1625913943-4651bd14c87f2eac7915671b5ee6e807 (536942), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Внеинтегральное слагаемое в правойчасти (2.102) равно (2/)ℓ sin( − ℓ/2), но, как видно из дальнейшегоинтегрирования по частям, оставшийся интеграл имеет порядок величины1/2 при больших . Сравнивая асимптотику (2.80) с правой частью (2.101),мы приходим к2 ℓ2sin( − ℓ/2) sin( − ℓ/2) =ℓ2ℓ + 1ℓ = ℓ (2ℓ + 1). (2.103)Уравнения (2.101) и (2.103) дают полезное интегральное представление () =12∫︁1 ().(2.104)−1Таким образом, искомым разложением (2.98) плоской волны по сферическим волнам является==∞∑︁ℓ=0ℓ (2ℓ + 1)ℓ ()ℓ ()(2.105)74Глава 2 Движение в центральном полеили, в произвольной системе координат,(k·r)=∞∑︁ℓ (2ℓ + 1)ℓ (cos (k,r) )ℓ ().(2.106)ℓ=0Возвращаясь к уравнениям (2.103) и (2.104), мы можем записать асимптотическую форму разложения при → ∞:(k·r) ⇒1 ∑︁(2ℓ + 1)ℓ (cos (k,r) )[ − (−)ℓ − ] =2ℓ=∑︁ℓ (2ℓ + 1)ℓ (cos (k,r) )ℓsin( − ℓ/2).(2.107)Набор полиномов Лежандра является полным, как мы видели в уравнениях1.147 и 1.149:∑︁(2ℓ+1)ℓ (n, n′ ) = 4(n−n′ ),ℓ∑︁(2ℓ+1)(−)ℓ ℓ (n, n′ ) = 4(n+n′ ).ℓ(2.108)Это приводит к эквивалентному и геометрически прозрачному асимптотическому равенству: при → ∞(k·r) ⇒]︁2 [︁ (nk − n) − − (nk + n) .(2.109)В асимптотике плоская волна выглядит как суперпозиция расходящейсясферической волны в направлении k и сходящейся волны вдоль −k.2.6.
Сферическая потенциальная ямаЭто самый простой, но очень важный пример — притягивающий потенциал глубиной 0 и радиусом (рис. I.3.8). Задача сводится к одномерномудвижению вдоль полуоси > 0.Для связанных состояний ( = − < 0) волновой вектор внутри потенциальной ямы 0 6 6 равен 0 :02 =2(0 − ).~2(2.110)2.6. Сферическая потенциальная яма75С заменой (2.40) и безразмерной переменной длины, определенной здеськак = 0 , радиальное уравнение Шрёдингера (2.38) снова принимаетвид (2.61) свободного движения. Выбирая регулярное решение внутрипотенциальной ямы, получим() = ℓ (0 ),0 6 6 .(2.111)В континууме то же самое справедливо для инфинитного движения при > 0.
Для ℓ = 0 нет центробежного барьера, и мы имеем стандартноеодномерное уравнение для () с кинематическим условием (0) = 0,что можно имитировать непроницаемой стенкой в начале координат и,следовательно,0 () = const · sin(0 ).(2.112)Это равносильно сохранению только нечетных решений задачи для одномерной симметричной потенциальной ямы, простирающейся от − до+.Во внешней области > уравнение для связанных состояний содержитмнимый волновой вектор√︂2 = , =, = −,(2.113)~2и уравнение снова приобретает ту же форму с мнимой безразмерной переменной = .
Чтобы получить экспоненциально затухающую функциюпод барьером, мы должны взять комбинацию ℎℓ от мнимого аргумента(1)ℓ () = ℎℓ ().(2.114)Низшие функции этого типа суть1 − ,(︂)︂11(1)ℎ1 () = +− . 2 2(1)ℎ0 () = −(2.115)(2.116)Внутренние и внешние решения должны сшиваться на границе потенциальной ямы = . Достаточно сшить функции = (доказать это!).Для ℓ = 0 необходимо сшить sin(0 ) с exp(−). Как часто бывает в такихслучаях, удобно исключить постоянные амплитуды, приравнивая логариф-76Глава 2 Движение в центральном полеη0π2π3π4π5πξРис.
