1625913943-4651bd14c87f2eac7915671b5ee6e807 (536942), страница 24
Текст из файла (страница 24)
На этихстраницах, однако, изложениегораздо менее абстрактно, чемподразумевают эти грозные термины.M.E. Роуз «Элементарная теорияуглового момента»Глава 6Конечные вращения и тензорные операторы6.1. Матрицы конечных вращенийЛюбое вращение может быть представлено как экспоненциальная функ^ Ни один из нихция (1.2) генераторов, компонент углового момента J.не может изменить величину . Совершая различные повороты состояния | ⟩, мы всегда остаемся внутри семейства состояний с разными (различные ориентации конуса прецессии), но тем же самым . Любое^ в суперпозицию состояний,состояние | ⟩ преобразуется при вращении ℛпринадлежащих тому же мультиплету | ⟩.
Математически это можетбыть записано как∑︁′^ℛ|⟩=(6.1)′ (ℛ)| ⟩,′где′ ^—′ (ℛ) = ⟨ |ℛ| ⟩(6.2)^ в данном представлении.это матричные элементы конечных вращений ℛЗдесь мы учли, что состояния | ⟩ с разными значениями ортогональны, и считали, что они нормированы (1.48). Унитарность вращений (1.4)влечет унитарность матриц (6.1) ( )† = ( )† = 1,(6.3)168Глава 6 Конечные вращения и тензорные операторыzz'JJγ0Рис. 6.1.
Иллюстрация к задаче 6.1или, в явном виде для матричных элементов,∑︁∑︁**(ℛ)′ (ℛ) = ′ ,′ (ℛ) (ℛ) = ′ . (6.4)В задачах 5.9, 5.10 мы вычислили эти матричные элементы для спина 1/2;1/2они образуют матрицу ′ .Задача 6.1Для системы с угловым моментом найти перекрытие ⟨| ′ ⟩ волновыхфункций |⟩ и | ′ ⟩ с максимальными проекциями = ′ = , если уголмежду осями и ′ равен (рис.
6.1). Рассмотреть предел очень больших.Решение^ () на угол вокругРассматриваемые функции связаны вращением ℛ′оси , перпендикулярной к плоскости ( ). Соответствующая -матрицаобычно обозначается как (). Для нашей задачи⟨ | ′ ⟩ = ′ ().(6.5)Используя представление Швингера, мы видим, что для = ′ = все2 составляющих спинов ориентированы одинаково, так что нам нужно6.1.
Матрицы конечных вращений169повернуть их все:[︁(︁ )︁]︁2. () = cos2(6.6)В пределе ≫ 1 это выражение становится очень малым (произведениеочень большого числа перекрытий отдельных спинов). Перекрытиеможет√стать заметным только для очень близких направлений, ≪ 1, как иожидается при переходе к классическому случаю.На алгебраическом языке матрицы (6.2) дают унитарное представлениегруппы вращений размерности (2 + 1).
Это означает, что для враще^ =ℛ^ 2ℛ^ 1 , соответствующая матрицания, выполняемого в два приема, ℛ(6.2), (ℛ) есть произведение матриц, представляющих индивидуальныевращения, взятые в той же последовательности, (ℛ) = (ℛ2 ) (ℛ1 ).(6.7)Все геометрические свойства вращений однозначно отражены в соотношениях между соответствующими матрицами. Так, единичная матрица соответствует вращению на нулевой угол, а для обратного вращения (ℛ−1 ) = ( (ℛ))−1 . Матричные элементы удовлетворяет соотношению−1*) = ( (ℛ))† ′ = ′ (ℛ ′ (ℛ).(6.8)Представление неприводимо: мультиплет | ⟩ размерности 2 + 1 несодержит никакого подмножества состояний, которое преобразуется внутрисебя при всех вращениях.
