1625913943-4651bd14c87f2eac7915671b5ee6e807 (536942), страница 18
Текст из файла (страница 18)
4.2. Потенциальная энергия осциллятора с кубической ангармоничностьютеории возмущений в принципе сходится, хотя, может быть, слишкоммедленно, чтобы можно было оборвать ряд в каком-либо близком порядкетеории возмущений.Ситуация становится более интересной в реалистических случаях бесконечномерного гильбертова пространства. Теория возмущений расходится,если возмущение, даже будучи слабым, меняет граничные условия илиасимптотику первоначальной функции. Такая ситуация возникает, напри^ ∘ имеет только дискретный спектр, а возмущениемер, если гамильтониан трансформирует его в спектр непрерывный.
Рассмотрим осциллятор скубической ангармоничностью (рис. 4.2):2^3^ =^ ∘ + ^ ′ = ^ + 1 2 ^2 + .2 23(4.27)При малых мы можем решить задачу формально с помощью развитойвыше теории возмущений. Мы получим новый набор стационарных состояний. Как видно из (I.11.109), энергии состояний изменяются во второмпорядке, а к основному состоянию примешиваются одно- и трёхквантовые состояния.
Однако эти формальные вычисления не демонстрируют,что реальные стационарные состояния гамильтониана (4.27), в отличие отсостояний невозмущенного квадратичного гамильтониана, являются несвязанными из-за конечной проницаемости барьера (см. рис. 4.2). Состояния,найденные с помощью теории возмущений, являются квазистационарными(разд. I.5.8) и имеют конечное время жизни.Очевидно, что состояния, расположенные над барьером, абсолютнонеустойчивы. Потенциальный барьер существует для всех состояний с энергией < 1 (см.
рис. 4.2). Вершина барьера находится в = 1 = − 2 /,126Глава 4 Стационарные возмущениягде ′ (1 ) = 0 и 1 = (1 ) = ( 2 )3 /6 2 . Левая граница барьера расположена в = 2 = −(3/2) 2 / = (3/2)1 . Следовательно, при → 0 энергия1 → ∞, точки 1,2 уходят на −∞, а барьер становится очень широкими высоким. В этом случае барьер удерживает множество невозмущённыхсостояний, но только в течение конечного времени.Задача 4.2Покажите, что время жизни состояний с энергией ≪ 1 можно оценитькак3 5 /~ 2 ∼ const .(4.28)Для малого время жизни состояний, расположенных ниже верхушкибарьера, велико, так что приближение стационарного состояния являетсядостаточно хорошим. Вероятность распада ∼ 1/ мала и зависит от неаналитически.
При малых в уравнении (4.28) возникает существенноособая точка. Поскольку поведение волновой функции в случае → ∞сильно отличается от стационарного, то теория возмущений не в состоянииописать неаналитические эффекты.Задача 4.3Рассмотрите ангармоническую поправку четвёртого порядка к осциллятору ( > 0):2^4^ = ^ + 1 2 ^2 + .2 24(4.29)Покажите, что разложение в ряд по теории возмущений расходится, иобсудите причины этого.РешениеРассмотрим матричные элементы возмущения четвёртого порядка между состояниями невозмущенного осциллятора.
При больших они растутквадратично ∼ 2 , в то время как знаменатель увеличивается линейно ∼ .Поэтому при учёте высоких порядков теории возмущений ряд расходится.Соответствующие примеси высоко возбужденных состояний описываютхвосты волновых функций, имеющих типичные для потенциала четвёртогопорядка асимптотики, которые отличаются от асимптотик гармоническогоосциллятора. Можно ожидать расходимости: сходящаяся теория возмущений в виде разложения в степенной ряд должна иметь некоторый радиус4.4. Случай близких уровней127сходимости в комплексной плоскости вокруг = 0. Но тогда теория будет сходиться внутри радиуса и при отрицательных , что невозможно,поскольку для отрицательных система неустойчива точно по той жепричине, по какой она была неустойчива при кубической ангармоничности.В случае (4.29) спектр остаётся дискретным.
Решение, полученное с помощью теории возмущений, является хорошим приближением при малых, но разложение в ряд по теории возмущений даёт асимптотическоеприближение, аналогичное тому, которое обсуждалось в случае квазиклассики. Для любой наперёд заданной ошибки мы можем найти такое малоезначение , при котором результат теории возмущений будет близок кточному в пределах этой ошибки.
Но для конкретного значения , начинаяс некоторого порядка теории возмущений (оцените этот порядок дляангармоничности четвёртого порядка! ), результаты вычислений будут всёбольше и больше отклоняться от точного ответа.4.4. Случай близких уровнейПростые варианты теории возмущений не работают в случае близколежащих или вырожденных уровней. Возьмём для примера два невозмущённыхсостояния |1⟩ и |2⟩ с малой разницей энергий Δ. Опасные поправки в первом′ /Δ и ведутпорядке теории возмущений (4.16) возникают из отношения 12к большому коэффициенту смешивания. Слишком малый знаменатель непоявился бы в первом порядке теории возмущений, если бы матричныйэлемент 12 отсутствовал.Простым рецептом избавления от этого смешивания является диагонали^ в подпространстве этих двух состояний.
