1625913943-4651bd14c87f2eac7915671b5ee6e807 (536942), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Эта классическаяоценка предсказывает радиальную функцию () = ~2 1 , (8.6)действительно пропорциональную градиенту исходного потенциала.Для электрона = / в водородоподобном атоме = −2 / нашаоценка даёт () =2 ~2.2 2 3(8.7)8.2. Спин-орбитальное расщепление215Как будет показано в гл. 37, релятивистская квантовая механика предсказывает очень похожее спин-орбитальное взаимодействие с дополнительнымкоэффициентом 1/2, так называемой Томасовской половинкой, котораявозникает при аккуратном рассмотрении преобразования к неинерциальнойсопутствующей системе отсчета [39].
Спин-орбитальное взаимодействие(8.7) слабо, так как его среднее значение мало, ∼ (/)2 , по сравнению сэнергией связи электрона ∼ 2 4 /~2 ∼ 2 2 /,⟨ ⟩ ∼2 ~2 2 ~24 2∼∼∼ ()2 ≪ .2 2 (/)32 2 2~2 2(8.8)Мы использовали здесь боровский радиус и постоянную тонкой структуры , считая, что = /137 ≪ 1 (это условие нарушается для тяжёлыхатомов, где релятивистские эффекты велики). Спин-орбитальное взаимодействие, подобное (8.1), также имеет место для нуклонов в атомном ядре,но в этом случае оно является гораздо более существенным, так как связанос сильными, а не с электромагнитными взаимодействиями.8.2. Спин-орбитальное расщеплениеСледствия спин-орбитального взаимодействия (8.1) можно рассмотреть вобщем виде.
Это типичная проблема преобразования от несвязанной схемыдвух отдельных подсистем (спин и орбитальный момент) к связанной схемес полным угловым моментом частицы,^j = ℓ^ + ^s.(8.9)Энергия теперь зависит от взаимной ориентации двух векторов, s и ℓ .Поэтому любое отдельное вращение одной из этих подсистем не сохраняетэнергию, и соответствующие генераторы не сохраняются^ ℓ ] ̸= 0,[ℓ^, ^ ℓ ] ̸= 0.[^s, (8.10)Тем не менее, совместное вращение орбитальных и спиновых переменных,генерируемое полным вектором (8.9), не изменяет их взаимной ориентациии сохраняет энергию^ = 0.[^j, ](8.11)В отсутствие спин-орбитального взаимодействия мы имеем 2 -кратноевырождение уровней водорода, так что энергия не зависит от квантовых216Глава 8 Тонкая и сверхтонкая структурачисел ℓ, ℓ и .
Как мы знаем из раздела 4.4., теория возмущений должна применяться к правильным линейным комбинациям невозмущённыхфункций. Эти комбинации должны быть диагональны по отношению к^ ℓ в данном случае.полному гамильтониану, включающему возмущение, Вследствие инвариантности относительно вращений и сохранения j, этикомбинации очевидны без обращения к секулярному уравнению: это связанные состояния спина и орбитального момента с определёнными значениями и полной проекции . «Длины» ℓ и = 1/2 также всё ещё сохраняются,вместе с чётностью (−)ℓ .Построение связанного спин-орбитального состояния |(ℓ1/2); ⟩ изнесвязанных состояний |ℓℓ ; 1/2 ⟩ есть стандартная задача векторногосложения угловых моментов, задача 7.1. Допустимые значения полногоуглового момента =ℓ±12(8.12)соответствуют параллельной и антипараллельной ориентациям ℓ и s.
Спинорбитальное взаимодействие расщепляет соответствующие состояния. Длякаждого из двух значений при данном ℓ имеется мультиплет 2 + 1 состояний с различными проекциями , которые всё ещё вырождены — из-заинвариантности относительно вращений энергия не зависит от ориентации системы как целого. Соответствующие двухкомпонентные функциисвязанных угловых и спиновых переменных называются сферическимиспинорами:∑︁ Ωℓ (n) =ℓℓ 1/2 ℓℓ (n) .(8.13)ℓ Эти функции характеризуются определёнными значениями орбитальногомомента ℓ, чётности (−)ℓ , полного углового момента и его проекции = .Задача 8.1Найдите явный вид сферических спиноров (8.13).
