1625913943-4651bd14c87f2eac7915671b5ee6e807 (536942), страница 8
Текст из файла (страница 8)
(1.153)2ℓ ℓ!1.11. Угловой момент во внешнем поле49Задача 1.17Вывести квазиклассическую асимптотику для полиномов Лежандра.РешениеВ целях приведения уравнения (1.150) к форме уравнения Шрёдингера,введем новую функцию√ℓ () = sin ℓ (cos ),(1.154)что удовлетворяет[︃(︂]︃)︂2 ℓ1 21ℓ = 0.+ℓ++224 sin2 Тогда квазиклассическая асимптотика даётся выражением[︂(︂)︂]︂1 () ≈ ℓ sin ℓ ++,24(1.155)(1.156)где постоянный множитель ℓ не может быть найден из уравнения (1.155).Значения (1.153) определяют этот коэффициент для ℓ ≫ 1, когда можноиспользовать формулу Стирлинга (I.9.96) для факториалов,√︂2ℓ ≈.(1.157)ℓКвазиклассическая асимптотика справедлива при больших ℓ за исключением узкой области углов вблизи полярной оси, = 0 и = .1.11. Угловой момент во внешнем полеСкалярные операторы коммутируют с полным угловым моментом системы. Если система изотропна (нет внешних полей), гамильтониан не долженменяться при вращении системы как целого: он должен быть скалярнымоператором,^ ]^ = 0.[J,(1.158)(В релятивистской теории это утверждение остаётся в силе в системе центра масс; оно также может быть обобщено для преобразований Лоренца.)^ угловой момент J являТаким образом, для скалярного гамильтониана 50Глава 1 Момент импульса и сферические функцииется интегралом движения.
Мы должны подчеркнуть, что J представляетсобой полный угловой момент системы, включая все орбитальные и спиновые степени свободы всех частиц: система инвариантна, только если мыповернем её как целое, избегая любых искажений внутренней структуры.Как отмечалось в разд. I.7.10, сохранение углового момента (так же какдругие классические правила сохранения) является следствием симметриисистемы, вращательной в данном случае.Повороты связывают разные состояния внутри мультиплета | ⟩.
Таккак эти состояния отличаются только ориентацией, что в отсутствие внешних источников анизотропии не меняет внутреннюю структуру, все состояния | ⟩ с одним и тем же , но с различными являются вырожденнымипо энергии. Когда внешнее поле нарушает вращательную симметрию, угловой момент больше не сохраняется. Рассмотрим простейший примерстатического однородного векторного поля ℬ , которое связано с моментомимпульса взаимодействием^ · ℬ ).^ ′ = −~(J(1.159)Можно считать ℬ магнитным полем. Тогда^^ = ~J(1.160)представляет собой оператор магнитного момента, и есть гиромагнитноеотношение магнитного момента к механическому моменту ~J, вспомнимразд.
I.1.9.Гамильтониан (1.160) содержит только проекцию углового момента нанаправление поля; возьмём его в качестве оси . Это единственное направление в пространстве, которое физически выделено. Вращения вокруг этойоси по-прежнему не меняют систему: осевая симметрия сохраняется, вто время как общая вращательная симметрия не имеет места.
Полезноподчеркнуть, что мы всегда предполагаем вращение системы в фиксированном внешнем поле: если поле ℬ рассматривается как часть системыи тоже участвует во вращении, полная инвариантность восстанавливается. Генератор вращений в плоскости, перпендикулярной полю, являетсясохраняющейся величиной .^ 2 тоже коммутирует с ^ (1.159). Поэтому мы всёОператор Казимира Jещё можем маркировать стационарные состояния | ⟩ теми же квантовыми числами, что и в случае полной вращательной симметрии.
Но поле1.11. Угловой момент во внешнем поле51расщепляет уровни энергии в мультиплете, и они теперь зависят от , = −~ℬ.(1.161)Это зеемановское расщепление линейно по величине поля и сохраняет центртяжести мультиплета. При > 0 мы имеем ориентацию углового моментавдоль внешнего поля, самое низкое энергетическое состояние соответствуетмаксимальному выстраиванию с = .В задаче Ландау (разд. I.13.4) мы не учитывали спин электрона.
