых функций на бесконечности(3.5), () ∼ ℓ+1 exp(). Волновая функция связанного состояния поэтомудолжна иметь () в виде конечного полинома некоторой степени , т.е.
̸= 0, в то время как +1 = 0. Для такого полиномиального решенияуравнение (3.10) требует = 2( + ℓ + 1),(3.11)тогда+1 =2( − ) ,( + 1)( + 2ℓ + 2)(3.12)что определяет полиномы Лагерра.Называя радиальным квантовым числом, введём главное квантовоечисло как= +ℓ+1= .2(3.13)Тогда уравнение (3.7) определяет энергетический спектр связанных состояний = − = −2 2 2=−.~2 22~2 2(3.14)Для водородоподобного атома этот точный результат совпадает со старойформулой Бальмера (I.1.26).92Глава 3 Атом водородаЗадача 3.1Покажите, что квазиклассическое квантование в соответствии с задачей2.4 даёт в кулоновском поле точный результат (3.14).В терминах соответствующего боровского радиуса = ~2 /2 энергиясвязи водородоподобного атома равна =2 2 2()=,122 2(3.15)а глубина проникновения в классически запрещённую область для уровня равна√︃1~2== .(3.16)23.2.
Основное состояниеСтационарные волновые функцииℓ (r) = ℓ (, )ℓ ()(3.17)помечены главным квантовым числом и вращательными квантовымичислами ℓ, ℓ = . Так как степень полинома > 0, главное квантовоечисло > ℓ + 1.(3.18)Собственные значения энергии (3.14) зависят только от . Для заданных все состояния |ℓ⟩, где ℓ = 0, ..., − 1 и = −ℓ, ..., +ℓ, вырождены.Вырождение ведет к оболочечной структуре дискретного спектра.Основное состояние — это состояние с = 1 (K-оболочка).
Здесь = 0,а единственно возможное значение орбитального момента равно ℓ = 0.В спектроскопических обозначениях -оболочка — это 1s состояние, гдеперед символом орбитального момента мы ставим главное квантовое число.Угловые квантовые числа основного состояния — ℓ = 00, и волноваяфункция, уравнение (3.5), описывается выражением100 ∼ℓ+1 − =0 () ∼ − ∼ −/ ,(3.19)3.2. Основное состояние93так как 0 () = 0 = const, 1 = /.
С полной нормировкой, волноваяфункция основного состояния (3.19) равна√︂ 3 −/100 (r) = 100 () =.(3.20)3Вероятность достичь начала координат для частицы в этом состоянииконечна,|100 (0)|2 =3.3(3.21)Для более высоких ℓ эта вероятность стремится к нулю как степень , в товремя как для > 1 и ℓ = 0 вероятность |00 (0)|2 меньше, чем (3.21), навеличину 3 , как видно из (3.16).Задача 3.2Для электрона в основном состоянии атома водорода найти вероятностьлокализации в классически запрещённой области.РешениеКлассическая точка поворота = определена условием − = −2 /;для атома водорода оно дает = 2. Вероятность нахождения в классически запрещённой области равна∫︁∫︁ ∞132 = || = 42 3 −2/ .(3.22)>Интегрирование даёт[︁(︁ )︁2 1 ]︁+ + −2/ . =22(3.23)Как и должно быть, → 1 при → 0 (нормировочный интеграл).
Для = 2 уравнение (3.23) даёт = 13 exp(−4) = 0, 238.Задача 3.3Для электрона в основном состоянии атома водорода найдите распределение вероятностей импульса и проверьте соотношение неопределённостей(Δ)(Δ ).РешениеВолновая функция в импульсном представлении получается Фурьепреобразованием координатной волновой функции,∫︁(p) = 3 (r) −(/~)(p·r) .(3.24)94Глава 3 Атом водородаИспользуя волновую функцию основного состояния (r), находим импульсное распределение вероятностей, (p) =)︁−4|(p)|283 (︁ 2 2=+1,(2~)3 2 ~3 ~2где нормировка такова, что∫︁3 (p) = 1.Среднее значение p2 может быть найдено путём интегрирования:∫︁~22⟨p ⟩ = 3 (p)2 = 2 .(3.25)(3.26)(3.27)Ещё проще воспользоваться теоремой вириала, которая даёт среднее значение кинетической энергии ⟨⟩ = или ⟨p2 ⟩ = 2 = ~2 /2 .