Для этих волновыхфункций найдите вероятности двух значений проекций спина и средниезначения .РешениеПри заданных и возможны две комбинации, ℓ = +1/2 и = −1/2,или ℓ = − 1/2 и = +1/2,Ω = ℓ+1/2 − + ℓ−1/2 + ,(8.14)8.2. Спин-орбитальное расщепление217где и — коэффициенты Клебша—Гордана, = ℓ+1/2 1/2 −1/2 , = ℓ−1/2 1/2 1/2 .(8.15)Их значения могут быть найдены, например, с помощью собственныхфункций оператора1(ℓ^ · ^s) = ℓ^ ^ + (ℓ^+ ^− + ℓ^− ^+ ).2(8.16)Этот оператор имеет собственные значения, задача 5.6,(ℓℓ · s) =]︁1 [︁( + 1) − ℓ(ℓ + 1) − ( + 1) ,2(8.17)что даёт ℓ/2 и −(ℓ + 1)/2 для = ℓ + 1/2 и = ℓ − 1/2 соответственно.Система уравнений для собственных функций (ℓℓ · s) в виде (8.14) есть]︁ √︀[︁1(ℓ + 1/2)2 − 2 = 0,(8.18) (ℓℓ · s) + ( + 1/2) −22[︁]︁ √︀1 (ℓℓ · s) − ( − 1/2) −(ℓ + 1/2)2 − 2 = 0.(8.19)22Детерминант этой системы определяет те же собственные значения (8.17)для (ℓℓ · s).
Нормированные (2 + 2 = 1) решения для линейной комбинации(8.14) записываются как√︂√︂1ℓ − + 1/2ℓ + + 1/2 =ℓ+ , =, =;(8.20)22 + 12 + 1√︂√︂ℓ + + 1/2ℓ − + 1/21 =ℓ− , =−. =.(8.21)22 + 12 + 1Вероятности ± и средние значения ⟨ ⟩ = (1/2)(+ − − ) равны1 =ℓ+ ,21 =ℓ− ,2+ =+ =ℓ + + 1/2,2ℓ + 1ℓ − + 1/2,2ℓ + 1− =+ =ℓ − + 1/2,2ℓ + 1ℓ + + 1/2,2ℓ + 1⟨ ⟩ =;2ℓ + 1(8.22)⟨ ⟩ = −.2ℓ + 1218Глава 8 Тонкая и сверхтонкая структура(8.23)Вычисляя аналогичным способом ⟨ℓ ⟩, легко проверить, что ⟨ + ℓ ⟩ = .Задача 8.2Для волновых функций задачи 8.1 найти направление поляризации спинадля заданного углового аргумента n(, ) сферических функций.РешениеДля любого спинора типа (8.14) локальное направление поляризациидаётся полярным углом и азимутальным углом , которые определенытаким образом, что−/2 cos(/2) = const · ℓ−1/2 (, ),(8.24)/2 sin(/2) = const · ℓ+1/2 (, ).(8.25)Беря отношение, получаем tan(/2) =(︁ )︁ ℓ+1/2 (, ), ℓ−1/2 (, )(8.26)где отношение (/) нужно взять из (8.20) и (8.21) для двух возможныхзначений .
Сферические функции ℓ±1/2 имеют азимутальные фазы (±1/2). Поэтому = , т.е. спин в данной точке поляризован в плоскости,проходящей через полярную ось и эту точку. Запишем теперь сферическиефункции в виде ℓℓ = exp(ℓ )Θℓℓ (). Полярный угол определяется изсоотношенияtan(/2) =(︁ )︁ Θℓ+1/2 (). Θℓ−1/2 ()(8.27)√︀Например,√︀для ℓ = 1, = = 1/2 = ℓ − 1/2, используя Θ11 = − 3/8 sin и Θ10 = 3/4 cos , вместе с отношением / из (8.21), мы получаем = 2.Задача 8.3Рассчитайте̃︀ ℓ (n) = ( · n)Ωℓ (n),Ω(8.28)8.2.