То обстоятельство, что унитарные представленияявляются многомерными, за исключением случая скаляра = 0, естьследствие некоммутативности генераторов (группа (2) неабелева). Какмы помним, унитарные представления абелевых групп, например группытрансляций, одномерны.Конечные вращения могут быть параметризованы различными способамикак непрерывные функции углов. Две часто используемые параметризации — 1) в терминах оси поворота n(, ) и угла поворота вокруг этой оси и 2) при помощи углов Эйлера [11]. В последнем случае -матрицыназываются функциями Вигнера. В любом случае вращения трехмерногопространства требуют для своего описания трёх независимых углов (в-мерном пространстве число независимых плоскостей вращения равно( − 1)/2, числу генераторов ^ группы вращения ()).
Ниже мы уви-170Глава 6 Конечные вращения и тензорные операторыzRnРис. 6.2. Вращение, определяющее сферическую функциюдим, что сферические функции ℓ можно рассматривать как частныйслучай матриц конечных вращений.6.2. Сферические функции как матричные элементыконечных вращенийСферические гармоники ℓ (n) определяют волновые функции состояний |ℓ⟩ в координатном представлении (описываемых в системе координатс фиксированной осью квантования)ℓ (n) ≡ ⟨n|ℓ⟩.(6.9)^ есть вращение (рис. 6.2), которое переводит единичный векторПусть ℛe вдоль оси квантования в новое направление n:^ = n(, ).ℛe(6.10)^ −1 , обратное к (6.10), действуя на состояние |ℓ⟩, переводит егоВращение ℛв суперпозицию состояний мультиплета в соответствии с общим правилом(6.1):∑︁ℓ−1^ −1 |ℓ⟩ =ℛ)|ℓ′ ⟩.(6.11)′ (ℛ′6.2.
Сферические функции как матричные элементы конечных вращений171Координатное представление этого равенства получается проектированиемна вектор n0 локализованного состояния∑︁∑︁ℓ−1ℓ−1^ −1 |ℓ⟩ =⟨n0 |ℛ)⟨n0 |ℓ′ ⟩ =)ℓ′ (n0 ). (6.12)′ (ℛ′ (ℛ′′Используя унитарность вращений, запишем левую часть этого равенствакак^ −1 |ℓ⟩ = ⟨ℛn^ 0 |ℓ⟩ = ℓ (ℛn0 ).⟨n0 |ℛ(6.13)Направление n0 произвольно. Выбирая его в направлении полярной оси,n0 → e , мы приходим к ℓ (ℛe ), т. е. к сферической функции исходныхуглов , , (6.10). В правой части равенства (6.12) мы можем использоватьрезультат (1.143) для ℓ′ (e ). Это приводит к искомому соотношению√︂√︂2ℓ + 1 ℓ2ℓ + 1 ℓ*ℓ (n) =0 (ℛ−1 ) =0 (ℛ),(6.14)44где (ℛ−1 ) есть матричный элемент вращения, который, в противоположность (6.10), приводит вектор n в направление полярной оси, а второеравенство использует связь между (ℛ) и (ℛ−1 ) = † (ℛ), см.
(6.8).Полиномы Лежандра (1.141) вещественны и равныℓℓℓ (cos ) = 00(ℛ−1 ) = 00(ℛ).(6.15)Как уже упоминалось, общее трёхмерное вращение задается тремя углами. Сферические функции связаны с особым типом вращений (6.14)и зависят от двух углов; полиномы Лежандра зависят только от одногоугла. Это можно понять, пользуясь физической интерпретацией сферических функций как описывающих угловую часть одночастичных волновыхфункций (r) = (, n). В соответствии с нашим выводом сферическаяфункция связана с амплитудой вращения, которое совмещает направлениеr с осью квантования. Можно сказать, что вектор r является единственнымнаправлением в пространстве, которое выделено наличием частицы.
