1625913943-4651bd14c87f2eac7915671b5ee6e807 (536942), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Сингулярность может быть устранена путемотображения полуоси > 0 на всю ось с помощью подстановки = , = 0 ⇒ = −∞, = ∞ ⇒ = ∞.С новой переменной уравнение Шрёдингера приобретает форму[︂]︂22 22−2+ − 2 ( ) − ℓ(ℓ + 1)− = 0.2 ~(2.53)(2.54)Первая производная может быть устранена стандартным приёмом введенияновой функции (): = /2 ().
() удовлетворяет[︃]︃(︂)︂2 21 2 −222+ − 2 ( ) − ℓ + () = 0.2~2(2.55)(2.56)66Глава 2 Движение в центральном полеЭто уравнение имеет обычный вид с граничными условиями, определёнными на = ±∞. Квазиклассическая фаза новой волновой функции равна√︃(︂)︂∫︁ 1 2 −222 ,(2.57)() = − 2 ( ) − ℓ +~2или, возвращаясь к исходной переменной , уравнение (2.53),∫︁ √︂2(ℓ + 1/2)2() = 2 − 2 () −.~2(2.58)Сравнение (2.58) с исходным уравнением показывает, что в радиальнойзадаче можно использовать квазиклассическое приближение с тем лишьотличием, что(︂ℓ(ℓ + 1) ⇒1ℓ+2)︂2.(2.59)Требование регулярности вблизи начала координат выбирает решение(2.51).
-Волна не имеет центробежного барьера, в то время как все волныℓ > 0 подавлены вблизи начала координат. Этот факт сильно влияет насвойства взаимодействия частиц на малых расстояниях. Это соображениесправедливо даже для кулоновского взаимодействия ∼ 1/, более слабоговблизи начала координат, чем центробежная энергия.
Если потенциал болеесингулярен, чем 1/2 , мы сталкиваемся с аномальной ситуацией паденияна центр так, что система может не иметь конечной энергии в основномсостоянии. На самом деле другие физические факторы должны игратьроль, изменяя потенциал на очень малых расстояниях.2.4. Свободное движениеПри описании радиальной волновой функции мы начнем со случая свободного движения, = 0, когда решение имеет вид сферических волн,аналогично плоским волнам в декартовой геометрии.
Поскольку они образуют альтернативный полный набор решений, то плоские и сферическиеволны могут быть представлены каждая в виде суперпозиции решенийдругого класса. Эта взаимодополняемость имеет важное практическоезначение: детектор, улавливающий рассеянную сферическую волну в определенном направлении от рассеивателя, на самом деле проецирует эту2.4. Свободное движение67волну на плоскую волну с определенным направлением импульса.
Поэтомунеобходимо изучить эту взаимосвязь.Волновая функция (r) свободного движения в определённой парциальной волне с орбитальным моментом ℓ(r) =()ℓ (n),n=rудовлетворяет радиальному уравнению[︂]︂ℓ(ℓ + 1)′′2 + − = 0.2(2.60)(2.61)Два линейно независимых решения (2.51) и (2.52) уравнения (2.61) отличаются своим поведением в начале координат. Для свободного движениямы должны выбрать регулярное решение (0) = 0.
Но для движения вцентральном поле свободное уравнение (2.61) справедливо только в асимптотической области вне зоны действия потенциала. Здесь общее решениебудет суперпозицией регулярного и нерегулярного решений, которые должны быть гладко сшиты с регулярным решением в области взаимодействия.Поэтому мы должны знать свойства обоих решений.Вводя безразмерную переменную = , перепишем уравнение (2.61)как[︂]︂2 ℓ(ℓ + 1)+ 1− = 0.(2.62)22Здесь энергетическая зависимость исчезла. Отсюда следует, что решениядля всех энергий ведут себя одинаково, если расстояния измеряются всоответствующих длинах волн.
Действительно, свободное движение неимеет никакого внешнего масштаба длины.При малых , в соответствии с разд. 2.3, регулярное ℓ и сингулярное ℓрешения ведут себя какℓ ∼ ℓ ℓ+1 ,ℓ ∼ℓ,ℓ → 0.(2.63)В асимптотике → ∞ оба решения являются суперпозициями расходящейся и сходящейся − волн. Отнормируем (путем выбора ℓ ) регулярноерешение таким образом, чтобы асимптотическиℓ ≈ sin( + ℓ ), → ∞.(2.64)68Глава 2 Движение в центральном полеФаза будет найдена ниже.