Аналогичнымобразом координатная волновая функция используется для вычислениясреднего значения∫︁⟨r2 ⟩ = 3 |(r)|2 2 = 32 .(3.28)Благодаря сферической симметрии основного состояния средние значения⟨r⟩ и ⟨p⟩ равны нулю, а1⟨2 ⟩ = ⟨r2 ⟩ = 2 ,31~2⟨2 ⟩ = ⟨p2 ⟩ = 2 .33Произведение неопределённостей равно[︁]︁1/2~~Δ · Δ = ⟨2 ⟩⟨2 ⟩= √ = √ , 33(3.29)(3.30)(3.31)что превышает нижнюю границу, достигаемую для гауссова волновогопакета, ~/2.Так как радиусы орбит, см.
уравнение (3.16), обратно пропорциональныприведённой массе, мюон (масса = 106 МэВ) в мезоатоме имеет самуюнизкую орбиту в / ≈ 200 раз ближе к ядру, чем электрон. В то времякак ядро в атоме водорода или в водородоподобном ионе может рассмат-3.3. Дискретный спектр95n=3–1/12(C/27)l = 0, 1, 2(s) (p) (d)j = 12–1/4(C/27)– /4(C/27)31 3 3 52 2 2 23d 5/23p 3/2 , 3d 3/23s 1/2 , 3p 1/2n=2l = 0, 1(s) (p)j=–1/8(C/8)–5/8(C/8)ω~104 MHz1 1 32 2 22p 3/22s 1/2 , 2p 1/2n=1l=0(s)j = 12–1/4C1s 1/2Рис. 3.1. Более детальная картина энергетического спектра водородоподобнойсистемы; ср.
с рис. I.1.7. Тонкая структура объяснена в разд. 8.3риваться как точечный положительный заряд, в мезоатомах, особеннотяжелых, с большими , размер самой глубокой боровской орбиты становится сравнимым с размером ядра. Поэтому наши результаты, полученныедля точечного ядра, становятся неверными, и необходимо принимать вовнимание реалистическое распределение заряда внутри ядра. И наоборот,отклонения спектров мезоатомов от рассчитанных исходя из предположения о точечном ядре служат источником информации о фактическомраспределении заряда в ядре.3.3. Дискретный спектрПервое возбуждённое состояние водородоподобной системы, = 2, допускает ℓ = 0 (2 состояние с = 1, ℓ = = 0) и ℓ = 1 (три 2 состоянияс ℓ = 1, = 0, ±1 и = 0).
Все четыре состояния вырождены по энергии и формируют L-оболочку. Радиальное квантовое число показываетчисло радиальных узлов функции () при ̸= 0. Удобно использоватьрадиальные координаты в единицах боровского радиуса, = /; тогда = = /. Радиальными собственными функциямиℓ () ∝ ℓ −/ (),(3.32)96Глава 3 Атом водороданормированными в соответствии с∫︁ ∞ 2 2 () = 1,(3.33)0являются 1( = 1, ℓ = 0, = 1):10 () = 2− ;(3.34)2( = 2, ℓ = 0, = 1):120 () = √2)︂(︂−/2 ;1−2(3.35)2( = 2, ℓ = 1, = 0):121 = √ −/2 .2 6(3.36)M-оболочка, = 3, содержит одно 3-состояние, = 2, ℓ = = 0, три3-состояния, = 1, ℓ = 1, = 0, ±1 и пять 3-состояний, = 0, ℓ =2, = 0, ±1, ±2, всего девять вырожденных состояний. Структура спектрапоказана на рис. 3.1. Легко найти общую формулу для числа вырожденныхорбитальных состояний в оболочке с заданным значением −1∑︁ℓ∑︁ℓ=0 =−ℓ1=−1∑︁(2ℓ + 1) = 2 .(3.37)ℓ=0Как отмечалось ранее, вырождение по отношению к магнитному квантовому числу следует из инвариантности относительно вращений, в товремя как кулоновское поле добавляет специфическое случайное вырождение по отношению к ℓ (или, что эквивалентно, к для данного ) — внутриоболочки энергия зависит только от , но не зависит от ℓ, на классическомязыке от эксцентриситета орбиты.
