1625913943-4651bd14c87f2eac7915671b5ee6e807 (536942), страница 27
Текст из файла (страница 27)
с угловым моментом > .7.2. Разложение приводимых представлений189Начнём с верхнего правого угла, = 1 + 2 . Это максимально возможная полная проекция. Она строится однозначно (параллельная ориентациясоставляющих моментов). Существует только один мультиплет, где присутствует это максимальное значение , так что это состояние имеетнаибольшее возможное значение момента max = max = 1 + 2 .
Этотнаивысший мультиплет должен также содержать все другие проекции, = − 1, − 2, · · · , − = −(1 + 2 ).Перейдем к следующей диагональной линии = max − 1. Имеютсядва таких состояния. Они могут образовать две линейно независимыхкомбинации. Одна из них принадлежит наивысшему мультиплету, как былоупомянуто в предыдущем абзаце. Эта комбинация |max = max − 1⟩может быть получена действием понижающего оператора^− = ^1− + ^2−(7.12)^на максимально выстроенное состояние (напомним, что компоненты Jдействуют только внутри мультиплета).
В соответствии с (1.49) и (1.51),результат может быть записан в виде симметричной комбинации√︀√︀21 |1 1 − 1; 2 2 ⟩ + 22 |1 1 ; 2 2 − 1⟩.(7.13)С другой стороны, это должно быть равнозначно действию полного оператора ^− ,√︀^− | = 1 +2 = 1 +2 ⟩ = 2(1 + 2 ) | = 1 +2 = 1 +2 −1⟩. (7.14)Сравнение двух последних выражений даёт√︃| = 1 +2 = 1 +2 −1⟩ =√︃12|1 1 −1; 2 2 ⟩+|1 1 ; 2 2 −1⟩.1 + 21 + 2(7.15)Вторая возможная комбинация вдоль той же короткой диагонали с =1 + 2 − 1 является наивысшей для второго мультиплета.
Поэтому мыначинаем новый мультиплет, то есть значение полного углового момента = 1 + 2 − 1 также возможно. Это состояние с другим должно бытьортогональным к состоянию (7.14), хотя они имеют одно и то же значение . Используя ортогональность, мы находим| = 1 + 2 − 1 = 1 + 2 − 1⟩ =190Глава 7 Сложение угловых моментов√︃=2|1 1 − 1; 2 2 ⟩ −1 + 2√︃1|1 1 ; 2 2 − 1⟩.1 + 2(7.16)Здесь мы можем добавить дополнительную произвольную фазу, например,изменить общий знак, это вопрос соглашения.Следующий шаг на пути вниз обнаруживает три состояния с =1 + 2 − 2. Две из трёх комбинаций принадлежат предыдущим мультиплетам, а третья начинает новый мультиплет с = 1 + 2 − 2. Эта процедураявляется очевидной и регулярной.
Каждый шаг к более низкой диагональной линии добавляет новый мультиплет с постоянно уменьшающимсяугловым моментом. В последний раз это произойдет, когда мы достигнемдиагонали, соответствующей = 1 − 2 . На этом шаге мы открываеммультиплет с наименьшим возможным угловым моментом min = 1 − 2 .После этого количество возможных проекций не увеличивается. Этозначит, что мы не встречаемся с новыми мультиплетами, а просто заполняем имеющиеся. Низший мультиплет будет заполнен на линии, проходящейчерез левый верхний угол таблицы.