2.2. Графическая конструкция для сферической потенциальной ямы (в данном случае существуют четыре связанных -уровня)мические производные при = , что даёт уравнение для энергии связи (ср. с (I.3.47))tan(0 ) = −0.(2.117)Это уравнение может быть решено графически, но сразу видно, что связанное состояние появляется, только если глубина потенциальной ямыпревышает критическое значение crit . Предполагая, например, положительный знак внутренней функции (2.112), мы имеем синус, растущийк границе. Если внутренняя функция достигает = с положительнойпроизводной, то невозможно сделать непрерывную сшивку со спадающейвнешней экспонентой.
Однако это становится возможным после того, какфаза синуса 0 достигнет /2. Таким образом, как мы уже обсуждали в(I.3.65),0crit =,2 crit = 2 ~2.82(2.118)Дальнейшее углубление потенциальной ямы увеличивает энергию связи,и в какой-то момент внутренняя функция, приобретая узел внутри ямы,снова может быть сшита со спадающей внешней функцией, так что ямаможет содержать два связанных состояния. Каждый раз новый уровеньпоявляется с нулевой энергией связи, а затем опускается вниз по мере углуб-2.6. Сферическая потенциальная яма77ления потенциальной ямы. Момент появления уровня соответствует = 0.Удобно ввести безразмерные переменные, удовлетворяющие уравнению(2.117): = 0 ,=− = ,.tan (2.119)Они взаимосвязаны уравнением окружности в плоскости (, ) (рис.
2.2):2 + 2 =20 2≡ 2.~2(2.120)При → 0 переменная → , это предел, который не зависит от . Дляℓ = 0, как видно из уравнения (2.117), это происходит, когда обе частиуравнения бесконечны,(︂)︂1 = +, = 0, 1, ...,(2.121)2так что новые уровни появляются, когда0 =crit~2 2=22(︂1+2)︂2.(2.122)Задача 2.7Найти последовательность критических значений переменных дляпоявления связанных состояний с ℓ = 1 (-волна).РешениеИспользуя явную форму сферических функций Бесселя и Ганкеля дляℓ = 1, найдем решение{︂[sin(0 )/(0 ) − cos(0 )], < ,() =(2.123)[1 + 1/()] exp(−), > .Условие сшивки может быть записано какcot 111− 2 = + 2 (2.124)78Глава 2 Движение в центральном полев терминах переменных (2.119), связанных уравнением (2.120). Новые-уровни появляются при cot → ∞, или = ,crit =~2 2 2 ,22 > 1.(2.125)Задача 2.8Прямоугольная яма радиуса поддерживает только одно слабо связанное-волновое состояние с энергией связи . Найти глубину потенциальнойямы.РешениеГлубина только слегка больше, чем критическая величина (2.118), 0 =crit+ .
Это означает, что слегка больше, чем /2, и в первом порядкепо мы находим√︂2~2 .(2.126) =2Энергия связи растет пропорционально квадрату избытка глубины потенциала=2 2 ( )22()=.2~216 crit(2.127)2.7. Короткодействующий потенциалВновь рождённые состояния очень слабо связаны. Соответствующиевнешние экспоненты имеют большую глубину проникновения ∼ 1/ и образуют гало (см. разд. I.3.5) волновой функции в классически запрещеннойобласти.
Решения в континууме могут быть найдены с использованиеманалогичных граничных условий, но мы отложим их обсуждение до техпор, пока не сформулируем задачу рассеяния.Во многих практических ситуациях нас интересует вопрос существованиясвязанных состояний. Дальнодействующие потенциалы, как, например,кулоновский, могут иметь бесконечное количество связанных состояний, втом числе очень большого пространственного размера. В таких случаях унас нет гало: волновая функция экспоненциально затухает ∼ exp(−), в то2.7.