Взация полного гамильтониана результате мы получаем два новых вектора, представляющих правильныелинейные комбинации нулевого порядка()()|⟩ = 1 |1⟩ + 2 |2⟩, = 1, 2.(4.30)Для дальнейшего применения теории возмущений эти два состояния |⟩^ диагонализуется лишь взаменяют два старых. Конечно, гамильтониан небольшом подпространстве. Остальные элементы матрицы возмущениямогут связать эту пару состояний с другими невозмущёнными состояниями,которые в рамках нашего предположения не находятся слишком близко поэнергии. В высших порядках теории возмущений мы снова можем смешивать состояния (4.30), но это смешивание будет содержать по крайней мере128Глава 4 Стационарные возмущениявторую степень малого параметра 2 , а соответствующие энергетическиезнаменатели будут соответствовать разностям энергий наших состояний суровнями, находящимися за пределами диагонализованного подпространства.
Если эта поправка по-прежнему не мала, то следует расширитьдиагонализацию на другие состояния.Диагонализация опасно близких состояний на самом деле является вариационным приближением (разд. I.10.3). В примере (4.30) мы ищем лучшиелинейные комбинации в усечённом до двумерности базисе. Задача с двумяуровнями была решена в разд. I.10.4. Теперь можно видеть, что нашатеория возмущений действительно следует из тех результатов в соответствующем пределе |12 | ≪ Δ. Используя обозначения (I.10.26) и (I.10.27) иразлагая корень в выражении (I.10.33), мы приходим к пертурбативномурешению с расталкиванием уровней (сравнить с (4.18) в случае = 1):+ = 22 +|12 |2,Δ− = 11 −|12 |2.Δ(4.31)Здесь верхнее состояние (+) соответствует состоянию |2⟩ с небольшойпримесью |12 /Δ| состояния |1⟩, в то время как нижнее состояние (−)является состоянием |1⟩ с небольшой примесью |12 /Δ| состояния |2⟩.Если параметр смешивания |12 /Δ| не мал, то смешивание становитсясильным, и результирующие комбинации будут близки к симметричным иантисимметричным состояниям (I.10.40); они в точности совпадают с нимив случае полного вырождения Δ = 0.Этот метод применим в общем случае -кратного вырождения или в случае близколежащих уровней |1⟩,.
. . ,|⟩. Предварительная диагонализация^ в этом подпространстве даёт правильных линейполного гамильтонина ных комбинаций нулевого порядка, которые можно использовать в качествеотправной точки для примешивания удалённых состояний по теории возмущений. Эти комбинации взаимно ортогональны и стабильны с точки^ ′ . Из-за расталкивания уровней изначальное вырождение исчезрения зает, а новые начальные уровни расщепляются как минимум частично.Часто нет необходимости выполнять предварительную диагонализацию, иправильные линейные комбинации подсказываются симметрией системы.Мы увидим примеры этому при обсуждении множества конкретных задач.4.5.
Адиабатическое приближениеЕсли степени свободы системы можно разбить на две группы, медленныеи быстрые, то можно применить специальную форму теории возмущений.4.5. Адиабатическое приближение129Если система состоит из частиц с сильно различающимися массами, как,например, в молекулах или твёрдых телах, такое разбиение вполне естественно. Мы качественно обсуждали это в разд.
I.5.7 и пришли к выводу,что в молекулах существует хорошая классификация возможных возбуждений (электронных, колебательных и вращательных),энергии которых√︀уменьшаются пропорционально параметру / , где — масса электрона, а ≫ — масса ядра. Аналогичное разбиение на электронныеи фононные возбуждения (колебания решетки, гл. IV.10) подходит длятвёрдых тел.В приближении Борна—Оппенгеймера координаты ядра = {R } сначала фиксируются и рассматриваются как параметры, а движение электронов (быстрые переменные = {r }) рассматривается в поле неподвижных(вообще говоря, необязательно находящихся в положении равновесия) ядер.Электроны в молекулах и твёрдых телах движутся относительно быстро, иих волновые функции могут приспособиться к медленно меняющимся поло^ (; ) в первом приближениижениям ядер. «Быстрый» гамильтониан ^включает в себя кинетическую энергию быстрых степеней свободы и^ (, ) с медленными переменными , которые входятих взаимодействие ^в (; ) как параметры.
Это приводит к адиабатическому уравнениюШрёдингера^ (; ) (; ) = () (; )(4.32)с собственными значениями, электронными термами (), определёнными для различных фиксированных значений медленных переменных(координат ядер в случае молекул или твёрдых тел). Собственные функции (; ) образуют полную ортонормированную систему для каждогозначения (функции для различных в общем случае не ортогональны).Параметрическое уравнение (4.32) приводит к полезным точным соотношениям для матричных элементов⃒⃒⟨⟩⃒ ⃒⃒ ; . () ≡ ; ⃒⃒(4.33) ⃒^ =^ (; ))Беря производную (4.32) по , мы получаем (^^ |; ⟩ = |; ⟩ + |; ⟩,|; ⟩ + (4.34)130Глава 4 Стационарные возмущенияили, для матричного элемента (4.33),⃒⃒⟩⟨⃒⃒ ⃒ ^ ⃒ + ().; ⃒⃒ ; + () =⃒ ⃒Для ̸= и для невырожденных () и () мы находим⃒ ⃒⟨⟩⃒ ^ ⃒; ⃒ ⃒ ; () =, () − ()а для = ⃒⃒⟨⟩⃒ ⃒^⃒⃒; ⃒.⃒ ; =⃒ ⃒(4.35)(4.36)(4.37)Согласно последнему уравнению, производная собственного значенияпо параметру равна среднему значению производной гамильтониана (производные бра- и кет-векторов сокращаются) — теорема Паули, которуюиногда приписывают Фейнману и Хеллману.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
