1625913943-4651bd14c87f2eac7915671b5ee6e807 (536942), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Две частицы спина 1/21951 = 2 , симметричны, а остальные 2 − недиагональные состояния могутбыть сгруппированы в симметричные и антисимметричные комбинации. Врезультате+ = +( − 1)( + 1)== (+1)(2+1),22− =( − 1)= (2+1).2(7.33)Задача 7.5Покажите, что нормированная волновая функция системы двух частицс 1 = 2 и = 0 может быть записана в виде|00⟩ = √∑︁1(−)− |; − ⟩.2 + 1 (7.34)РешениеСостояние |00⟩ инвариантно относительно вращений (скаляр).
Мы ужеуказывали (задача 6.4) правило построения скаляра с помощью свёрткидвух тензорных операторов одинакового ранга. В данном случае мы имеем,по сути, такую же задачу (обобщённую для полуцелых спинов подсистем).Так как = 0 влечёт также = 0, требуемая комбинация с необходимостью имеет вид∑︁∑︁ |; − ⟩,| |2 = 1.(7.35)|00⟩ =Если это связанное состояние имеет = 0, оно должно уничтожаться придействии ^+ или ^− . Действуя как в (7.12), мы видим, что это выполняется, если +1 = − .
Это означает, что все коэффициенты имеютодинаковую абсолютную величину и знакопеременны, так что решение,учитывая нормировку (7.35), может быть записано в виде = (−)− √1.2 + 1(7.36)Удобно выбрать коэффициенты вещественными, = 0. Как и в декартовом скалярном произведении, все проекции 1 = −2 = входят впроизведение (7.34) с одинаковым весом.196Глава 7 Сложение угловых моментовЗадача 7.6Для двух частиц со спинами 1 = 2 = 1 постройте оператор ^ спиновогообмена (1 ↔ 2).РешениеВ соответствии с задачей 7.4, этот оператор коммутирует с полным^ = ^s1 + ^s2 и имеет в мультиплете со спином = 0, 1, 2 величинуспином S(−) . С тремя возможными значениями спина легко построить многочленвторого порядка по (^s1 · ^s2 ):^ = (^s1 · ^s2 )2 + (^s1 · ^s2 ) − 1.(7.37)7.4.
Тензорные операторы и правила отбораЭлектрические и магнитные мультиполи являются типичными примерами операторов, образующих наборы (2 + 1) величин , замкнутыхпо отношению к группе вращений. При поворотах преобразуются влинейные комбинации величин, принадлежащих тому же набору, и правилопреобразования для целых в точности такое же, как для сферическихфункций . Такой набор операторов, реализующих неприводимые представления группы вращений, как было сказано, образует тензорный оператор ранга . Физические следствия, которые вытекают из геометрическихсоображений, одинаковы для всех тензорных операторов одного ранга,независимо от их физической природы.В случае оператора, пропорционального сферической функции , егодействие на состояние |1 1 ⟩ может рассматриваться как векторное сложение угловых моментов двух «подсистем», J1 состояния и оператора.В соответствии с правилами группы вращений, результирующий угловоймоментJ2 = J1 + (7.38)может принимать все значения 2 с шагом единица в пределах, установленных условием треугольника (7.17),|1 − | 6 2 6 1 + .(7.39)7.5.
Применение к электромагнитным мультиполям197Проекции угловых моментов суммируются алгебраически (7.11):2 = 1 + .(7.40)Фактически условия треугольника (7.39) симметричны по отношению ковсем трём угловым моментам 1 , 2 и .Соотношения (7.39) и (7.40) определяют правила отбора (разд. 6.5),которые одинаковы для любого тензорного оператора : матричные элементы тензорного оператора ⟨2 2 2 | |1 1 1 ⟩ для любых состояний сопределёнными квантовыми числами углового момента (и произвольнымидополнительными квантовыми числами 1 , 2 ) могут быть отличны от нуляв том и только том случае, если выполняются условия (7.39) и (7.40). Например, мультипольные переходы мультипольности строго запрещены, еслиΔ = |2 − 1 | > или > 1 + 2 . В частности, правила отбора для углового момента накладывают ограничение на мультипольные моменты, которыемогли бы иметь ненулевые средние значения в состоянии с угловым моментом .
Здесь нас интересуют диагональные элементы, 1 = 2 = . Правило(7.39) показывает, что ранг разрешённых мультиполей удовлетворяетусловию0 6 6 2.(7.41)Как следует из (7.41), система с угловым моментом = 0 имеет только = 0, и, следовательно, может обладать ненулевым зарядом (6.62), но ниодним из высших мультиполей. Грубо говоря, равномерное распределениевсех пространственных направлений, специфичное для = 0, усредняетвсе возможные внутренние асимметрии.
Система со спином 1/2, напримернуклон или электрон, может иметь = 0 или 1, т. е. заряд и дипольныймомент, электрический (6.61) или магнитный (6.65). Ненулевой квадрупольный момент = 2 появляется только для систем с > 1. Тензорныеоператоры могут быть определены также для полуцелого ранга , и правила отбора (7.40) и (7.41) в точности те же самые. Однако они вообщене имеют диагональных матричных элементов. На практике такие случаивозникают при создании или уничтожении частиц с полуцелым спином.7.5.
Применение к электромагнитным мультиполямСочетая свойства тензорных операторов относительно вращений и ихповедение при пространственном отражении, мы можем прийти к важным198Глава 7 Сложение угловых моментоввыводам в отношении мультипольных моментов как физических наблюдаемых.Электрический заряд (6.62) является скаляром инвариантным относительно инверсии.
