1625913943-4651bd14c87f2eac7915671b5ee6e807 (536942), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Конечно, любая функция от ^ также удовлетворяет этому условию, но более сложнаяалгебра может иметь несколько независимых операторов Казимира. Легко^ 2 , играетвидеть, что абсолютное значение квадрата момента импульса, Jроль оператора Казимира, вспомним задачу I.4.5b,^ 2 ] = [^ , ^2 + ^2 + ^2 ] = 0.[^ , J(1.23)Одна из проекций углового момента, скажем ^ , и оператор Казимира^ 2 могут иметь определённые значения одновременно.
Как мы виделиJна примере орбитального момента, такая маркировка векторов состояниясвязана с выбором оси квантования и поэтому с видимым нарушениемвращательной симметрии. Симметрия восстанавливается потенциальнойвозможностью перехода к другой, повернутой системе координат.Вместо двух эрмитовых компонент углового момента в плоскости, поперечной к оси квантования, ^ и ^ , введём два новых оператора, эрмитовосопряжённых друг с другом, сравните с уравнением (I.11.104),^± = ^ ± ^ ,^+ = (^− )† .(1.24)Согласно (1.21), эти операторы удовлетворяют соотношениям[^∓ , ^ ] = ±^∓ ,(1.25)[^− , ^+ ] = −2^ .(1.26)Первое соотношение (1.25) имеет лестничный вид (I.11.105), и оно справедливо для ± компонент (I.11.104) любого векторного оператора. Начиная ссостояния с определённым значением проекции ^ , оператор ^− уменьшает это собственное значение, → − 1, в то время как ^+ увеличиваетего, → + 1.
Пусть начальное состояние, помимо , также имеет^ 2 . Оператор Казимира коммутирует с ^± , поэтоопределённое значение J22Глава 1 Момент импульса и сферические функцииму все состояния, которые составляют лестницу различных значений ,^ 2 . Геометрически это означает, чтоимеют одно и тот же значение ^ = Jоператоры ^± генерируют небольшие повороты вокруг перпендикулярныхосей, которые изменяют ориентацию (проекцию = ) вектора угловогомомента относительно оси квантования, но не меняют его абсолютногозначения, которое инвариантно относительно вращений и характеризуетлестницу в целом.Рассмотрим лестничное семейство, или мультиплет, состояний с заданным значением J2 и различными значениями . Так как для любогосостояния на лестнице^ 2 ⟩ = ⟨^2 + ^2 + ^2 ⟩ > ⟨^2 ⟩ = 2 .
= ⟨J(1.27)Лестница не может быть бесконечной, она заканчивается (в обоих направлениях) при некоторых предельных значениях max и min . Эти значенияопределяются величиной оператора Казимира для рассматриваемого семейства. На верхней (нижней) границе мультиплета действие повышающего(понижающего) оператора должно дать нуль, подобно уравнению (I.11.112)для алгебры Гейзенберга—Вейля. Используя эквивалентные выражениядля оператора Казимира, которые следуют из (1.23)— и (1.26),^ 2 = ^2 + 1 (^+ ^− + ^− ^+ )J2^^= + − + ^2 − ^ = ^− ^+ + ^2 + ^ ,(1.28)и имея в виду, что значение одно и то же для всей лестницы, послеприменения двух последних выражений (1.28) к состояниям с min и maxсоответственно, получаем22 = min− min = max+ max .(1.29)Отсюда находим min = −max .
Максимально возможную проекцию maxбудем обозначать через . Обычно это число просто называется угловыммоментом, и оператор Казимира через него выражается как = ( + 1).(1.30)Как отмечалось в разделе I.5.11 в связи с соотношением неопределённо^ 2 в мультиплете | ⟩ больше, чемстей, значение оператора Казимира J2квадрат максимальной проекции max = 2 . В состоянии с определёнными1.3.
Мультиплеты углового момента23^ 2 и ^ , не коммутирующие с ^ поперечные компоненты ^,значениями Jмомента импульса не могут иметь определённые значения, что имело быместо в случае, если можно было бы направить вектор J точно по оси2 . Различие связано с квантовыми флук и получить J2 = 2 = max22туациями + . Другими словами, невозможно построить состояние сопределённым значением момента импульса и определённой ориентацией в пространстве, например, вдоль оси квантования (из классическоймеханики мы помним, что компоненты момента импульса канонически сопряжены с угловыми координатами).