Исследуя решения, мы применим методфакторизации [14].Определим два набора дифференциальных операторовℓ(±)^ℓ =± .(2.65)Тогда легко проверить, что уравнение (2.62) можно представить в двухэквивалентных формах:(+) (−)(−) (+)^ℓ+1 ^ℓ+1 ℓ = −ℓ = ^ℓ ^ℓ ℓ .(2.66)С помощью регулярных решений ℓ введем набор функций(+)ℓ−1 = ^ℓ ℓ ,ℓ = 1, 2, ...(2.67)Теперь мы можем доказать, что функции пропорциональны , и найти коэффициенты пропорциональности. Из второго уравнения (2.66) мынайдем(−)(−) (+)^ℓ ℓ−1 = ^ℓ ^ℓ ℓ = −ℓ .(2.68)Если здесь подставить ℓ → ℓ + 1, то мы придем к(−)^ℓ+1 ℓ = −ℓ+1 ,(2.69)(+)или, действуя на обе части (2.69) оператором ^ℓ+1 ,(+) (−)(+)^ℓ+1 ^ℓ+1 ℓ = −^ℓ+1 ℓ+1 = −ℓ(2.70)в соответствии с определением (2.67). Если сравнить результат (2.70) спервым из уравнений (2.66), мы увидим, что функции ℓ и ℓ удовлетворяютодному и тому же уравнению.Чтобы убедиться, что ℓ регулярно в начале координат, мы используемуравнение (2.67) с (ℓ − 1) → ℓ и асимптотику (2.63) регулярного решенияℓ+1(+)(+)ℓ = ℓ+1 ℓ+1 ∼ ℓ+1 ℓ+1 ℓ+2 = (2ℓ + 3)ℓ+1 ℓ+1 .(2.71)Это означает, что ℓ также принадлежит к классу регулярных решений.
Норегулярное решение является с точностью до нормировки единственным,2.4. Свободное движение69т. е. ℓ и ℓ просто пропорциональны, а их постоянное отношение можетбыть найдено из (2.63) и (2.71):ℓ = (2ℓ + 3)ℓ+1ℓ .ℓ(2.72)Таким образом, мы получаем рекуррентное соотношениеℓ+1 ^(−)(−)ℓ+1 ℓ ,ℓ+1 = −^ℓ+1 ℓ = −(2ℓ + 3)ℓ(2.73)которое позволяет последовательно построить все регулярные функции ℓ .Для -волны, ℓ = 0, регулярным при = 0 решением уравнения (2.62) является 0 sin .
Для асимптотического выбора (2.64) 0 = 1, и мы получим0 = sin ,0 = 0.(2.74)При следующем шаге (-волна, ℓ = 1) в соответствии с уравнениями (2.73)и (2.74))︂(︂1sin 1 = −3,(2.75)cos −0и в асимптотике ( → ∞)1 → −3(︁11 )︁cos = 3sin −.002(2.76)Сравнение с требуемой асимптотикой (2.64) показывает, что 1 = (1/3)0 =1/3 и1 =sin − cos ,1 = − .2(2.77)Нетрудно видеть, что общий результат естьℓ =111 112ℓ ℓ!···· · ==2ℓ + 1 2ℓ − 15 3(2ℓ + 1)!!(2ℓ + 1)!(2.78)иℓ = −ℓ.2(2.79)70Глава 2 Движение в центральном полеВ итоге наше регулярное решение характеризуется асимптотиками{︂ ℓ[2 ℓ!/(2ℓ + 1)!]ℓ+1 , → 0,ℓ ∼(2.80)sin( − ℓ/2), → ∞.В отличие от регулярного решения, основной член ряда, который представляет при малых нерегулярное решение ℓ , не определяет однозначнофункцию ℓ .
Действительно, при добавлении к ℓ регулярной функции ℓс произвольным постоянным коэффициентом главный доминирующийсингулярный член при → 0 не изменяется. Однако это изменит асимптотику при → ∞. Для полного определения ℓ мы наложим требование,чтобы на больших расстояниях ℓ имели асимптотики, аналогичные (2.80):(︂)︂ℓℓ ∼ cos −, → ∞.(2.81)2Такой выбор фазы означает определенное значение константы . При условиях (2.63) и (2.81) решение ℓ полностью определено. Обратите внимание,что старые рекуррентные соотношения имеют место и для функции ℓ :(−)^ℓ+1 ℓ = −ℓ+1 ,(+)^ℓ ℓ = −ℓ−1 .(2.82)В последовательности парциальных волн операторы ^(−) и ^(+) , очевидно,играют роль операторов рождения и уничтожения соответственно.Задача 2.5Определить величину константы ℓ в уравнении (2.63).РешениеРезультат может быть найден многими способами.
