1625913943-4651bd14c87f2eac7915671b5ee6e807 (536942), страница 6
Текст из файла (страница 6)
2(1.83)(1.84)Последовательно беря производные, каждый раз добавляем функцию угловв числителе и увеличиваем степень в знаменателе. Производная по 1.6. Построение множества сферических функций⋆35порождает только функции от cos , в то время как операторы ∇± ≡ /±/, помимо функций от , привносят также множитель ± . Такимобразом, для любого множества {e } постоянных векторов e1 , e2 , .
. . , eℓ ,результат ℓ-кратного дифференцирования может быть записан в видеℓ (, )1(e1 · ∇) · · · (eℓ · ∇) =ℓ+1(1.85)с угловыми функциями ℓ в числителе, которые зависят от выбора векторовe .Очевидно, что любая функция типа (1.85) является снова решениемуравнения Лапласа, так что применяя оператор Лапласа к функции ℓ /ℓ+1 ,уравнение (1.85), мы должны получить нуль. С другой стороны, явнодействуя на ту же функцию оператором (1.69), получаем2ℓ^ ℓ (, ) = ℓ(ℓ + 1)ℓ (, ).(1.86)Это означает, что функции ℓ (, ) на самом деле являются собственнымифункциями квадрата орбитального момента с собственными значениямиℓ(ℓ+1), где, по построению, ℓ = 0, 1, 2, . . .
; вспомним разд. I.5.11 и уравнение(I.5.90). Так как произведение ∇+ ∇− = ∇− ∇+ = ∇2 − ∇2 не создаёт новыхфункций от , мы можем получить все типы возможной азимутальнойзависимости функций ℓ (, ), выбирая среди ℓ производных определённоечисло ∇+ или ∇− . Таким образом мы построим мультиплет из (2ℓ + 1)различных угловых функций (назовём их теперь ℓ ), которые являютсясферическими гармониками ранга ℓ,ℓ− 1ℓ ± (, ) = const ℓ+1 ∇.± ∇(1.87)Здесь = 0, 1, .
. . , +ℓ, и зависимость от очевидна из (1.84), ℓ ± ∝exp(±), в согласии с уравнениями (1.77) и (I.11.82). В соответствии собщей теорией, мы будет маркировать все (2ℓ + 1) сферические функциидля данного ℓ положительными и отрицательными числами = −ℓ, −ℓ +1, . . ., −1, 0, 1, . .
., ℓ − 1, ℓ. Нормируя отдельно азимутальную часть, запишемсферические функции в виде1ℓ (, ) = Θℓ () √ .2(1.88)Члены мультиплета отличаются ориентацией в пространстве и, следовательно, могут быть преобразованы друг в друга путём вращений, порождённых36Глава 1 Момент импульса и сферические функцииорбитальным моментом (разд. I.4.7). Следствия мультиплетной структуры, наряду с другим способом построения сферических гармоник, будутрассмотрены позже.1.7. Простейшие свойства сферических функций⋆Сферические функции как функции от являются полиномами от sin и cos , и поэтому они регулярны на концах интервала, = 0, . Согласнообщим свойствам эрмитовых операторов, сферические функции с различными квантовыми числами (ℓ, ) автоматически ортогональны, и полнаянормировка (выбор константы в (1.87)) будет всегда определяться как∫︁ ℓ*′ ′ (n)ℓ (n)∫︁≡2∫︁00sin ℓ*′ ′ (, )ℓ (, ) = ℓ′ ℓ ′ .(1.89)Здесь мы использовали обозначение для элемента телесного угла.
Возможны ещё произвольные фазовые множители в определении ℓ . Будемпредполагать, что мнимые части возникают только из явных азимутальныхфункций exp(), в то время как функции Θℓ () действительны. Тогдаℓ и ℓ*− пропорциональны друг другу. Общепринятый выбор даётсяусловием*ℓ − (, ) = (−) ℓ(, ).(1.90)Позже мы вернёмся к этому вопросу в связи с инвариантностью относительно обращения времени.Как множество собственных функций коммутирующих эрмитовых опе2раторов ℓ^ и ℓ^ , множество сферических функций ℓ (, ) для всех ℓ и является полным, так что любая регулярная функция углов может бытьразложена по сферическим функциям ℓ .
