1625913943-4651bd14c87f2eac7915671b5ee6e807 (536942), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Добавление второго центра811dλκРис. 2.3. Графическое решение задачи двух центров, уравнение (2.135)где r1 и r2 — позиции центров. В окрестности (но снаружи) первого центра,r около r1 , приближённо получаем |r − r1 | ≪ 1, и |r − r2 | ≈ , так что≈1−−+.|r − r1 |(2.134)Сравнение с уравнением (2.132) показывает, что теперь величина эффективно изменена присутствием другого выражения, зависящего от . Длясшивки внешнего решения с внутренним внутри первой потенциальнойямы, характеризующимся логарифмической производной , мы должныпотребовать по аналогии с уравнением (2.130), чтобы = − +−.(2.135)Даже если > 0 и связанное состояние в отдельной потенциальной яменевозможно, здесь оно все же может существовать. Как видно на рис.
2.3,решение существует, если положительная логарифмическая производнаяне превышает 1/:<1.(2.136)Грубо говоря, частица оказывается захваченной между двумя центрами,отражаясь туда и обратно; дополнительное слагаемое в уравнении (2.135)соответствует обменному потенциалу, упомянутому в задаче I.1.7, см.уравнение (I.1.46).82Глава 2 Движение в центральном полеЗадача 2.10Рассмотрим среду с идентичными центрами короткодействующего притяжения, распределенными с плотностью .
Логарифмическая производная для одного центра положительна. Покажите, что частицы в такой средесвязаны, и найдите энергию связи в пределе малой , соответствующей глубине проникновения 1/ большей, чем среднее расстояние между центрами ∼ −1/3 [6].РешениеПрямое обобщение уравнения (2.135) даёт граничное условие в терминахсуммы по дискретным центрам на расстояниях = − +∑︁ −.Переходя к непрерывной плотности, получим∫︁− = − + 3 (2.137)(2.138)или, для постоянной плотности, = − +4.2(2.139)Рисунок, подобный рис.
2.3, показывает, что решение существует для любойположительной плотности . В пределе малых мы можем оставить тольковторое слагаемое в правой части (2.139) и получить√︂√︂244~2 =≈=−=.(2.140)~22Это справедливо в пределе ≫ 1/. Среда действует как отрицательныйпостоянный потенциал, и частица оказывается связанной, хотя ее длиналокализации, ∼ 1/, велика по сравнению с расстоянием между центрами. Такие соображения (уравнение (2.138)) неприменимы для идеальнойпериодической структуры кристалла из одинаковых атомов, где электронные состояния описываются непрерывным спектром блоховских волн (см.разд. I.8.7).
Отличие заключается в строго когерентной суперпозиции волн,отраженных от всех узлов решетки.2.9. Трёхмерный гармонический осциллятор832.9. Трёхмерный гармонический осцилляторТрёхмерный гармонический осциллятор позволяет тривиальное разделение переменных. Предполагая потенциал в виде (, , ) = 2 2( + 2 2 + 2 2 ),2 (2.141)получаем стационарные состояния как произведения стандартных функцийлинейного осциллятора с соответствующими частотами , , (, , ) = (; ) (; ) (; )(2.142)и энергиями[︂(︂)︂(︂)︂(︂)︂]︂111( , , ) = ~ ++ ++ +. (2.143)222Как и в двумерной геометрии (разд.
I.11.5) изотропный случай = = ≡ ,1 = 2 2 ,2(2.144)особенно интересен. Здесь мы сталкиваемся с большим вырождением, поскольку энергия зависит только от суммы трёх квантовых чисел(︂)︂(︂)︂33( , , ) = ~ + + += ~ +,22 = + + .(2.145)Это экстремальный пример оболочечной структуры, так как спектр представляет собой эквидистантную последовательность вырожденных оболочек. Состояния внутри оболочки имеют одинаковые средние значения⟨p2 ⟩ и ⟨r2 ⟩.
