1625913943-4651bd14c87f2eac7915671b5ee6e807 (536942), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Поэтому, следуя Дж. Швингеру [19], мы можем искать решениеуравнения (3.99) для рассеяния электрона ядром с зарядом в виде (ср.(3.101)) ()(, ) = √ .(3.107)Здесь нет никакой -зависимости в силу осевой симметрии падающей волныотносительно оси ; ℓ = = 0 является константой движения.Подстановка (3.107) приводит к уравнению для функции () (не путатьсо сферическими функциями ℓ ){︂ 2}︂1 + (2/)2+ () = 0.(3.108)++ 24 2Энергия = ~2 2 /2 положительна.Задача 3.15Сравните уравнение (3.108) с радиальным уравнением для дискретного спектра и докажите, что решение можно формально записать черезполином Лагерра =0− () ≡ − () () =√− (2)− ,(3.109)3.7.
Состояния непрерывного спектраIm z113Im zx0(a)Re zRe z(b)Рис. 3.2. Контуры интегрирования; a — контур интегрирования для уравнения(3.112); b — контур интегрирования для аналитического продолжения скомплексным индексом у полинома Лагеррагде=2=~(3.110)параметр Зоммерфельда, и = ~/ — скорость на больших расстояниях.Особое внимание необходимо обратить на выбор знака комплекснойпеременной − в индексе полинома Лагерра.
Здесь мы имеем полином,аналитически продолженный на комплексные . Для нулевого верхнегоиндекса = 0 полиномы Лагерра были определены, уравнение (3.68), как(︂ )︂ − () =( ).(3.111)! С помощью теоремы Коши о вычетах это можно записать в виде контурного интеграла в комплексной плоскости переменной вдоль любой петли,включающей точку ,∮︁− () = .(3.112)2 ( − )+1Теперь можно сдвинуть в любую комплексную точку внутри контура(рис.
3.2, a). В частности, в уравнении (3.109) мы должны передвинуть этуточку на мнимую ось = 2.Более аккуратно необходимо рассматривать комплексный индекс, ⇒−. Мы сохраняем аналитическую форму (3.112), но теперь точка = 0становится особой, и мы должны определить правильную фазу при переходечерез разрез ветвления. Следуя как и выше [19], мы выбираем замкнутыйконтур (рис. 3.2, b) от = ∞ до = ∞ в направлении против часовой114Глава 3 Атом водородастрелки, содержащий две небольшие окружности вокруг = 0 и = 2 идве пары путей, параллельных вещественной оси.
Интеграл принимает вид∮︁− −2− (2) = .(3.113)2 ( − 2)−+1В верхней части интеграла имеем = 2 + , так что∫︁(︁)︁ − (2 + )−.− (2)=2−+1upper(3.114)Из-за экспоненциального множителя exp(−) под интегралом большиезначения ≫ 1 не дают вклад в интеграл. Когда мы интересуемся асимптотикой волновой функции, ≫ 1, мы можем аппроксимировать(2 + )− ≈ (2)− = − ln(2) = /2 − ln(2) .(3.115)В оставшемся интеграле (3.114) верхний берег дает∫︁0∞−−+1∫︁=−∞ −1 − = −Γ(),(3.116)0гамма-функцию от мнимого аргумента, которая хорошо определена дляположительной действительной части .
В интеграле по нижнему берегуверхнего контура нам нужно сделать замену → exp(2), которая неменяет числитель, но умножает знаменатель на (exp(2))− = exp(2).В результате эта часть интеграла даёт exp(−2)Γ(). Наконец, сложиввклады двух берегов разреза и используя Γ( + 1) = Γ(), находим(︁)︁− (2)upper= /2 − ln(2) Γ(1 + )1 − exp(−2).2(3.117)Задача 3.16Вычислите вклад нижней части интеграла (3.113).РешениеВ знаменателе интеграл содержит [exp(3/2)2]−+1 , и в результате(︁)︁− (2)lower= −3/2 [2+ ln(2)]2−1Γ(1 − ).4(3.118)3.7.
Состояния непрерывного спектра115Комбинируя оба вклада, мы находим асимптотику ≫ 1 полиномаЛагерра в виде}︂{︂ [2+ ln(2)] Γ(1 − )− ln(2), (3.119)− (2) ≈ () +2Γ(1 + )где () = −3/22 − 1Γ(1 + )2(3.120)не зависит от координат.Теперь можно вспомнить о том, что первоначальная волновая функцияимеет вид(, ) = − (2)− .(3.121)Обычные координаты находятся из=1( + ),2=1( − ).2(3.122)Углом рассеяния является угол между падающим волновым вектором(ось ) и направлением r, в котором наблюдалась рассеянная частица.
Тогда(︂ )︂ = cos , = sin2.(3.123)2В первом слагаемом асимптотического выражения (3.121) мы имеем exp[(−)] = exp(), т.е. падающую волну,inc = − ln[2 sin2 (/2)].(3.124)Второе слагаемое содержит exp[( + )] = exp() и даёт расходящуюсясферическую волну. С помощью (3.123) находимscatt =2{ ln[2 sin (/2)]−2 arg[Γ(+1)]} .2 2 sin (/2)(3.125)Таким образом, мы видим, что выбор знака в (3.109) правильно отражаетграничные условия для физической задачи рассеяния. Рассеянная волна116Глава 3 Атом водородаисчезает в пределе → 0, когда → 0.