Следовательно, естественно выбрать это направление в качестве оси квантования.Для того чтобы сделать это, нужно, в противоположность рис. 6.2, сначалаповернуть вектор r на угол − вокруг лабораторной (произвольной) -осив -плоскость, а затем на угол − вокруг оси , совмещая его с полярной^ −1 в равенствах (6.14) иосью. Эти два вращения отвечают оператору ℛ(6.15).
Третий угол, отсутствующий в этом преобразовании, описывает172Глава 6 Конечные вращения и тензорные операторывращение вокруг оси r, которое не меняет никакие физические амплитуды,и, следовательно, оказывается избыточным. Ситуация меняется в многочастичном случае, когда возможно связать три оси с переменными системыи определить таким образом внутреннюю, связанную с телом, системукоординат, в отличие от внешней, связанной с пространством, системы.Преобразование между этими системами играет важную роль в молекулярной и ядерной физике, когда приходится иметь дело с несферическимиобъектами [21, 31].Задача 6.2Выберем в многочастичной системе три ортогональных вектора e() , =1, 2, 3, которые являются функциями переменных частиц и образуют правуютройку [e() × e() ] = e() (например, но необязательно, они могут бытьестественным образом связаны с главными осями распределения плотности).Введем три скалярных произведения,^ · e() ),^ = (J(6.16)проекции полного углового момента вдоль внутренних осей.∑︀ Докажите, что^ коммутирует со всеми компонентами ^ , и найдите (^ )2 и коммутаторы [^ , ^ ].РешениеКомпоненты ^ являются скалярами, поскольку векторы e() вращаютсявместе с системой.
Сумма квадратов этих величин равна квадрату угловогомомента,∑︁^ 2 = ( + 1),(^ )2 = J(6.17)где последнее равенство есть среднее значение по собственному состоянию^ 2 . Коммутатор выражается соотношениемоператора J[^ , ^ ] = − ^ ,(6.18)с обратным знаком по сравнению с обычными компонентами ^ угловогомомента в лабораторной системе координат.-функция в (6.14) несет квантовые числа и 0, что соответствуетпреобразованию между лабораторной системой (проекция орбитальногомомента ) и внутренней системой, в которой проекция орбитальногомомента на новую полярную ось в направлении r исчезает.
Действительно,6.3. Теорема сложения⋆173имеем тождественно(l · r) = (r · l) = 0.(6.19)Это кинематическое ограничение запрещает вращение вокруг r, оставляятолько два угла динамическими переменными. Конечно, точно такую жеситуацию имеем и в импульсном представлении,(l · p) = (p · l) = 0.(6.20)Задача 6.3Установите ортогональность матричных элементов конечных вращений,рассматриваемых как функции углов поворота,∫︁8 2*′ℛ (ℛ).(6.21)′ ′ (ℛ) = ′ ′ ′2 + 1Здесь интегрирование производится по всем возможным вращениям, описываемым тремя углами. Это дает множитель 8 2 («объем» группы вращений), например, 4 для различных вариантов выбора направления осивращения и 2 для возможных поворотов вокруг этой оси; тот же объемвозникает при параметризации с помощью углов Эйлера.РешениеПовторим вывод раздела I.8.12, используя интегрирование по угламвместо суммирования по элементам группы; размерность представления есть = 2 + 1.
Как частный случай, отсюда следует ортогональность сферических функций ℓ и полиномов Лежандра (а также полнота-функций как функций параметров группы).6.3. Теорема сложения⋆Часто приходится иметь дело со скалярной функцией от угла междудвумя направлениями, n(, ) и n′ (′ , ′ ). Будучи скаляром, такая функциязависит только от скалярного произведения (n·n′ ) и может быть разложенапо полиномам Лежандра ℓ (cos ), гдеcos = (n · n′ ) = sin sin ′ cos( − ′ ) + cos cos ′ .(6.22)174Глава 6 Конечные вращения и тензорные операторыВ то же время, рассматривая ℓ (cos ) как функцию отдельно углов n илиn′ , мы можем выразить её в виде ряда по ℓ′ ′ (n) или ℓ′ ′ (n′ ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