Действительно, в силу теоремы вириала мы имеем равенствокинетической и потенциальной энергии в любом стационарном состоянии(︂)︂113⟨⟩ = ⟨ ⟩ = = ~ +.(2.146)222Из (2.146) следует, что(︂)︂32⟨p ⟩ = ~ +,2~⟨r ⟩ =2(︂3+2)︂.(2.147)84Глава 2 Движение в центральном полеЗадача 2.11Покажите, что степень вырождения оболочки равна1( ) = ( + 1)( + 2).2(2.148)Большое вырождение не случайно, так как оно, очевидно, связано ссимметрией по отношению к перестановке осей. Замещение -кванта квантом ведет к другой пространственной форме волновой функции, но неменяет энергии.
Таким образом, мы находим девять констант движения^ = ^† ^ ,^ = 0.[^ , ](2.149)Эти операторы не могут иметь одновременно определенных значений,потому что они не коммутируют[^ , ^ ] = ^ − ^ .(2.150)^ ,Все ^ коммутируют с оператором полного числа квантов ∑︁ †∑︁^ ] = 0, ^ =^ =^ ≡ tr ^.[^ , ^ (2.151)Восемь оставшихся независимых комбинаций генерируют представлениегруппы (3) унитарных преобразований в пространстве с данным .Мультиплеты с разными являются различными неприводимыми представлениями группы (3), основанной на симметрии трех основных объектов, квантов вдоль различных осей. В случае углового момента соответствующая группа (2) порождена двумя элементарными объектами —спинами, направленными вверх или вниз.Задача 2.12Выразите компоненты орбитального момента ^ℓ в терминах генераторов^ .РешениеОператоры, рождающие или уничтожающие пары квантов, взаимно сокращаются, и результат в соответствии с классификацией 1.125 выражаетсячерез антисимметричную часть тензора ^ ,ℓ^ = − (^ − ^ ) = − ^ .2(2.152)2.9.
Трёхмерный гармонический осциллятор85^ = ^В декартовых состояниях (2.142) три диагональных оператора (без суммирования по ) диагонализуются одновременно, и это максимальное количество операторов, которые могут иметь определённые значенияодновременно; это соответствует трем квантовым числам, маркирующимсостояния. Конечно, проблема с потенциалом (2.144) может быть такжерешена путем разделения переменных в сферических координатах. Этодаёт тот же энергетический спектр, но другие комбинации вырожденныхсобственных функций, имеющих в этом случае квантовые числа , и .Задача 2.13Выведите энергетический спектр изотропного гармонического осциллятора (2.144), решая радиальное уравнение Шрёдингера.
Установите границыизменения орбитального момента ℓ внутри данной -оболочки. Покажите,что степень вырождения такая же, как в декартовом базисе.РешениеС помощью переменных, введенных в (I.11.6) и (I.11.7), будем искатьрешение радиального уравнения в виде = ℓ+1 −2 /2ℓ ().(2.153)При = 2 мы приходим к уравнению для вырожденной гипергеометрической функции[︂(︂)︂]︂(︂)︂2 31 3 2 + ℓ+− +−ℓ− = 0.(2.154)22 22Падающие асимптотики определяют собственные функции в виде полиномов от при условии, что(︂)︂1 3−ℓ−= = 0, 1, ....(2.155)2 22Энергетический спектр находится как(︂)︂3 = ~ = ~ 2 + ℓ +.22(2.156)Таким образом, мы получаем соответствие между квантовыми числами вразных наборах собственных функций = 2 + ℓ.(2.157)86Глава 2 Движение в центральном полеОтсюда следует, что в каждой оболочке все состояния имеют одинаковуючетность (−)ℓ , а квантовое число ℓ принимает значения , − 2, ..., 0 или1 в зависимости от четности . Подсчитывая вырождение, находим, как ив (2.148),( ) =∑︁ℓ=0(2ℓ + 1)11 + (−)ℓ+= ( + 1)( + 2).22(2.158)Явное соотношение между декартовым и сферическим решением довольно громоздко, однако рассмотреть небольшие значения квантовыхчисел достаточно легко.