Короткодействующий потенциал79время как потенциал спадает по степенному закону, например ∼ 1/, так чтохвост слабосвязанной волновой функции все еще находится в классическиразрешенной области. В случае короткодействующего потенциала, 1/ ≫ ,подавляющая часть волновой функции может быть в гало за пределамипотенциала — вспомним, например, разд. I.3.5.Поскольку центробежный барьер для ℓ ̸= 0 подавляет вероятность нахождения частицы внутри притягивающего потенциала на расстояниях < ℓ/,как правило, только -волновые связанные состояния имеют значительныйшанс существовать в короткодействующем потенциале. Последовательность низших связанных состояний для каждого орбитального момента ℓобразует так называемые ираст-линии.
В одночастичных задачах вдольираст-линий состояния упорядочены в точном соответствии с возрастаниемℓ.Задача 2.9Докажите, что низшее связанное состояние с орбитальным моментом ℓв центральном потенциале имеет энергию, которая ниже, чем низшее изсвязанных состояний с орбитальным моментом ℓ′ > ℓ.РешениеЭнергия ℓ — среднее значение эффективного гамильтониана (2.39) длярадиальной функции ℓ (),∫︁(︁)︁^^ + ℓ () ℓ ().ℓ = ⟨ℓ |ℓ |ℓ ⟩ = 2 * () (2.128)Для высших значений орбитального момента ℓ′ > ℓ⃒ 2 ′ ′⃒⟩⃒ ~ [ℓ (ℓ + 1) − ℓ(ℓ + 1)] ⃒^ ℓ |ℓ′ ⟩ + ℓ′ ⃒^ ℓ′ |ℓ′ ⟩ = ⟨ℓ′ |⃒ ℓ′ .ℓ′ = ⟨ℓ′ |⃒⃒22⟨(2.129)Второе слагаемое в (2.129), очевидно, положительно. Что касается первогослагаемого, то мы можем применить вариационный принцип.
Гамильтонианℓ имеет минимальное среднее значение, равное ℓ в своем собственномсостоянии ℓ ; поэтому в любых других состояниях, в том числе и в ℓ′ ̸=ℓ ,его среднее значение больше. В результате ℓ′ > ℓ .Что касается -волны, из рассуждений предыдущего параграфа очевидно,что можно записать условие сшивки для логарифмических производных80Глава 2 Движение в центральном полелюбой собственной волновой функции = / как(︂)︂1 () ≡= −, =(2.130)где , см.
уравнение (2.113), характеризует энергию связи . Связанноесостояние существует, если логарифмическая производная, взятая изнутри,отрицательна, < 0, и две части волновой функции могут быть непрерывно сшиты. Этот вывод справедлив для любого короткодействующегопотенциала и любой границы = , где движениеуже свободно. Если∫︀22основная часть нормировочного интеграла || определяется внешней частью, где ∝ exp(−)/, то весь эффект потенциала в основномописывается одной величиной , и результат не зависит от конкретноговида потенциала.2.8. Добавление второго центраВ случае когда логарифмическая производная > 0 и связанных состояний нет, присутствие еще одного центра притяжения не очень далеко отпервого может породить связанное состояние. Предположим, что центрыидентичны, и оценим, как близко второй центр должен быть для этогорасположен.Если глубина проникновения 1/ велика по сравнению с радиусом 0потенциала, внешняя функция в большой области 0 < < 1/ может бытьпредставлена в виде = const − ≈ const(1 − ).Тогда полная -волновая функция ведет себя в этом регионе как)︂(︂1() ≈ const− .(2.131)(2.132)Пусть теперь второй центр находится на расстоянии > 0 от первого.В точке r вне обеих короткодействующих ям волновая функция можетбыть записана в виде суперпозиции двух одинаковых экспоненциальноспадающих -волновых функций (можно положить постоянную амплитудуравной 1)(r) =−|r−r1 | −|r−r2 |+,|r − r1 ||r − r2 |(2.133)2.8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
