1625913943-4651bd14c87f2eac7915671b5ee6e807 (536942), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Если мы перенормируем вектор Рунге—Ленца в виде√︂2^A=~^a,(3.87) 2мы получим из (3.84)2 2^2 + ℓ^ + 1 = 2 ,a2~ (3.88)3.4. Операторное решение107в то время как коммутатор (3.86) теперь принимает вид, аналогичныйкоммутатору компонент углового момента[^ , ^ ] = [ℓ^ , ℓ^ ] = ℓ^(3.89)(коммутатор (3.83) не меняется). Два новых оператора, подобных угловомумоменту,^ (±) = 1 (ℓ^ ± a^),J2(3.90)^ и ℓ^ на дверасцепляют связанные коммутационные соотношения между aотдельные группы:(±)[^(±)(±), ^ ] = ^ ,(±)[^(∓), ^ ] = 0.(3.91)Операторная алгебра задачи теперь сводится к двум (2) алгебрам для^ (±) .
Мы ожидаем, что собсохраняющихся векторов угловых моментов Jственные состояния теперь нумеруются четырьмя квантовыми числами(±)(целыми или полуцелыми), две величины (±) и две проекции . Однакоиз-за ортогональности (3.82) их величины должны быть равны(︁^ (±)J)︁211 2^ 2 ⇒ ( + 1).^)2 = (ℓ^ + a^2 ) ≡ J= (ℓ^ ± a44(3.92)Поэтому каждое стационарное состояние характеризуется тремя дискрет(+)(−)ными квантовыми числами (+) = (−) = , и , и энергия вырожденного набора состояний описывается, см.
(3.88) и (3.92), формулойБальмера = − = 2 2=,2~2 [1 + 4( + 1)]2~2 2(3.93)где главное квантовое число проявляется как число состояний в -мультиплете = 2 + 1.(3.94)Так как и целые и полуцелые значения разрешены, мы получаем =^ (+) + J^ (−) пробегает в этом наборе состо1, 2, .... Орбитальный момент ℓ^ = Jяний все целые значения от 0 до 2 = − 1, в соответствии с результатом,полученным из прямого решения дифференциального уравнения. (Сложение угловых моментов будет обсуждаться гораздо более подробно в гл.
7).108Глава 3 Атом водородаСтепень вырождения, задаваемая полным количеством комбинаций проекций (2 + 1)2 , совпадает с той, которую дают уравнения (3.37). Интереснойособенностью этого операторного подхода является очевидная симметриямежду двумя сохраняющимися векторами.Задача 3.12Рассмотрите двумерную кеплеровскую задачу^ =^2 + ^2− ,2^^ =√︀^2 + ^2 .(3.95)Сконструируйте алгебру углового момента, используя в качестве генераторов сохраняющиеся операторы ^ , ^ , и ^ , найдите связь между ^2 + ^2 иэнергией и выведите двумерную формулу Бальмера (3.93) с главным квантовым числом = + 1/2, где должно быть целым числом.
Покажите,что вырождение собственных значений энергии равно 2 = 2 + 1.3.5. На пути к прецизионной спектроскопииВ нашем рассмотрении атома водорода, аналитическом или алгебраическом, игнорирoвались многие физические факторы. Мы получили толькогрубый скелет спектральной структуры, знание которого необходимо, нодалеко не достаточно для объяснения результатов наблюдений. Атомнаяспектроскопия — определённо наиболее точный раздел экспериментальной физики.
Принятое в настоящее время значение постоянной тонкойструктуры (I.1.29), являющееся усреднением результатов наиболее точныхэкспериментов различного типа, дано в [18]:1= 137, 035 999 084(±51),(3.96)где величина ошибки относится к двум последним цифрам. Для такойточности атомная теория должна учитывать множество малых эффектов,которые отвечают за крошечные поправки к энергетическим уровням.Поправки становятся ещё более важными в тяжёлых атомах, где вдобавокнеобходимо учитывать взаимодействие между электронами.
Вот некоторыеэффекты, которые будут обсуждаться в последующих главах.1. Спин электрона упоминался только в связи с вырождением атомныхоболочек. Кроме этого, он играет важную роль в отклике атома намагнитное поле.3.6. Решение в параболических координатах⋆1092. В нашем рассмотрении мы не касались каких-либо релятивистскихэффектов. Поправки порядка (/)2 ∼ 2 определяют так называемую тонкую структуру спектра (отсюда возник термин для ).Они складываются из трех источников: следующие слагаемые после2 /2 в разложении в ряд релятивистской кинетической энергии,спин-орбитальное взаимодействие, которое главным образом есть результат взаимодействия спинового магнитного момента электронас магнитным полем, возникающим в результате движения электронов, а также специфическая делокализация электрона вследствиерелятивистского соотношения неопределённости (разд. I.5.10).3.