Уравнения (1.21) или (1.26) приводятк соотношению неопределённостей (I.6.163), (Δ )(Δ ) > |⟨ ⟩|/2 .Начиная с низшего состояния min = −max = − и применяя повышающий оператор ^+ , можно построить всю лестницу. Число шагов от = − до = + всегда целое и составляет 2. Поэтому возможнытолько целые и полуцелые значения . Соответственно, значения проекции на состояниях лестницы все целые или все полуцелые. Состояния вмультиплете могут быть помечены как | ⟩, т. е.
общим значением (имямультиплета) и отдельным ярлыком (персональное имя члена семейства), где − 6 6 +. Общее количество состояний в семействе (вмультиплете) | ⟩ равно + 1 = 2 + 1.Задача 1.3Найти явные выражения для собственных функций со спином = 1и проекцией ^ = .РешениеНормированные функции имеют вид⎛⎞⎛ ⎞1010 = ⎝ 0 ⎠ , ±1 = √ ⎝ ± ⎠ .201(1.31)Заметим, что эти трёх-компонентные функции (мы использовали здесьдекартов базис) можно рассматривать как комплексные векторы с компонентами (, , ), записанными вертикально. Если e − ортонормированныевекторы декартовой системы, решения (1.31) можно записать в виде 0 = e ,1 ± = √ (e ± e ),2† · ′ ) = ′ .((1.32)24Глава 1 Момент импульса и сферические функцииЗадача 1.4Рассмотрим некоторое состояние | ⟩ с квантовыми числами угловогомомента и = .
Найти среднее значение и среднеквадратичное откло^ · e) на произвольный единичныйнение для проекции углового момента (Jвектор e.РешениеПусть направление e характеризуется полярным углом и азимутальнымуглом в координатной системе с полярной осью вдоль первоначальнойоси квантования . Нас интересует оператор^ · e) = ^ sin cos + ^ sin sin + ^ cos .(J(1.33)Поскольку поперечные компоненты ^, , будучи линейными комбинациямииз ^± , имеют нулевые средние значения в состоянии | ⟩, то^ · e)⟩ = ⟨^ ⟩ cos = cos .⟨(J(1.34)Для нахождения среднеквадратичной флуктуации интересующего нас оператора мы должны знать средние значения квадратов и перекрёстныхпроизведений его компонент (нужно следить за порядком операторов).Комбинации ^, ^ + ^ ^, имеют нулевые средние значения по той же2 имеетпричине, что и ^, . Чтобы найти другие вклады, заметим, что ^+ненулевые матричные элементы только с Δ = 2.
Таким образом, среднеезначение этого оператора равно нулю,⟨(^ + ^ )2 ⟩ = ⟨^2 − ^2 + (^ ^ + ^ ^ )⟩ = 0.(1.35)Средние значения эрмитовых операторов являются вещественными числами, так что здесь действительная и мнимая части должны исчезать поотдельности,⟨^2 ⟩ = ⟨^2 ⟩,(1.36)⟨^ ^ ⟩ = −⟨^ ^ ⟩.(1.37)1.3.
Мультиплеты углового момента25Уравнение (1.36) вместе с (1.30) определяет среднее значение (I.5.91) поперечных флуктуаций в соответствии с указанной выше неопределённостью,1⟨^2 ⟩ = ⟨^2 ⟩ = [( + 1) − 2 ].2(1.38)Коммутатор (1.21) определяет⟨^ ^ − ^ ^ ⟩ = ⟨^ ^ ⟩ = −⟨^ ^ ⟩ =.2(1.39)^ · e)2 ⟩ исчезают, иТаким образом, все перекрёстные члены в ⟨(J^ · e)2 ⟩ = ⟨^2 ⟩ sin2 cos2 + ⟨^2 ⟩ sin2 sin2 + ⟨^2 ⟩ cos2 ⟨(J1= [( + 1) − 2 ] sin2 + 2 cos2 .(1.40)2Как следствие азимутальной симметрии задачи, нет зависимости от азимутального угла после усреднения поперечных компонент к нулю. Из (1.34)и (1.40) получаем неопределённость (дисперсию) проекции (1.33):1(Δ(J · e))2 = [( + 1) − 2 ] sin2 .2(1.41)Как и должно быть, эта флуктуация обращается в нуль при = 0 (оси иe совпадают), минимальная дисперсия соответствует состоянию с = ,которое максимально выстроено вдоль .Задача 1.5Пучок частиц со спином = 1 приготовлен поляризатором в состоянии с = .
