1625913943-4651bd14c87f2eac7915671b5ee6e807 (536942), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Найти коэффициент прохождения(долю передаваемой интенсивности).РешениеКоэффициент прохождения определяется как⃒⃒2⃒⃒n′ n = ⃒⟨n′ |n ⟩⃒ ,(5.33)где спиноры поляризованных частиц описываются уравнением (5.28). Прямое перемножение спиноров даёт11 + (n′ · n)n′ n = [1 + cos cos ′ + sin sin ′ cos( − ′ )] ≡. (5.34)225.3. Спиноры153Конечно, прохождение не может измениться при вращении всего устройства поляризатор + анализатор как единого целого. Поэтому коэфффициент прохождения должен быть функцией только единственного имеющегосяв задаче скаляра, а именно (n′ · n), зависящего от относительного угла между векторами n и n′ .
Для совпадающих поляризаций, n′ = n, мы должныиметь = 1, в то время как прохождение исключается при n′ = −n, когдасостояния поляризатора и анализатора ортогональны. Результат (5.34),зависящий только от угла между поляризатором и анализатором, можнозаписать в видеn′ n = cos2.2(5.35)Заметим, что для фотонов ответ на подобный вопрос был бы cos2 . Это отражает геометрическую разницу между частицами со спином 1/2 и спином 1(фотоны). Только скалярные и векторные операторы могут иметь ненулевоесреднее значение для состояний со спином 1/2 (см.
гл. 7). Поэтому векторыn и n′ могут входить в ответ (5.34) только линейно. Результат (5.34) можетбыть угадан немедленно при сравнении со стандартным представлением(5.28), что дает вероятность cos2 (/2) для анализатора, ориентированноговдоль оси ; поскольку выбор квантования оси произволен, то результат(5.35) очевиден.Задача 5.10^ n ()|′ ⟩ оператора конечных поНайдите матричные элементы ⟨ |ℛворотов (уравнение (5.17)) на угол вокруг оси n, характеризующейсяполярным углом и азимутальным углом .Решение и ′ принимают значения ±1/2, а соответствующие спиноры — столб · n) в операторецы (5.26). Удобно записать скалярное произведение (поворота как1 · n) = + (+ − + − + ),(2(5.36)где± = ± ,± = ± = sin ± , = cos .Диагональные матричные элементы равны^ n ()| ⟩ = cos(/2) − sin(/2)⟨ | | ⟩⟨ |ℛ(5.37)154Глава 5 Спин 1/21=± .(5.38)2Недиагональные матричные элементы содержат операторы ± = 2± ;= cos(/2) ∓ sin(/2) cos ,^ n ()|− ⟩ = − sin(/2) sin − ,⟨+ |ℛ(5.39)^ n ()|+ ⟩ = − sin(/2) sin .⟨− |ℛ(5.40)Матрица поворота задачи 5.10 отвечает на все возможные вопросы, связанные с геометрией спина 1/2.
Так, для получения результата задачи 5.9нам нужна амплитуда вероятности нахождения проекции ′ на ось n′ длясостояния с проекцией на ось n. Предполагая, что плоскость, определяемая этими двумя направлениями, — это плоскость , мы можем сделатьповорот на угол вокруг оси , совмещая направления поляризатора ианализатора. Используя в уравнениях (5.38)-(5.40) = /2 and = /2как углы оси вращения и = , мы приходим к вероятностям cos2 (/2), → и sin2 (/2), → −.Задача 5.11В эксперименте Штерна—Герлаха анализируется пучок атомов со спином путем его разложения на (2 + 1) компонент с различными проекциями ′ на направление неоднородного магнитного поля (рис.
5.3).Первоначально все атомы были в состоянии с максимальной проекцией = на ось . Каковы относительные интенсивности расщепленныхпучков, если полярный угол направления магнитного поля ?РешениеКак упоминалось ранее, любое состояние момента можно построитьс помощью 2-частиц со спином 1/2. В исходном состоянии пучка всесоставляющие имеют проекции = 1/2, выстроенные вдоль оси , так что = (2) × (1/2) = .