Вакуумное состояние = 0 не имеет вырождения, = = = 0 и ℓ = = 0. Эта 1-функция равна exp(− 2 /2) в обеихсистемах координат. При = 1 у нас есть три декартовых состояния: = 1, = 0, = 0, ∼ − = 0, = 1, = 0, ∼ − = 0, = 0, = 1, ∼ 2 /22 /2− 2 /2;;.2Они образуют три компоненты вектора r− /2 и соответствуют угловойзависимости 1 , будучи скомбинированы стандартным образом (1.100).Задача 2.14Установите точное соответствие между двумя множествами решений вдекартовых и в сферических координатах для = 2 и = 3.Задача 2.15Используя решение задачи 2.2, получите рекуррентное соотношение между средними значениями различных степеней , проверьте теорему вириалаи вычислите⟨2 ⟩ ℓ и ⟨4 ⟩ ℓ для стационарного состояния изотропного гармонического осциллятора с главным квантовым числом и орбитальныммоментом ℓ.Решение^ = ^+1 , получаем вместоПрименяя уравнения движения для оператора (2.35)^+1+1( + 1) −1=^ ^ + ~^ .2(2.159)2.9.
Трёхмерный гармонический осциллятор87^ = ^ ^+1 , получимТеперь, используя ^ +1 + 1 2 ( + 1)(^ ^+1 ) =^+^ ^ + ~^ ^−1 .2Однако среднее значение слева равно нулю, так что⟩⟨( + 1)^ +1 + 1 2 −1^+^ ^ + ~^ ^= 0. 2(2.160)(2.161)В первом слагаемом мы используем уравнение движения (2.32); во второмслагаемом выражаем ^2 через гамильтониан (2.24) и заменяем среднее^ энергией и ℓ^2 собственным значением ℓ(ℓ + 1); в третьем слазначение гаемом используем (2.160). Выражая ^2 и ^ / с помощью гамильтонианаи уравнения движения для ^ , получаем рекуррентное соотношение[︂]︂~2 2 − 12+22( + 1)⟨ ⟩ − ( + 2)⟨ ⟩ +− ℓ(ℓ + 1) = 0, (2.162)24которое включает только чётные или только нечётные, а не последовательные, степени (уравнение осциллятора инвариантно относительноформального преобразования → −).
При = 0 получаем, как в (2.147),(︂)︂ ℓ~3⟨2 ⟩ ℓ ==+,(2.163) 22в согласии с теоремой вириала ⟨ ⟩ = ⟨⟩ = /2 для всех стационарныхсостояний. Случай = 2 определяет[︃ (︂]︃)︂2233~3 ++ − ℓ(ℓ + 1) .(2.164)⟨4 ⟩ ℓ =22 224Дополнительная литература: [6], [14], [15], [16]Понять атом водорода значит понять всю физику.Приписывается В. Вайскопфу, из книгиД. С.
Ридгена «Водород: Существенный элемент»Глава 3Атом водорода3.1. Связанные состоянияДвижение в кулоновском поле представляет пример нетривиальной задачи, которая позволяет получить точное аналитическое решение. Излишнеподчеркивать практическую важность этой проблемы.Стационарные состояния после отделения переменной центра масс описываются уравнением Шрёдингера для волновой функции относительногодвижения двух разноимённых зарядов:]︂[︂~2 2−∇ + () (r) = (r), () = − .(3.1)2Здесь — приведённая масса двух частиц, а является произведениемих зарядов, = 2 для водородоподобной системы, состоящей из электрона с зарядом − и ядра с зарядом . Другие системы такого рода —это, например, позитроний (связанное состояние электрона и позитрона, = /2, = 2 ), мезоатомы (связанные состояния отрицательно заряженных пионов, каонов или мюонов с ядром) и связанное состояниеантипротона с ядром; та же физика описывает экситоны, электростатически связанные состояния электрона и положительно заряженной дырки вполупроводниках.Уравнение (3.1) относится к классу задач с центральной симметрией,обсуждавшихся в гл.
1 и 2, и может быть решено с помощью стандартногоразделения переменных в сферической системе координат. Энергетический спектр парциальных волн с орбитальным моментом ℓ определяется90Глава 3 Атом водородарадиальным уравнением ( = (/)ℓ )[︂]︂2 1 ℓ(ℓ + 1)′′2 + + 2 = 0,−~ 22 =2.~2(3.2)Для связанных состояний = − < 0, и на больших расстояниях волноваяфункция экспоненциально спадает√︂2−,() ∝ , =.(3.3)~2С безразмерной переменной = уравнение (3.2) приобретает вид[︂]︂2 (/) ℓ(ℓ + 1)− 1++ = 0.(3.4)22Теперь мы будем действовать аналогично одномерным задачам, см. гл.I.11.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