Позже на каждом следующем шаге мызаканчиваем один из мультиплетов, пока не придём к левому нижнему углус только одним состоянием = −max = −1 − 2 , которое завершаетнаибольший мультиплет = 1 + 2 .Мы можем подвести итог этого упражнения, сказав, что возможныезначения полного углового момента при векторном сложении моментовподсистем 1 и 2 лежат в интервале|1 − 2 | 6 6 1 + 2 .(7.17)Каждое значение появляется только один раз, и легко проверить выполнение (7.5): мы использовали все клетки нашей таблицы при перегруппировкеприводимого пространства несвязанной схемы (7.1) в неприводимые мультиплеты в связанной схеме (7.3). В то время как проекции (7.11) складываются алгебраически, величины угловых моментов складываются векторно;неравенства (7.17) дают точно такие же ограничения, которые справедливы при сложении двух евклидовых векторов (условия треугольника).Однако квантовая механика накладывает дополнительное ограничение пространственного квантования для полного углового момента, допустимыезначения (7.17) которого, в соответствии с общими правилами для группы(2), являются целыми или полуцелыми, в зависимости от значений 1и 2 .
Результаты явного вычисления в задаче 7.1 находятся в согласии сэтими общими рассуждениями.7.3. Две частицы спина 1/2191Рис. 7.3. Состояния системы двух спинов7.3. Две частицы спина 1/2Здесь мы рассмотрим более подробно простой пример двух частиц соспином 1/2, 1 = 2 = 1/2. Одночастичные спиноры , = ±1/2,рассматривались в разд. 5.3. Два состояния каждой частицы порождают четыре состояния (1)′ (2) несвязанного представления (7.1), какмы помним по системе двух кубитов. Теперь мы можем следовать схеме,намеченной в предыдущем пункте (рис.
7.3).Согласно нашим правилам, векторное сложение двух спинов определяетдва мультиплета, триплет и синглет, с величинами полного спина^ = ^s1 + ^s2S(7.18)равными = 1 (три состояния, ≡ = ±1, 0) и = 0 (одно состояние = 0), соответственно. Наивысшее, = 1, и низшее, = −1, состояния,принадлежащие триплету, строятся однозначно по углам диаграммы,|1/2, 1/2; 11⟩ =↑↑= + (1)+ (2),|1/2, 1/2; 1−1⟩ =↓↓= − (1)− (2). (7.19)Два состояния с = 0 должны быть объединены в правильные линейныекомбинации с = 1 и = 0. Повторяя вычисления предыдущего параграфадля 1 = 2 = 1/2 и = = 1, мы приходим к аналогу соотношения (7.15),192Глава 7 Сложение угловых моментовтриплетной комбинации с = 0)︁)︁1 (︁1 (︁|10⟩ = √ ↑↓ + ↓↑ = √ + (1)− (2) + − (1)+ (2) .22(7.20)Ортогональная комбинация с = 0 (7.16))︁)︁1 (︁1 (︁|00⟩ = √ ↑↓ − ↓↑ = √ + (1)− (2) − − (1)+ (2)22(7.21)принадлежит синглету = 0.
Легко видеть, что попытка понизить проекцию последующим действием оператора ^− даёт состояние |1 − 1⟩,(7.19), для триплета (7.20), в то время как попытка сделать то же самоедля синглета (7.21) даёт нуль.Задача 7.2Для системы из двух частиц со спином 1/2 найти общие собственныевекторы операторов 2 , 2 и 2 .РешениеИспользуя (7.18) и алгебру матриц Паули, докажите, что эти три оператора коммутируют, их собственные значения равны 0 или 1, посколькувозможны только проекции 0 и ±1. Один общий собственный вектор очевиден, синглетное состояние |00⟩, (7.21). Также очевидно, что состояние|10⟩, (7.20) соответствует определённым значениям 2 = 0, 2 = 2 = 1.Две другие комбинации могут быть получены перестановкой осей; в базисе| ⟩ это)︁1 (︁√ |11⟩ + |1 − 1⟩ ,22 = 2 = 1, 2 = 0,(7.22))︁1 (︁√ |11⟩ − |1 − 1⟩ ,22 = 2 = 1, 2 = 0.(7.23)иОтметим, что все три триплетных состояния, (7.19) и (7.20), симметричны по отношению к перестановке спинов 1 ↔ 2, тогда как синглетноесостояние (7.21) антисимметрично.