Для каждой из них вероятность иметь проекцию ′ = +1/2 на ось поля равна cos2 (/2), в то время как вероятность ′ =−1/2 равна sin2 (/2). Чтобы получить полную проекцию ′ , среди 2частиц ( + ′ ) из них должны иметь ′ = +1/2, а ( − ′ ) должны иметь ′ = −1/2. Чтобы получить общую вероятность определенного значения ′ , мы должны принять во внимание количество возможных способовдля выбора ( + ′ ) или ( − ′ ) частиц из полного их числа (2).
В5.4. Магнитный резонанс155S|J, M=J>N|J, M'>Рис. 5.3. Эксперимент Штерна—Герлахарезультате находим интенсивность пучка с проекцией ′ :(2)! ( | = ) =( + ′ )!( − ′ )!′(︂)︂+ ′ (︂)︂− ′2 2 cos. (5.41)sin22Легко проверить, что эти интенсивности правильно нормированы∑︁ ( ′ | = ) = 1,(5.42) ′ =−и наши предыдущие результаты для = 1/2 и для = 1 являютсячастными случаями этого более общего утверждения.5.4. Магнитный резонансВо внешнем магнитном поле спин ведет себя как любой другой векторуглового момента, несущий магнитный момент (разд.
1.11). Здесь мы рассмотрим более сложную конфигурацию зависящих от времени магнитныхполей.Пусть частица со спином 1/2 помещена в статическое поле ℬ и поле ℬ⊥ ,вращающееся в поперечной плоскости (), рис. 5.4:ℬ = cos(),ℬ = sin().(5.43)156Глава 5 Спин 1/2BμbРис. 5.4. Магнитный резонанс — конфигурация поляЧастица взаимодействует с магнитным полем своим магнитным моментом^ = ~^s = ≡ ,~2(5.44)где гиромагнитное отношение , или эффективный магнитный момент = ~/2, является внутренним свойством частицы.
Зависящий от временигамильтониан (1.159), действующий на спиновые переменные, равен^()= −(^ · ℬ ) = −{ ℬ + cos() + sin()}.(5.45)Волновая функция частицы в -представлении есть спинор () с верхнейкомпонентой + () и нижней компонентой − (), которые дают амплитудывероятности нахождения в момент времени проекции спина = ±(1/2)на направление статического поля ℬ .
Простая картина прецессии теперь5.4. Магнитный резонанс157неверна, поскольку проекция больше не сохраняется: поперечная составляющая магнитного поля может переворачивать спин между состояниями × ℬ ⊥ ]. = ±(1/2) в результате действия крутящего момента [Уравнение Шредингера~^() = ()()(5.46)для компонент спинора ± () после использования явного вид матрицПаули приводит к системе двух связанных линейных дифференциальныхуравнений~˙ + = − + − − − ,~˙ − = − − + .(5.47)Задача 5.12Решите уравнения (5.47) с начальным условием, что при = 0 мыначинаем со спина, ориентированного вверх, = 1/2.РешениеСамый простой способ точного решения связан с заменой переменных,которая устраняет явную зависимость от времени коэффициентов в уравнении (5.46)± () = ∓(/2) ± ()(5.48)путем перехода к «вращающейся» системе координат, вспомните теорему Лармора классической электродинамики [1, § 45]. Это преобразованиеприводит к системе линейных уравнений с постоянными коэффициентами˙+ = − ′ + − ⊥ − ,˙− = ′ − − ⊥ + ,(5.49)где мы используем обозначения для различных частот, частоты прецессиив статическом поле =ℬ,~(5.50)характерной частоты прецессии вокруг поперечного поля⊥ =,~(5.51)158Глава 5 Спин 1/2и эффективной частоты во вращающейся системе координат ′ = +.2(5.52)Теперь мы можем искать частное решение системы (5.49) как+ () = −Ω ,− () = −Ω(5.53)и найти две собственные частоты√︁2 ≡ ±Ω,Ω± = ± ′2 + ⊥(5.54)отношение амплитуд для этих двух мод (5.54)± = −⊥± .Ω± − ′(5.55)Фактическое решение представляет собой суперпозицию двух нормальных мод с амплитудами, удовлетворяющими начальным условиям.