Взаимодействие спина с магнитным полем характеризуется (разд. I.1.9) гиромагнитным отношением = / = 2ℓ . Соответствующий вклад имеетвид = − ~(^s · ℬ ) = −~ℬ^ .(1.162)Вводя циклотронную частоту (13.38) и добавляя спиновый вклад (1.162) корбитальному квантованию (I.13.61), мы приходим к полному спектру энергии частицы со спином 1/2 (с проекцией спина = ±1/2 ) в статическомоднородном магнитном поле(︂)︂1(, ) = ~ + − (sign ) .(1.163)2Спектр Ландау приобретает дополнительное вырождение.
Для электрона, = −||, состояния (, = 1/2) и + 1, = −1/2 вырождены по энергии,так что их вместимость (I.13.62) увеличивается в два раза. Исключениемявляется основное состояние = 0, = −1/2.Существенное отличие уравнения (1.159) от случая сферической симметрии состоит в том, что теперь поперечные компоненты ^, не коммутируют^ Как мы знаем, они меняют на ±1 и, следовательно,с гамильтонианом .меняют энергию (1.161).
Операторы ^, не сохраняются, вместо этого онисоздают возбуждения в системе. Магнитное поле вызывает вращающиймомент, и уравнения движения для компонент углового момента, вспомнимзадачу I.7.12, имеют вид^ ′ ] = −~ℬ ^ ,~˙ = [^ , (1.164)или, в векторных обозначениях,^Ω × J],J̇ = [Ωℬ.Ω = −ℬ(1.165)52Глава 1 Момент импульса и сферические функцииBΩds =[Ω·s]disРис.
1.2. Прецессия углового момента во внешнем магнитном полеМы снова видим из (1.165), что сохраняется, тогда как поперечныекомпоненты вращаются с угловой скоростью Ω = Ω :˙ = −Ω^ ,˙ = Ω^ .(1.166)Для обычного гиромагнитного отношения, = /2, эта Ларморовскаячастота Ω в два раза меньше, чем циклотронная частота . Повышающиеи понижающие комбинации (1.24) являются нормальными модами:˙± = ±Ω± .(1.167)Их эволюция представляет собой чистое фазовое вращение^± () = ±Ω ^± ,(1.168)где шрёдингеровские операторы ^± не зависят от времени.
Это можетбыть интерпретировано (рис. 1.2) как изображение классической прецессии вокруг направления поля с угловой скоростью Ω. Факт отсутствиядиагональных матричных элементов ^± соответствует на классическомязыке усреднению по времени поперечных компонент. Прецессия былауже упомянута ранее в связи со стационарным состоянием | ⟩ просточтобы визуализировать образ состояния с заданными и , но никакогофизического вращения не предполагалось.1.11. Угловой момент во внешнем поле53Гамильтониан (1.159) является подлинным скаляром, так как угловоймомент, магнитный момент и магнитное поле — все аксиальные векторы,так что их произведение не только инвариантно относительно поворотов,которое подразумевалось в предыдущих рассуждениях, но оно инвариантнои при пространственной инверсии.
Аналогичное гипотетическое взаимодействие момента импульса или магнитного момента с электрическим полем · ℰ ) было бы псевдоскаляром и привело бы к несохранению чётности.(Кроме того, гамильтониан (1.159) инвариантен относительно обращениявремени ( -инвариантность), так как J и магнитное поле меняют знакпри обращении времени, в то время как взаимодействие электрическогополя с магнитным моментом будет -неинвариантным.