Мы уже упоминали, рассматриваячётность и разложение тензора второго ранга, что внутренняя симметрия,соответствующая преобразованию, коммутирующему с вращением, должна быть одинаковой для всех членов мультиплета. Оператор спинового7.3. Две частицы спина 1/2193обмена ^ переставляет спиновые переменные пары. Тогда он может бытьвыражен через полный спин пары = (−)+1 .(7.24)Другое выражение можно получить с помощью матриц Паули. Используя 1 · 2 ) = 4 (s1 · s2 ) = 4(S2 − s21 − s222(7.25)и заменяя квадраты угловых моментов их собственными значениями, мыполучаем{︂−3 ( = 0, синглет) 1 · 2 ) = 2( + 1) − 3 =((7.26)+1 ( = 1, триплет).Следовательно, оператор обмена (7.24) может быть записан в виде1 · 2)1 + (^ =.2(7.27)Задача 7.3В некоторых твёрдых магнетиках взаимодействие соседних спинов 1/2, 1 и 2 , описывается формулой(︁)︁ 1 · 2 ) + B · [1 × 2] , = ((7.28)где скаляр и вектор B определяются структурой материала (взаимодействие Дзялошинского—Мория).
Найти стационарные состояния системыдвух взаимодействующих спинов и их энергии.РешениеУдобно выбрать направление вектора B в качестве оси . Триплетныесостояния 1 ±1 = ( = 1, = ±1) с полной проекцией спина = ±1стационарны и вырождены, второй член в (7.28) не даёт вклада в ихэнергию (он исчезает для параллельных спинов),11 = + (1)+ (2),1 −1 = − (1)− (2),11 = 1 −1 = .(7.29)Триплетное и синглетное состояния с = 0 смешаны,(±)0)︁1 (︁= √ + (1)− (2) ± − − (1)+ (2) ,2(7.30)194Глава 7 Сложение угловых моментовгде фаза смешивания определяется из соотношения tg = /, и соответствующие уровни энергии расщепляются:√︀ (±) = − ± 2 2 + 2 .(7.31)Можно проверить правильность в пределе = 0: состояние (−) становитсясинглетом, = −3, а три оставшихся состояния образуют вырожденныйтриплет, = .Задача 7.4Обобщите свойство симметрии (7.23) для системы двух частиц с произвольными равными угловыми моментами 1 = 2 ≡ .
Найдите общее числосимметричных + и антисимметричных − состояний.РешениеНаивысшее состояние (с полным угловым моментом = max = 2 иmax = 2) является уникальным и, очевидно, симметричным. Посколькупонижающий оператор − = 1− + 2− также симметричен, все состояния одного и того же мультиплета имеют одинаковую симметрию, каки должно быть, так как обмен частиц является внутренней операцией,коммутирующей с вращениями системы как целого. Из двух состояний с = max − 1 одно, симметричное, принадлежит к тому же наивысшемумультиплету, а другое имеет = 2 − 1 и, с учётом ортогональности кпервому, антисимметрично, соотношение (7.16). Поэтому все состояния вмультиплете = 2 − 1 антисимметричны.
Рассматривая далее триплетсостояний = 2 − 2 и отделяя одно симметричное и одно антисимметричное состояние, принадлежащие предыдущим мультиплетам, мы находим,что третье состояние, которое открывает мультиплет = 2 − 2, опятьсимметрично. Таким образом, мы находим, что симметрия чередуется:симметричны : = 2, 2 −2, ...;антисимметричны : = 2 −1, 2 −3, ...(7.32)Следовательно, все состояния | ⟩ обладают определённой обменной симметрией (−)2+ , которая определяется значением полного углового момента . Этот результат справедлив для всех значений , целых и полуцелых.Общее число состояний каждой симметрии может быть вычислено изразмерности (2 + 1) мультиплетов (7.32), но проще заметить, что все = 2 + 1 состояний на диагонали 1 = 2 таблицы, квадратной в случае7.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