Например, рассмотримвронскиан (9.24) [ℓ , ℓ ] =ℓℓℓ − ℓ.(2.83)Как и в разд. I.9.3, нетрудно показать, что этот вронскиан не зависит от ,поскольку обе функции, ℓ и ℓ , подчиняются уравнению (2.61). Поэтомумы можем вычислить его значение в асимптотике на больших расстояниях(︂)︂(︂)︂ℓℓ22 = cos −+ sin −= 1.(2.84)222.4. Свободное движение71С другой стороны, вычисляя при → 0, мы находим = 1 = (ℓ + 1)ℓ ℓ ℓ −ℓ − ℓ ℓ+1 (−)−ℓ−1 ℓ = (2ℓ + 1)ℓ ℓ , (2.85)откудаℓ =1.ℓ (2ℓ + 1)(2.86)Задача 2.6Докажите, что функции ℓ и ℓ связаны с функциями Бесселя полуцелогопорядка (разд. I.9.7)√︂√︂ℓ () =ℓ+1/2 (), ℓ () =().(2.87)22 −(ℓ+1/2)Полные радиальные функции (2.40) выражаются через так называемыесферические функции Бесселя и сферические функции Неймана:ℓ () =ℓ ()=√︂(),2 ℓ+1/2ℓ () = −ℓ ()= (−)ℓ+1√︂().2 −(ℓ+1/2)(2.88)Суммируем их свойства (эти функции являются комбинациями элементарных тригонометрических функций со степенями координат в знаменателе).Низшие порядки дают0 () =sin ,1 () =sin cos −,20 () = −cos ,1 () = −(2.89)cos sin −.2(2.90)Вблизи начала координат, → 0,ℓ () ≈ℓ,(2ℓ + 1)!!ℓ () ≈ −(2ℓ − 1)!!,ℓ+1(2.91)72Глава 2 Движение в центральном полев то время как в асимптотике, → ∞, () ≈sin( − ℓ/2), () ≈ −cos( − ℓ/2).(2.92)Любые линейные комбинации ℓ и ℓ удовлетворяют тому же свободномууравнению (2.61).
В частности, комбинации, соответствующие сферическимфункциям Ганкеля первого и второго рода,ℓ = ℓ + ℓ ,˜ℓ = ℓ − ℓ ,(2.93)в асимптотике имеют сходящуюся или расходящуюся сферическую волну,ℓ ∼ −(−ℓ/2) ,˜ ∼ −(−ℓ/2) .(2.94)Сферические функции Ганкеля определяются как(1)ℎℓ () = ℓ () + ℓ (),(2)ℎℓ () = ℓ () − ℓ ().(2.95)Их асимптотики даются выражениями(1)ℎℓ () ∼ − (−ℓ/2) ,(︁)︁*(2)(1)ℎℓ () = ℎℓ () .(2.96)2.5.
Плоские и сферические волныСферические волныℓ ()ℓ (n) = ℓ ()ℓ (n), = ,rn= ,(2.97)образуют полный набор регулярных в начале координат решений уравненияШрёдингера для свободного движения частицы с энергией = ~2 2 /2.Любое другое регулярное решение может быть разложено по этому полномунабору. В частности, это может быть применено к плоской волне, котораязаведомо не имеет особенности в начале координат:∑︁(k·r) =ℓ (k)ℓ (n)ℓ ().(2.98)ℓЧтобы найти амплитуды ℓ в разложении (2.98), мы используем свободувыбора оси квантования для сферических функций ℓ . Мы выберем ось2.5.
Плоские и сферические волны73 в направлении волнового вектора k так, что ( = cos )(k · r) = = cos ≡ . = ,(2.99)Плоская волна (2.98) имеет осевую симметрию вокруг оси и не зависит√︀ от полярного угла . Поэтому разложение содержит только ℓ0 =(2ℓ + 1)/4ℓ (), так что√︂∑︁2ℓ + 1 =ℓ ℓ ()ℓ (), ℓ =ℓ0 .(2.100)4ℓИз-за ортогональности (1.145) полиномов Лежандра∫︁1 ℓ () =−12ℓ ℓ ().2ℓ + 1(2.101)Это соотношение справедливо для любого , так что достаточно вычислитьлевую часть при некотором значении . Интегрирование по частям дает∫︁∫︁ 11 1 ℓ′ () + [ − (−)ℓ − ],(2.102) ℓ () = −1−1где для получения ответа необходимо вспомнить граничные значения полиномов Лежандра (1.147) и (1.148).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