Еслиизначально + (0) = 1 и − (0) = 0, то+ () =Ω − ′ −Ω Ω + ′ Ω+ ,2Ω2Ω− () = ⊥sin(Ω).Ω(5.56)Вероятность нахождения спина с поляризацией, противоположной исходной, равна− () = |− ()|2 = |− ()|2 =22⊥⊥22sin(Ω)=2 sin (Ω).Ω2 ′2 + ⊥(5.57)Эта вероятность меньше единицы, за исключением случая резонанса,′ = 0~ = −2~ = Δ,(5.58)когда частота переменного поля совпадает с частотой переходов междууровнями, расщепленными основным статическим полем ℬ . Поглощениеэнергии поперечного поля в зависимости от его частоты имеет типичную форму резонанса шириной ⊥ . Резонанс очень узкий, когда ≪ ℬ —типичная ситуация для электронного спинового резонанса и ядерного магнитного резонанса.
Таким образом, центроид этой узкой кривой определяетмагнитный момент системы .5.5. Преобразование обращения времени и теорема Крамерса1595.5. Преобразование обращения времени и теорема КрамерсаДля частиц с внутренними степенями свободы, такими как спин, необхо^ , которая обеспечила бы правильдимо определить унитарную матрицу ное преобразование этих переменных при обращении времени (разд. I.8.2).Любой оператор углового момента J является -нечетным^ = ^ J^ ^ −1 = ^*^^ J^ −1 = −J.J̃(5.59)^,Для орбитального момента ℓ^ это следует из преобразования импульса p^уравнение (I.8.12).
Но нам нужен дополнительный оператор , правильнопреобразующий спиновую часть углового момента.В стандартном представлении матриц Паули (5.12) только одна из них — мнимая, в то время как и вещественны. Это соответствуетобычному выбору фазы матричных элементов углового момента (1.52)(1.54), когда понижающая ^ − ^ и повышающая ^ + ^ комбинацииимеют вещественные матричные элементы (16.51). В этом представленииможно взять^ = (5.60)с произвольным фазовым множителем , | |2 = 1, в качестве унитарного оператора, совершающего обращение времени.
Используя тождество(5.14), включающее всю алгебру матриц Паули, легко проверить, что^ ^s* ^ −1 = −^s,^s̃ = (5.61)как должно быть при обращении времени (5.59).Рассмотрим систему частиц со спином 1/2. Естественным обобщением(5.60) должно быть^ = ( ) (1) · · · ( ),(5.62)поскольку спиновые переменные всех частиц должны быть обращены.Принимая во внимание, что матрица мнимая и 2 = 1, найдем для этойсистемы^ ^^ ^ = (−) .^ 2 = (5.63)Пусть система с -инвариантным гамильтонианом находится в стационарном состоянии Ψ. Если это состояние не вырождено, оно может быть160Глава 5 Спин 1/2изменено при обращении времени не более чем на фазовый множитель,^ Ψ = exp()Ψ.
Но тогда^ 2 Ψ = ^ ( Ψ) = − ^ = − Ψ = Ψ.(5.64)Следовательно, для невырожденных состояний ^ 2 = 1 независимо от числачастиц. Согласно (5.63), это означает, что система с нечетным числомчастиц спина 1/2 не может иметь невырожденные стационарные состояния.Мы пришли к теореме Крамерса: стационарные состояния -инвариантнойсистемы нечетного числа частиц со спином 1/2 являются вырожденными,по крайней мере двукратно. В простейшем случае одной частицы приотсутствии спинзависящих сил, это просто вырождение спиновых состояний± .Крамерсовское вырождение может быть снято внешним полем, нарушающим инвариантность относительно обращения времени. Внешнее электрическое поле оставляет как минимум двукратное вырождение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