Найти долю интенсивности пучка, прошедшего через анализатор,который пропускает частицы с проекцией ′ на ось e, направление которойхарактеризуется полярным углом и азимутальным углом , рис. 1.1.РешениеКлассическая картина соответствует нахождению проекции различныхнаправлений спина на конической поверхности вокруг оси e на ось e.Коэффициенты прохождения ( ′ | ) представляют собой вероятностинахождения частицы с проекцией (J · e) = ′ в состоянии с = .Здесь как , так и ′ могут принимать значения 0 и ±1. Коэффициенты26Глава 1 Момент импульса и сферические функцииeZJeM'Рис. 1.1.
Установка для задачи 1.5прохождения удовлетворяют очевидным уравнениям∑︁ ( ′ | ) = 1,′∑︁^ ′ ( ′ | ) = ⟨(J·e)⟩,′∑︁^ 2 ⟩. ′2 ( ′ | ) = ⟨(J·e)′(1.42)Средние значения здесь были найдены в (1.34) и (1.40). Два последнихуравнения не содержат (0| ), (1| ) − (−1| ) = cos ,(1.43)1 (1| ) + (−1| ) = 2 cos2 + (2 − 2 ) sin2 ,2(1.44)и определяют1 (±1| ) =2{︂(︂)︂}︂22221−sin + cos ± cos .2(1.45)1.4. Матричные элементы момента импульса27Этот результат снова не зависит от и для → 0 сводится к1 (±1| ) = ( 2 ± );2(1.46)это выражение равно единице для = ±1 и исчезает при = ∓1 и = 0из-за ортогональности соответствующих состояний. Из первого уравнения(1.42) и уравнения (1.44) находим1 (0| ) = 1 − 2 cos2 − (2 − 2 ) sin2 ,2(1.47)что при → 0 равно 1 для = 0 и 0 для = ±1.1.4.
Матричные элементы момента импульсаТеперь мы можем найти матричные элементы генераторов внутри мультиплета | ⟩. Будем действовать аналогично рассмотрению алгебры Гейзенберга—Вейля в разд. I.11.8.^ 2 и ^ , состоБудучи собственными состояниями эрмитовых операторов Jяния | ⟩ взаимно ортогональны, и будем считать, что они нормированы,⟨ ′ ′ | ⟩ = ′ ′ .(1.48)Операторы ^± связывают соседние состояния в мультиплете,^± | ⟩ = ± ( )| ± 1⟩,(1.49)где в результате эрмитовой сопряжённости ^− и ^+− ( ) = *+ ( − 1).(1.50)Вычисляя среднее значение оператора Казимира (1.28) в произвольномсостоянии | ⟩, находим абсолютные значения матричных элементов± ( ).
Их фазы остаются произвольными, и, как это делали раньше, см.уравнение (I.11.119), будем считать их действительными:√︀± ( ) = ( ∓ )( ± + 1).(1.51)Таким образом, декартовы компоненты момента импульса имеют простыеправила отбора по отношению к квантовым числам состояний в мульти-28Глава 1 Момент импульса и сферические функцииплете:)︁1 (︁⟨ ′ ′ |^ | ⟩ =+ ( ) ′ , +1 + − ( ) ′ , −1 ′ ,2(1.52))︁1 (︁+ ( ) ′ , +1 − − ( ) ′ , −1 ′ , (1.53)⟨ ′ ′ |^ | ⟩ =2⟨ ′ ′ |^ | ⟩ = ′ ′ .(1.54)Наконец, для всех состояний мультиплета,^ 2 | ⟩ = ( + 1) ′ ′ .⟨ ′ ′ |J(1.55)Все эти операторы действуют внутри мультиплета и не меняют ни величину, ни любые другие (не вращательные) квантовые числа, которые могутприсутствовать, но не указаны явно в бра- и кет-векторах.Классическая картина, рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
