1625913943-4651bd14c87f2eac7915671b5ee6e807 (536942), страница 5
Текст из файла (страница 5)
5.13, соответствующая состоянию | ⟩,представляет собой прецессию вектора углового момента вокруг оси квантования : тогда J2 и фиксированы, средние значения ⟨^ ⟩ и ⟨^ ⟩ равнынулю, в то время как средние значения ^2 и ^2 положительны.Задача 1.6^ · e) проекций J^ на произПокажите, что в мультиплете | ⟩ матрица (Jвольный единичный вектор e удовлетворяет полиномиальному матричномууравнению∏︁^ · e) − } = 0.{(J(1.56) =−Здесь следует понимать как умноженное на единичную матрицу.Задача 1.7^ (e), который, действуя на проПостроить проекционный оператор Λизвольную суперпозицию состояний мультиплета, выделяет компоненту спроекцией (J · e) = .1.4.
Матричные элементы момента импульса29Решение^ (e) =Λ∏︁ (J^ · e) − ′. − ′′(1.57) ̸=Задача 1.8Преобразование Холстейна—Примакова [9]. Докажите, что операторы,определённые как√︀√︀^ = − + ^† ^, ^− = ^ 2 + 1 − ^† ^, ^+ = ^† 2 − ^† ^, (1.58)где ^† и ^ являются стандартными операторами рождения и уничтожения алгебры Гейзенберга—Вейля, реализуют алгебру углового момента(1.25,1.26).РешениеВнутри мультиплета с заданным квантовое число может бытьзамещено эквивалентным числом — количество шагов, необходимыхдля достижения состояния | ⟩ начиная с низшего состояния | − ⟩: = − + . С этой заменой матричные элементы (1.51) принимают вид√︀√︀− ( ) = (2 + 1 − ), + ( ) = ( + 1)(2 − ).(1.59)√√Коэффициенты и + 1 в уравнении (1.59) совпадают с матричнымиэлементами (I.11.119) операторов ^и^† соответственно и имеют точно такойже смысл.
Каждый повышающий шаг ^+ создает квант отклонения спинаи постепенно меняет ориентацию вектора углового момента от = −до = + через все промежуточные состояния; второй сомножитель подквадратным корнем в формуле (1.59) завершает лестницу на требуемом^ =конце. Число шагов является собственным значением оператора ^† ^.Используя очевидные свойства этого оператора (докажите их!)^ ) = (^ + 1)^^ (,^ + 1) = (^ )^^† († ,можно записать уравнение (1.58) в другой форме:√︁√︁^^^− = 2 − ^, ^+ = 2 + 1 − ^† .(1.60)(1.61)30Глава 1 Момент импульса и сферические функцииСравнение (1.61) с (1.58) показывает, что это представление сохраняетнетронутыми эрмитовы свойства операторов ^ и ^± и, следовательно,является унитарным.Картина спиновых отклонений очень полезна в теории макроскопического магнетизма [10].
Ферромагнетик при нулевой температуре находится восновном состоянии максимальной намагниченности с макроскопическибольшими значениями и магнитного момента (в наших обозначенияхэто было бы в направлении, противоположном оси , = −). Тепловое движение вызывает колебания локальной намагниченности, которыераспространяются в среде как кванты спиновых волн — магноны (разд.III.14.4). Преобразование Холстейна—Примакова хорошо подходит дляописания этой ситуации. Вблизи основного состояния (низкая температура)/(2 + 1) ≪ 1 и повышающий оператор ^+ ≈ ^† является операторомрождения магнонов. Когда возрастает, можно учесть поправки, возникающие из-за конечности доступного пространства внутри мультиплета(квадратный корень в (1.58)).С точки зрения алгебры Гейзенберга—Вейля всё пространство состояний|⟩ разлагается здесь на две части: на физическое пространство (0 6 6 2)и нефизическое, для углового момента это пространство с > 2.
Физическое пространство имеет конечную размерность 2 + 1 находясь в точномсоответствии с вращательным мультиплетом | ⟩. Только в этом подпространстве, где три оператора ^ связаны между собой физическим^ 2 , можно выразить их в терминах двух операторов значением J^ и ^† ;только здесь представление является унитарным. Попытка продолжитьформулы преобразования за пределы мультиплета проваливается, потому что квадратные корни становятся мнимыми, ^± теряют свои свойстваэрмитовости и ряды, которые могут быть получены формальным разложе^ /(2 + 1), расходятся на границением квадратного корня по степеням мультиплета.Задача 1.9Представление Дайсона—Малеева. Показать, что алгебра углового момента реализуется следующим преобразованием операторов рождения иуничтожения:(︂)︂√√^† ^^ = − + ^† ^, ^− = 2 ^, ^+ = 2 ^† 1 −.(1.62)2Это представление является конечным (не содержит квадратных корней)и поэтому не требует никакого разложения на число квантов; оно также1.5.