Релятивистские эффекты, обсуждаемыев гл. 8, устраняют основную часть случайного вырождения и формируюттонкую структуру спектра, см. рис. 3.1 (масштабная константа = 2 4Ry, где ≈ 1/137 — это постоянная тонкой структуры (I.1.29)).Фактическая степень вырождения уровней атома водорода равна 22 ,поскольку электрон обладает спином 1/2, и мы должны учитывать двевозможных проекции спина = ±1/2. В нашем нерелятивистском при-3.3. Дискретный спектр97ближении энергия не зависит от спинового состояния электрона.
Из-запринципа Паули, который появится в нашем курсе позже, одиночныеэлектроны в сложном атоме заполняют последовательные оболочки. Этопричина особой стабильности электронной структуры инертных газов: имеющееся число электронов, равное в нейтральном атоме, равно тому, чтонеобходимо для полного заполнения определённого числа оболочек (гелий = 2, неон = 10 = 2 + 2 · 4, ...). Похожие оболочечные структуры, но неточно вырожденные, существуют в других системах, таких как квантовые точки — искусственные атомы, создаваемые движением электронов,связанных внешними полями внутри полупроводника [17], или атомныеядра; ядерные аналоги инертных газов называются магическими ядрами.
Вядрах и тяжёлых атомах эффекты взаимодействия между частицами становятся достаточно сильными, и наша одночастичная картинка оказываетсяслишком грубой.Задача 3.4Объясните качественно, почему в сложных атомах вырождение состоянийс различным ℓ одной и той же оболочки (при данном ) исчезает, и орбитыс одними и теми же , но большими ℓ имеют более низкую энергию связи(ядро экранировано другими электронами); вырождение по по-прежнемуприсутствует.Конечно, выражения «орбита», «оболочка» и т.д. не могут пониматьсябуквально. Как всегда в квантовой механике, в отличие от первоначальноймодели Бора, у нас есть облако вероятности локализации электронов.
Формаоблака зависит от углов, что описывается сферической функцией ℓ (, ),а также от радиуса, с максимумами и узлами, определяемыми радиальнойфункцией ℓ ().Задача 3.5Для ℓ = − 1 (аналог круговой классической орбиты) убедитесь, чтомаксимальная вероятность соответствует боровским радиусам (I.1.25).РешениеС помощью (1.136) найдём волновую функцию для атома водородас квантовыми числами , ℓ = − 1, = 0, = ℓ, локализованную вэкваториальной плоскости:ℓℓ = const(︁ )︁ℓ−/() ℓ sinℓ .(3.38)98Глава 3 Атом водородаМаксимум радиальной вероятности 2 ||2 соответствуетmax () = 2 .(3.39)Задача 3.6Для атома водорода в основном состоянии найтиa) среднее значение электростатического потенциала ⟨(R)⟩ (объяснитьℰ (R)⟩;асимптотическое поведение, → ∞) и электрическое поле ⟨ℰb) среднее значение произведения компонент ⟨ℰ (R)ℰ (R)⟩ в точке R вдалиот ядра.Решениеa) Средний потенциал определяется плотностью заряда атома, котораявключает в себя точечное ядро и электронное облако:⟨(R)⟩ = (R) − |100 (R)|2 = (R) −Можно проверить нейтральность атоманения Пуассона∇2 ⟨(R)⟩ = −4⟨(R)⟩∫︀ −2/.3(3.40)3 (R) = 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