Коэффициенты этого разложения могут быть легко найдены с помощью условия ортонормированности(1.89). Для произвольной функции углов (n) разложение имеет вид∑︁ (n) =ℓ ℓ (n).(1.91)ℓ1.8. Скаляры и векторы⋆Согласно (1.89),∫︁*ℓ = ℓ(n) (n).37(1.92)Подставляя (1.92) обратно в разложении (1.91), получаем тождество∫︁∑︁*(n′ )ℓ (n).(1.93) (n) = ′ (n′ )ℓℓПоэтому условие полноты множества сферических гармоник можно записать в виде∑︁*ℓ(n′ )ℓ (n) = (n − n′ ).(1.94)ℓКак мы знаем из разд. I.8.3, помимо вращательной инвариантности система может иметь ещё одну важную пространственную симметрию, аименно инвариантность по отношению к инверсии координат, r → −r.
Вдекартовых координатах преобразование инверсии означает, что (, , ) →(−, −, −), в то время как в сферических координатах(, , ) → (, − , + ),(1.95)так что sin не меняется, cos меняет знак и функция − приобретаетмножитель (−) . Повороты коммутируют с инверсией; это легко можнопонять из геометрических соображений, а также проверить формально.Это означает, что если состояние, принадлежащее вращательному мультиплету, имеет определённую чётность, то это квантовое число должно бытьодинаковым для всех членов мультиплета. Поскольку каждый операторградиента ∇ , также как любая компонента оператора импульса = −~ ,меняет чётность функции, уравнение (1.87) показывает, что функции ℓдля всех разрешённых имеют чётность (−)ℓ ,^ ℓ (n) = ℓ (−n) = (−)ℓ ℓ (n).(1.96)1.8.
Скаляры и векторы⋆Любая функция координат может быть представлена в виде ряда сферических гармоник с коэффициентами, зависящими только от . Рассмотримпервые члены разложения. Слагаемое с ℓ = 0, или -волна, пропорциональ-38Глава 1 Момент импульса и сферические функциино сферической функции√︂100 = const =4(1.97)и не зависит от углов. Оно не меняется при вращениях, 00 являетсяскаляром.Для ℓ = 1, -волна, имеем три функции√︂√︂33cos , 1±1 = ∓sin ± .(1.98)10 =48Для любого вектора V можно ввести вместо декартовых компонент =( , , ) так называемые сферические компоненты , = 0, ±1:0 = ,1±1 = ∓ √ ( ± ).2(1.99)√Сферические компоненты ±1 отличаются лишь множителем ∓1/ 2 отлестничных компонент ± , уравнение (I.11.104), также используемых дляоператора градиента в разд. 1.6.
Из (1.98) и (1.99) мы видим, что функции1 (n) являются по существу сферическими компонентами вектора n,√︂3 .(1.100)1 (n) =4Используя «спиновые» комбинации единичных декартовых векторов (1.32),также можно выразить сферические компоненты векторов как скалярныепроизведения (с определением (I.6.32) для комплексных векторов , чтоздесь совпадает с (1.90))†− · ) = ( = (−) (· V).(1.101)Задача 1.12a) Показать, что любую угловую волновую функцию частицы с орбитальным моментом ℓ = 1 можно записать в виде(n) = (a · n),(1.102)где a постоянный комплексный вектор, который не зависит от направления n = r/.1.8.