Величина(︂ )︂ = 2 sin2(3.126)имеет простой смысл. Это импульс (точнее, волновой вектор), передаваемый в процессе упругого рассеяния, = |k−k′ |, где k′ = (k·r/) — волновойвектор в направлении рассеянной волны. Теперь мы можем вычислитьсечение рассеяния , определяемое как отношение интенсивности, зарегистрированной удалённым детектором, который охватывает телесный угол на расстоянии , к интенсивности падающего потока (более подробномы обсудим это позже) =|scatt |2 2 .|inc |2(3.127)Наши асимптотические результаты (3.124) и (3.125) дают=(︂2 sin2 (/2))︂2(︂=2 2)︂2.(3.128)Это не что иное, как классическое резерфордовское сечение=(︂24)︂21.sin (/2)4(3.129)Хотя в итоге сечение совпадает с классическим результатом, волновыефункции падающей и рассеянной волны содержат квантовые фазы, зависящие от угла рассеяния.
Даже падающая волна (3.124) искажаетсякулоновским потенциалом, который имеет дальнодействующий характер.Тем не менее, этот эффект не виден в сечении и может наблюдаться только в виде интерференции с другим взаимодействием, например ядерным,которое может присутствовать наряду с кулоновским потенциалом.Дополнительная литература: [20], [21], [19].Глава 4Практически ни одну из физических систем нельзяизучать без использования подходящегоприближённого метода.
Искусство физика вбольшой степени состоит в умении определитьотносительную значимость различных факторов вданной физической системе и в выборе подходящегоприближённого метода. Вообще говоря, для каждойзадачи существует свой приближённый метод...А. Мессиа «Квантовая механика», Т. 2Стационарные возмущения4.1. ВведениеСуществует очень мало задач квантовой физики, которые имеют точное аналитическое решение. В некоторых случаях можно решить проблему численно.
А часто даже это не представляется возможным. Однакопрактически всегда рассматриваемые физические эффекты не являютсяравнозначными. Можно выделить наиболее значимые факторы в отличиеот менее важных. Если можно решить проблему без учёта менее важныхэффектов, то влияние проигнорированных при решении факторов можноприближённо учесть как возмущение. Этот термин пришёл из небесной механики, где гравитационное влияние планет мало по сравнению с влияниемСолнца.Обычно (не всегда) добавление поправок лишь слегка меняет волновыефункции дискретного спектра и уровни энергии, сохраняя качественнуюкартину спектра.
Математически это может быть сформулировано каканалитичность физических характеристик, рассматриваемых как функции дополнительных параметров. В этом случае можно искать поправкик исходным, невозмущённым, решениям в виде регулярного ряда по степеням новых малых поправок. Однако есть ситуации, когда бесконечнослабое возмущение резко меняет невозмущённую картину. В классическоймеханике в таких ситуациях говорят, что первоначальное состояние былонеустойчивым.
Часто малое изменение начальных условий через некотороевремя полностью меняет траекторию движения (классический хаос [22]).В квантовой механике принцип неопределённости не позволяет описатьначальные состояния в фазовом пространстве сколь угодно точно.
Тем неменее, аналогичные хаотические явления существуют и в квантовой механи-118Глава 4 Стационарные возмущенияке (гл. III.18). Особые проблемы возникают в случае вырожденных уровней,когда в отсутствие возмущений любые суперпозиции вырожденных состояний равнозначны, но даже слабое возмущение выбирает непертурбативным образом правильную комбинацию как соответствующее направлениев подпространстве вырожденных состояний.Для того чтобы рассмотреть не зависящие от времени (стационарные)возмущения в дискретном спектре, мы предположим, что гамильтонианможно разделить на невозмущённую часть и возмущение:^ =^ ∘ + ^ ′,(4.1)где — это параметр, формально характеризующий величину возмущения.Предположим, что мы знаем стационарные состояния |⟩ и энергии ∘для невозмущённой системы ( = 0):^ ∘ |⟩ = ∘ |⟩.(4.2)Нам нужно найти стационарные состояния |Ψ⟩ и энергии для полногогамильтониана:^ ∘ + ^ ′ )|Ψ⟩ = |Ψ⟩.((4.3)^ ′ не меняет граничные условия.
ТогдаПредположим, что возмущение функция |Ψ⟩ принадлежит тому же самому гильбертовому пространству иможет быть разложена по полному набору невозмущённых функций:∑︁|Ψ⟩ = |⟩,(4.4)где сумма по включает в себя интеграл по непрерывному спектру, если онв задаче присутствует. Как и в случае стандартной задачи диагонализации(разд. I.6.8), мы можем использовать ортонормированность ⟨|⟩ = (или дельта-функцию Дирака в случае непрерывных квантовых чисел) исвести задачу к бесконечному множеству связанных линейных однородныхуравнений для коэффициентов :∑︁∘′ ( − )= .(4.5)′^ ′ |⟩ — матричные элементы возмущения в невозмущёнЗдесь = ⟨|ном базисе (4.2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