Спин-орбитальное расщепление219записав результат снова с помощью сферических спиноров.Решение · n) есть скаляр. Поэтому он не может изменить квантовыеОператор (числа полного углового момента. Однако он меняет чётность и, следовательно, значение ℓ на 1. Для данного имеется только одно допустимоезначение ℓ′ ,ℓ=±11⇒ ℓ′ = ∓ .22(8.29)Отсюда следует, что · n)Ωℓ (n) = Ωℓ′ (n),( = 1,(8.30)где постоянный множитель может быть найден прямым сравнениемрешений в задаче 8.1 для n, направленного вдоль оси , когда сферическиефункции задаются соотношением (1.143).С правильно определёнными линейными комбинациями мы можем применить стандартную теорию возмущений, не опасаясь вырождения. Переходывнутри вырожденного мультиплета требуют изменения , что невозможнодля скалярного оператора ℓ .
Поправка первого порядка (просто среднее значение спин-орбитального потенциала в состояниях, описываемыхсферическими спинорами) приводит к разным смещениям параллельных иантипараллельных состояний:Δℓ = ⟨ℓ| ()(ℓ^ · ^s)|ℓ⟩.(8.31)Это вычисление производится элементарно с использованием (8.16). Сдвигэнергии равен[︂]︂13Δℓ =( + 1) − ℓ(ℓ + 1) −⟨ ()⟩ℓ .(8.32)24В этом приближении радиальные функции не зависят от .В соответствии с результатами задачи 7.1 мы получаем спин-орбитальныйдублет:{︂1ℓ, = ℓ + 1/2,Δℓ = ⟨ ()⟩ ·(8.33)−(ℓ + 1), = ℓ − 1/2.2220Глава 8 Тонкая и сверхтонкая структураДля положительного ⟨ ()⟩ℓ , как для электрона в атоме водорода, члендублета с меньшим имеет более низкую энергию. Для нуклонов в ядрахзнак спин-орбитального взаимодействия противоположен, и член дублетас большим смещается вниз.
Полная величина расщепления в дублетевыражается соотношением1Δ ℓ ℓ+1/2 − Δ ℓ ℓ−1/2 = ⟨ ()⟩ℓ (2ℓ + 1).2(8.34)8.3. Тонкая структура атома водородаРасщепление (8.33) можно непосредственно наблюдать в ядрах, где мыможем использовать феноменологический спин-орбитальный гамильтониан(8.1), и член ℓ не мал. В атомах, однако, необходимо учесть другиерелятивистские эффекты того же порядка.Как мы покажем в гл. III.7, полный гамильтониан частицы массы и спина 1/2 в статическом потенциальном поле (r), включая все членывторого порядка по /, есть)︁^2^4p~ (︁~2^ = p^−+(r)+·[∇×p]+∇2 . (8.35)2 83 242 282 2Здесь мы имеем три поправки второго порядка к нерелятивистскому гамильтониану.
Второе слагаемое в правой части (8.35) происходит от разложениярелятивистской энергии свободной частицы,√︀p4p2−+ ...2 4 + 2 p2 ≈ 2 +2 83 2(8.36)Четвёртое слагаемое в (8.35) есть спин-орбитальное взаимодействие и совпадает, с точностью до коэффициента 1/2, с тем, что мы получили ранее изполуклассических соображений. Последний член в (8.35) для кулоновскогопотенциала не равен нулю только в начале координат∇2 = −2 ∇21= 42 (r).(8.37)В то время как ℓ работает только для состояний с ненулевым орбитальным моментом, поправка (8.37), так называемый дарвиновский член,смещает только -состояния, где (0) ̸= 0.Дарвиновский член можно приближённо интерпретировать как возникающий вследствие квантовых флуктуаций, приводящих к созданию вир-8.3. Тонкая структура атома водорода221e–e+annihilatione–pair creationРис. 8.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