Скаляры и векторы⋆39b) Для волновой функции, записанной в виде (1.102), найти средние значения компонент орбитального момента ℓ^ .c) Для того же состояния можно ли найти направление e, для которогосреднее значение оператора (^ℓ ·e) (проекция орбитального момента на направление, характеризуемое единичным вектором e) равно 1? Другимисловами, является ли любое состояние частицы с ℓ = 1 поляризованнымв некотором направлении?Решениеa) Чтобы представить функцию (1.102) в виде суперпозиции сферических функций 1 с произвольными коэффициентами и определитьвектор a в терминах этих коэффициентов, возьмем вектор a со сферическими компонентами√︂3 = (−) −,(1.103)4или, в декартовом виде,√︂ =30 ,4√︂ =3(−1 − +1 ),8√︂ = −3(+1 + −1 ).8(1.104)В общем случае эти декартовы компоненты должны быть комплексными.b) Поскольку функция не предполагалась нормированной, нужное среднее значение должно быть записано в виде отношения двух угловыхинтегралов (мы используем декартовы компоненты ℓ^ ),∫︀ (a* · n) ℓ^ (a · n)⟨ℓ^ ⟩ = ∫︀.(1.105) (a* · n) (a · n)Здесь важно, что a в общем случае является комплексным вектором;оператор ℓ^ берётся в стандартном представлении как дифференциальный оператор (I.4.34), действующий на углы единичного вектора n.Начнём с нормировочного интеграла в знаменателе формулы (1.105):∫︁∫︁ (a* · n)(a · n) = * ,(1.106)40Глава 1 Момент импульса и сферические функциигде подразумевается суммирование по дважды повторяющимся декартовым индексам.
Здесь мы встречаем типичный интеграл∫︁ = .(1.107)Тензор второго ранга должен быть диагональным, поскольку для ̸= интеграл (1.107) обращается в нуль (положительные и отрицательныевклады для каждой координаты компенсируют друг друга). Кроме того,при = интеграл будет одинаковым для любого (, или ), такчто результат интегрирования должен быть пропорционален символуКронекера = .Чтобы определить константу , вычислим след матрицы :∫︁∫︁2Tr = = 3 = n = = 4.(1.108)(1.109)Таким образом,=4,3и нормировочный интеграл (1.106) оказывается равным∫︁44 2 (a* · n)(a · n) = * =|a| .33(1.110)(1.111)Теперь искомое среднее значение принимает вид⟨ℓ^ ⟩ =3 * ; ,4 |a|2где ℓ^ = − ∇ , и возник другой интеграл того же типа,∫︁∫︁^; = ℓ = − ( − ).(1.112)(1.113)1.8.
Скаляры и векторы⋆41Так как = 0 (векторное произведение вектора n на самогосебя), мы остались с выражением∫︁4; = − = − = − ,(1.114)3так что⟨ℓ^ ⟩ = − * .|a|2(1.115)Конечный результат можно записать в векторной форме,[a* × a]⟨ℓ^⟩ = −.|a|2(1.116)Момент импульса − аксиальный вектор, a единственный аксиальныйвектор, который может быть построен с помощью двух имеющихсявекторов, a и a* , есть их векторное произведение.c) Ненулевое среднее значение орбитального момента возможно толькоесли a комплексный вектор; векторное произведение в (1.116) являетсямнимым вектором, и среднее значение ^ℓ действительно, как и должнобыть для эрмитового оператора.
Если запишем комплексный вектор aв терминах двух вещественных векторов, b и c,a = b + c,(1.117)наш ответ принимает вид2[b × c]⟨ℓ^⟩ = 2.b + c2(1.118)Абсолютное значение этого среднего не может превышать 1 для любойпары вещественных векторов b и c, в согласии с тем, что собственныезначения компонент ℓ равны 0 или ±1. Существуют два особых случая.Значение 1 появляется при |b| = |c|, если эти векторы перпендикулярныдруг другу; это собственное состояние компоненты ℓ , нормальной к плоскости, образованной векторами b и c, с проекцией +1 на направлениеэтой нормали, или -1 на противоположное направление. Такое описаниеаналогично поляризации фотонов; это особое состояние имеет круговуюполяризацию (правую или левую).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