Реализация алгебры орбитального момента31завершается в правильных местах на концах мультиплета. Однако оно не является унитарным, так как разрушается условие эрмитовой сопряжённостимежду ^− и ^+ .1.5. Реализация алгебры орбитального моментаПрименим общую теорию к движению бесспиновой частицы. В этомслучае имеем дело только с орбитальным вращением, и соответствующиегенераторы — это компоненты орбитального момента ℓ^.Как обычно, выберем ось квантования, назовём её осью и перейдём отдекартовых координат к сферическим координатам , , , которые болееподходят для описания вращений: = sin cos , = sin sin , = cos .(1.63)Теперь нам нужно выразить динамические переменные в сферическихкоординатах.Задача 1.102Выразить декартовы компоненты ℓ^ орбитального момента (I.4.28) и ℓ^ всферических координатах.РешениеКомпонент ℓ^ уже был найден в (I.4.68),ℓ^ = − .Для поперечных к оси квантования компонент находим(︂)︂^ℓ = sin + cot cos ,(︂)︂^ℓ = − cos + cot sin .(1.64)(1.65)(1.66)В приложениях мы будем иметь дело с лестничными комбинациями, аналогичными (I.11.104) и (1.24),(︂)︂±^^^ℓ± ≡ ℓ ± ℓ = ±+ cot .(1.67)32Глава 1 Момент импульса и сферические функцииИспользуя (1.64-1.66), получаем}︂{︂221 1^.ℓ =−sin +sin sin2 2(1.68)Оператор Лапласа в сферических координатах разлагается на радиальную и угловую части, причём последняя по существу и есть квадраторбитального момента (1.68):∇2 =1 2 1 2− 2 ℓ^ .2 (1.69)Задача 1.11Доказать уравнение (1.69) прямым вычислением без использования сферических координат.РешениеИспользуя формализм задачи I.4.5, имеем2ℓ^ = ℓ^ ℓ^ = − ∇ ∇ ,(1.70)и с помощью (I.4.33)2ℓ^ = − ∇ ∇ + ∇ ∇ .(1.71)Коммутаторы и ∇ дают∇ = + ∇ ,∇ = 3 + ∇ ,(1.72)и мы получаем2ℓ^ = (r · ∇) + (r · ∇)2 − 2 ∇2 .(1.73)Так как(r · ∇) = ,(r · ∇)2 = 2=+ 2 2 , (1.74)находим22 2ℓ^ = −2 ∇2 + 2+ 2 2 = −2 ∇2 +, (1.75)1.5.
Реализация алгебры орбитального момента33что эквивалентно (1.69).Для приложений к проблеме движения частицы в центральном поле (гл.2) нам нужно найти в явном виде координатные волновые функции, которые формируют вращательные мультиплеты. В сферических координатахони зависят от углов и (радиальная координата не меняется приповоротах). Мультиплет в целом, неприводимое представление трёхмернойгруппы вращений, характеризуется квантовым числом ℓ, соответствующимквадрату углового момента ℓ 2 = ℓ(ℓ + 1). Функции внутри мультиплетамогут быть помечены квантовым числом проекции ℓ на выбранную оськвантования.
Соответствующие собственные функции являются сферическими функциями ℓ (, ). Их можно рассматривать в качестве полнойсистемы функций на сфере единичного радиуса, и мы также будем использовать обозначение ℓ (n), где n — единичный вектор, направлениекоторого определяется полярным углом и азимутальным углом .Согласно (1.30), мы должны решить задачу на собственные значения2ℓ^ (, ) = ℓ(ℓ + 1) (, ).(1.76)Сразу можно разделить угловые переменные, полагаяℓ (, ) = Θℓ ()Φ ().(1.77)Используя явный вид (1.68) угловой части оператора Лапласа, получаемsin Θ1 2 Φsin + ℓ(ℓ + 1) sin2 = −= 2 ,Θ Φ 2(1.78)где 2 является удобным обозначением для новой константы разделения переменных, и, следовательно, ещё одним квантовым числом.
Параобыкновенных дифференциальных уравнений для угловых функций имеетвид2 Φ+ 2 Φ = 0,2(1.79)и показывает, что 2 является собственным значением ℓ^2 , иsin Θsin + [ℓ(ℓ + 1) sin2 − 2 ]Θ = 0.(1.80)34Глава 1 Момент импульса и сферические функцииУравнение (1.79) мы обсудили для плоской задачи, раздел I.11.5, и нашлинормированные экспоненциальные решения (I.11.82) для целых значений, выделяя периодические граничные условия для азимутального угла. Таккак является целым числом, общая теория углового момента указывает,что значение ℓ тоже должно быть целым.
Таким образом, орбитальный момент квантуется в целых числах, и только спиновый момент, не связанныйс функциями пространственных координат, может привести к полуцеломуквантованию. Функция Θ() зависит от обоих квантовых чисел, и ℓ(ℓ+1).Как увидим ниже, для регулярных решений при целом ℓ возможные значения для данного ℓ ограничены неравенством || 6 ℓ, как и должнобыть для углового момента и его проекции.1.6. Построение множества сферических функций⋆Наиболее естественный подход к сферическим функциям, как собственным функциям угловой части оператора Лапласа, восходит к электростатике. Единичный точечный заряд, расположенный в начале координат(плотность заряда ch = (r)), создаёт сферически-симметричный электростатический потенциал = 1/, а соответствующее уравнение Пуассонаимеет вид∇21= −4ch (r) = −4(r).(1.81)Вне начала координат функция 1/ удовлетворяет уравнению Лапласа∇21= 0, ̸= 0.(1.82)Исходя из этого фундаментального сферически симметричного решения,мы можем построить бесконечное множество зависящих от угла решенийуравнения Лапласа, применяя координатные производные к 1/.Заметим, что 11 cos =− 2 =− 3 =− 2 , (︂)︂ 11 ± sin ±±≡ ∇± = − 3 = −.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