Любые ядра, включая протон, имеют конечный размер, и поэтому внебольшой области вблизи центра потенциал отличен от потенциалаточечного заряда. Этот эффект особенно виден в разнице спектровдля разных изотопов (разные размеры ядер) и в мезоатомах, так какмезоны проникают глубже в объем ядра.4. Многие ядра, включая протон, имеют ненулевой магнитный момент,который взаимодействует с магнитным моментом спина электрона,создавая сверхтонкую структуру спектра.5.
Некоторые ядра (исключая протон) могут иметь ненулевые высшиемультипольные моменты распределения заряда, начиная с квадрупольного момента; это изменяет сверхтонкую структуру.6. Квантовая теория поля предсказывает радиационные поправки, связанные с виртуальным излучением и поглощением фотонов и изменяющие свойства вакуума (поляризация) из-за присутствия заряженныхчастиц. Эти поправки приводят к дополнительным смещениям уровней (лэмбовский сдвиг).Для того чтобы количественно оценить влияние таких эффектов, необходимо разработать регулярные методы оценки малых поправок к волновымфункциям и собственным значениям.
Такими методами являются различные формы теории возмущений (гл. 4).3.6. Решение в параболических координатах⋆Состояния с положительной энергией принадлежат непрерывному спектру. На самом деле они являются состояниями рассеяния. В типичномэксперименте внешний электронный пучок взаимодействует с протоном и110Глава 3 Атом водородарассеивается после этого под различными углами по отношению к исходному направлению, которое может быть выбрано в качестве оси . Волновыефункции этой задачи можно вычислить точно, аналитически решив уравнение Шрёдингера.
Удобным способом решения является использованиепараболических координат [3, § 37], хорошо подходящих для геометриизадачи, которая очевидно нарушает сферическую симметрию, но сохраняет осевую симметрию, так что ℓ по-прежнему хорошее квантовое число.Сначала покажем, что дискретный спектр также можно найти методомразделения переменных в параболических координатах.Когда ось определена, введём вместо и две новые положительноопределённые переменные и : = + , = − .Вместе с азимутальным углом этот выбор определяет√︀√︀ = 2 cos , = 2 sin .(3.97)(3.98)Задача 3.13Выведите уравнение Шрёдингера в параболических координатах для стационарного состояния с энергией = ~2 2 /2 в кулоновском потенциале () = −2 / и покажите, что переменные разделяются.РешениеПосле прямого преобразования оператора Лапласа получим}︂{︂2^^(, , ) = 0, + +(3.99)^ и ^ , дейгде вводятся два идентичных дифференциальных оператора ствующих соответственно на переменные и 2^ = + 1 + 2 .
4 2(3.100)Теперь мы можем искать решение в сепарабельной форме() () (, , ) = √,√ (3.101)3.6. Решение в параболических координатах⋆где () и () удовлетворяют идентичным уравнениям{︂ 2}︂2 − 12−++ () = 0, 24 2111(3.102)и аналогично для () с заменой ⇒ . Эти константы разделениясвязаны условием + = 2.(3.103)Уравнение (3.102) и его аналог для () имеют тот же вид, что и уравнение (3.2) для радиальной функции () в сферических координатах, гдеспектр связанных состояний описывается уравнениями (3.13) и (3.14),2 = −1.2 ( + ℓ + 1)2(3.104)Чтобы установить явное соответствие, заметим, что числу ℓ(ℓ + 1) в сферических координатах соответствует (2 − 1)/4 в наших новых уравнениях,т. е.
в решении (3.104) мы должны подставить ℓ = (|| − 1)/2. Это приводитк возникновению двух новых целых квантовых чисел, и , входящихв (3.102) и его -аналог,2 = −11=−. + (1/2)(|| + 1) + (1/2)(|| + 1)(3.105)Условие (3.103) воспроизводит спектр (3.14) с главным квантовым числом = + ℓ + 1 = + + || + 1.(3.106)Задача 3.14Покажите, что общее количество вырожденных связанных состояний,помеченных параболическими квантовыми числами, совпадает с тем, чтомы нашли в (3.37).РешениеЧисло комбинаций и , разрешённых формулой (3.106) при заданных, равно для = 0 и, как следует из (2.148), ( − 1)/2 для каждого ̸= 0, которые могут быть положительными и отрицательными.
Полнаясумма равна 2 .112Глава 3 Атом водородаСуществование альтернативной системы координат, которая позволяет полное разделение переменных, связана с кулоновским вырождением.Вместо сферических гармоник с определенным значением орбитальногомомента, но с той же энергией в пределах данной основной оболочки, впараболических координатах мы берем их комбинации с некоторой выделенной осью. Это непосредственно связано с наличием дополнительногоинтеграла движения (3.81).3.7. Состояния непрерывного спектраОбщая задача рассеяния будет обсуждаться позже, но кулоновский потенциал дает редкий пример точно решаемой задачи. Параболическиекоординаты (3.97) особенно удобны в этом случае, так как мы ожидаем,что в решении присутствуют падающая волна ∼ exp() и расходящаяся сферическая волна ∼ exp(), и обе функции содержат множительexp().
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