В противоположность этому, обычное взаимодействие (d · ℰ ) электрического дипольногомомента с электрическим полем является как -, так и -инвариантным.Такое взаимодействие также приведёт к расщеплению мультиплета | ⟩по проекциям на естественное направление квантования, определённоеэлектрическим полем, но, в отличие от расщепления Зеемана (1.161), ононе может расщепить состояния ± , являясь безразличным к направлениювращения, которое может быть изменено обращением времени.Дополнительная литература: [11], [12], [13]Все шире и шире круги обезумевшей птицы,Сокольничий сокола не докричится;Всеобщий распад; притяжение центра слабеет;Над миром анархия черными крыльями веет...В. Б.
Йейтс «Второе пришествие»Глава 2Движение в центральном поле2.1. Приведение к задаче одного телаВ этом разделе мы рассмотрим частицу, движущуюся во внешнем потенциальном поле (r). Во многих случаях эта задача возникает в результатеприведения задачи двух тел; мы уже использовали этот подход в задачеI.1.6, вводя поправку к спектру атома водорода, учитывающую отдачутяжелого ядра. В общем случае это делается так же, как в классическоймеханике [2].^ = (r1 − r2 ),Пусть две частицы взаимодействуют через потенциал зависящий только от их относительного расстояния. Волновая функцияΨ, зависящая от координат r1,2 обеих частиц, удовлетворяет уравнениюШредингера~Ψ(r1 , r2 , )^ +^ )Ψ(r1 , r2 , ),= ((2.1)где кинетическая энергия определяется массами обеих частиц 1 и 2 :(︂)︂^ 21^ 22pp~2 ∇21∇22^+=−+.(2.2)=21 222 1 2Координата центра масс R и относительная координата r определеныкакR=1 r1 + 2 r2, = 1 + 2 ,r = r1 − r2 .(2.3)56Глава 2 Движение в центральном полеm2r1–r2Cr2m1Rr1OРис.
2.1. Координаты в задаче двух телСоответствующие операторы градиентов преобразуются в соответствии с∇1 = ∇ +1∇R ,∇2 = −∇ +2∇R ,∇ ≡ ∇r ,(2.4)^ 1,2 = −~∇1,2 выражаются через относительный ими импульсы частиц p^ = −~∇R :^ = −~∇ и импульс центра масс Pпульс p^1 = p^+p1 ^P,^ 2 = −^pp+2 ^P.(2.5)Запишем также обратное преобразование координат (см. рис. 2.1):r1 = R +2r,r2 = R −1r;(2.6)здесь мы ясно видим эффекты отдачи, упомянутые в задаче I.1.6. Дляоператоров импульса находим^ =p^1 + p^ 2,P^=p21^1 −^ 2.pp(2.7)Задача 2.1Для системы двух частиц преобразуйте операторы орбитального момента,электрического дипольного момента и орбитального магнитного момента кпеременным центра масс и относительным переменным.2.1.
Приведение к задаче одного тела57РешениеОрбитальный момент раскладывается на орбитальные моменты центрамасс и относительного движения:L = ℓ 1 + ℓ 2 = [r1 × p1 ] + [r2 × p2 ] = [R × P] + [r × p] ≡ Lc.m. + ℓ . (2.8)Электрический дипольный момент определяется какd = 1 r1 + 2 r2 = (1 + 2 )R +1 2 − 2 1r.(2.9)В нейтральной системе, 1 + 2 = 0, дипольный момент не зависит отвыбора центра масс.
Внутренняя часть, не зависящая от движения центрамасс, отсутствует для тождественных частиц, когда 1 = 2 и 1 = 2 .Фактически то же самое происходит в любой системе частиц с одинаковымотношением /, так как в этом случае весь дипольный моментd=∑︁ r =∑︁ ∑︁ ∑︁ r = r =R , (2.10)пропорционален вектору центра масс R (см. также задачу I.7.10).Орбитальный магнитный момент частицы пропорционален ее орбитальному угловому моменту (см. разд. I.1.8): = ℓ .(2.11)Для системы из двух частиц с гиромагнитными отношениями 1 и 2 = 1ℓ 1 + 2ℓ 2 ,(2.12)преобразования (2.5,2.6) дают=(︁)︁1 2 + 2 11 1 + 2 21 2Lc.m.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