Электрический диполь (6.63) меняет знак, как и радиусвектор, или любой «нормальный» (полярный) вектор. Импульс p такжеявляется полярным вектором, в то время как орбитальный момент (I.4.34)есть аксиальный вектор, его компоненты не меняют знак при инверсии.Как видно из геометрических соображений (вращение не меняет смыслав инвертированной системе координат), любой угловой момент, включаяспин, должен быть аксиальным вектором. Скалярное произведение аксиального вектора и полярного вектора есть псевдоскаляр.
Подобно скалярам,псевдоскаляры инвариантны относительно вращений, но меняют знак приинверсии. Важным примером псевдоскаляра является спиральность частицы(︂)︂pℎ= s·,(7.42)|p|то есть проекция спина на направление движения.Таким образом, в дополнение к тензорным свойствам относительно вра^ по их поведению прищений мы можем классифицировать операторы ^пространственной инверсии , т. е. по их чётности Π(), определяемой^ ′ = ^ ^ ^ = ±^ Действуя между^ = Π().оператором преобразования состояниями |⟩ и | ⟩ с определённой чётностью, Π и Π соответственно,^ имеет дополнительное правило отбораоператор Π = Π()Π ,или ΔΠ = Π().(7.43)Легко видеть, что правила отбора по чётности для электрических и магнитных мультиполей дополнительны (иногда говорится, что электрическиемультиполи имеют естественную чётность):E :ΔΠ = (−) ,M :ΔΠ = (−)+1 .(7.44)Таким образом, средние значения (диагональные матричные элементы, = ) равны нулю для нечётных электрических и чётных магнитныхмультиполей, если состояние имеет определённую чётность.
В частности,любая система в состоянии с определённой чётностью не может иметьненулевой электрический дипольный момент.7.5. Применение к электромагнитным мультиполям199Таблица 7.1. Электромагнитные мультиполи и законы сохраненияSpin01/213/2E0++++M0−−−−E1−(−)(−)(−)M1−+++E2−−++M2−−(−)(−)E3−−−(−)M3−−−+В табл. 7.1 приведены разрешённые электромагнитные мультиполи дляквантовых систем с различными значениями момента (спина). Величины вскобках допускаются симметрией относительно вращений, но подавленыпо чётности.
Существование гипотетического магнитного монополя, M0оператора, строго запрещено, если чётность точно сохраняется. Нуклонысо спином 1/2 могут иметь электрический заряд и магнитный момент;электрический дипольный момент может возникнуть, если чётность несохраняется, и стационарные состояния не имеют определённой чётности.Высшие мультиполи для нуклонов строго запрещены симметрией относительно вращений.Сохранение чётности в сильных и электромагнитных взаимодействияхозначает, что соответствующий гамильтониан инвариантен относительноинверсии (истинный скаляр).
Тогда его собственные состояния всегда могутбыть выбраны таким образом, чтобы они имели определённую чётность.Однако этот выбор не является обязательным. Если некоторые состояния спротивоположными чётностями имеют одинаковую энергию (вырождены),любая их линейная комбинация также будет стационарна, но не будетиметь определённой чётности. Например, круговая поляризация фотонаесть его спиральность (7.42).
Циркулярно поляризованный фотон не имеетопределённой чётности. При инверсии такое состояние превращается всостояние с противоположной круговой поляризацией и той же энергией.Если излучение неполяризованной системы содержит лево- и правополяризованные фотоны с различными вероятностями, это означает, что чётностьв переходе не сохраняется. Аналогичные выводы можно сделать из экспериментов с продольно (вдоль импульса) поляризованными массивнымичастицами.200Глава 7 Сложение угловых моментов7.6.
Векторное сложение угловых моментовМы нашли, что две подсистемы с вращательными квантовыми числами1 , 1 и 2 , 2 , будучи соединены вместе, могут образовывать системы сразличными квантовыми числами 3 , 3 по отношению к их вращениюкак целого. Амплитуды вероятности для различных возможных значений3 , 3 при векторном сложении даются коэффициентами Клебша—Гордана,которые часто обозначаются как ⟨3 3 |1 1 ; 2 2 ⟩:∑︁|1 1 ; 2 2 ⟩ =⟨3 3 |1 1 ; 2 2 ⟩|(1 2 )3 3 ⟩,(7.45)3 3где скобки в последнем обозначении для связанного состояния напоминаютнам о величинах угловых моментов (1 , 2 ) составных частей.
Разрешённыезначения 3 , 3 в (7.45) даются правилами отбора (7.39) и (7.40).Коэффициенты Клебша— Гордана описывают преобразование междудвумя возможными наборами базисных состояний (две несвязанные подсистемы и объединённая система). Оба набора являются полными, ортонормированными и одинаково хорошими, хотя могут подходить лучшеили хуже для данной физической ситуации. Переход от одного набора кдругому является унитарным, так что коэффициенты ⟨1 1 ; 2 2 |3 3 ⟩,которые выполняют обратное преобразование,∑︁|(1 2 )3 3 ⟩ =⟨1 1 ; 2 2 |3 3 ⟩|1 1 ; 2 2 ⟩,(7.46)1 2комплексно сопряжены коэффициентам в (7.45). При стандартном выборефаз для матричных элементов углового момента, коэффициенты Клебша—Гордана вещественны, и мы будем использовать для них старомодноеобозначение313= ⟨1 1 ; 2 2 |3 3 ⟩ = ⟨3 3 |1 1 ; 2 2 ⟩.1 2 2(7.47)Условия нормировки для обоих наборов состояний дают∑︁ ′ ′13132 2 1313 2 2 = 3 3′ 3 ′3(7.48)1 2и∑︁3 3313 3 ′3 ′ = 1 ′1 2 ′2 .1 2 2 1 2 12(7.49)7.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
