1625913943-4651bd14c87f2eac7915671b5ee6e807 (536942), страница 26
Текст из файла (страница 26)
В частности,соотношение (6.49) эквивалентно соотношениям (6.41) и (6.42), взятымв пределе малых углов, где спин ^s должен быть заменен произвольным^вектором V.6.6. Электромагнитные мультиполиЭлектромагнитные мультиполи дают один из наиболее важных примеровтензорных операторов. Они возникают в электродинамике в результатемультипольного разложения полей, создаваемых ограниченной системойзарядов и токов.Рассмотрим систему точечных классических частиц с электрическимизарядами , находящимися в точках r , рис.
6.3. Электростатическийпотенциал этой системы, измеряемый в точке r, определяется законом6.6. Электромагнитные мультиполи181Кулона:(r) =∑︁.|r − r |(6.50)Функция11= √︀2′2|r − r′ | + − 2′ cos (6.51)зависит от длин , ′ двух векторов и угла между ними, а не от угловвекторов r и r′ по отдельности. Если r ̸= r′ , эта функция не имеет особенностей и может быть выражена с помощью бесконечного разложения в рядпо полиномам Лежандра, с коэффициентами, зависящими от и ′ ,∞∑︁1=ℓ (cos )ℓ (, ′ ).|r − r′ |(6.52)ℓ=0Электростатический потенциал (6.52) как функция от r удовлетворяетуравнению Лапласа всюду, за исключением особой точки r = r′ .
Как следует из (2.51,2.52), существуют два линейно независимых решения уравненияЛапласа для угловой симметрии, задаваемой сферической функцией ℓ , аименно ℓ ℓ и −(ℓ+1) ℓ . Теорема сложения (6.28) показывает, что полином Лежандра в (6.52) есть суперпозиция сферических функций ℓ (nr ).Следовательно, ℓ может зависеть от как ℓ либо как −(ℓ+1) , и мы можемпереписать (6.52) как}︁{︁∑︁11′ℓ′=(cos)()+ℎ().ℓℓℓ|r − r′ |ℓ+1(6.53)ℓФункции ℓ и ℎℓ определяются, с точностью до постоянных множителей,размерностью общего выражения 1/[длина], так что(︁∑︁1ℓ′ℓ )︁=(cos)+ℎℓℓ ′ℓ+1ℓ ℓ+1 .|r − r′ |(6.54)ℓРассматривая (6.52) для частного значения , а именно для параллельныхвекторов, cos = 1, когда все ℓ = 1, мы получаем∑︁(︁1ℓ′ℓ )︁=+ℎℓ ′ℓ+1ℓ ℓ+1 .| − ′ |ℓ(6.55)182Глава 6 Конечные вращения и тензорные операторыИз-за особенности при = ′ нам нужно рассмотреть две области.
Если > ′ , то∑︁ ′ℓ111=.==| − ′ | − ′(1 − ′ /)ℓ+1(6.56)ℓЭто значит, что в области > ′ мы имеем ℎℓ = 1 и ℓ = 0. Этот результатвполне естественен, потому что мы можем положить ′ → 0 и получитьнефизическую особенность в сумме, содержащей в (6.55). Аналогично,мы должны положить ℎℓ = 0 и ℓ = 1 для < ′ .
С естественнымиобозначениями < и > для меньшего и большего из этих двух радиусов,соотношение (6.54) принимает форму∑︁ ℓ1<= (cos ).ℓ+1 ℓ|r − r′ |>(6.57)ℓВ приложениях мультипольного разложения обычно рассматриваютпотенциал (6.50) вне системы, т.е. в точке r с > . В этом случаемы можем использовать разложение (6.57) и теорему сложения (6.28), иполучить(r) =∑︁ℓ14*(n)ℳ(ℓ, ).ℓℓ+12ℓ + 1 (6.58)Здесь электрический мультипольный момент ранга ℓ = 0, 1, ... определёндля системы точечных зарядов = 1, 2, ..., как набор (2ℓ + 1) величинℳ(ℓ, ) =∑︁ ℓ ℓ (n ), = −ℓ, −ℓ + 1, ..., +ℓ,(6.59)=1где сумма берётся по всем зарядам , расположенным в точках r =( , , ) ≡ ( , n ).
Точно таким же образом можно определить вместомоментов для распределения зарядов мультипольные моменты для любойаддитивной характеристики частиц, например, для распределения массы ⇒ .В квантовой теории мультипольные моменты следует рассматривать^как операторы, действующие на переменные частиц. Оператор ℳ(ℓ,),содержащий явно сферические функции, обладает свойствами тензорного6.6. Электромагнитные мультиполиоператора ранга ℓ. Вводя оператор плотности заряда∑︁ (r − ^r ),^(r) =183(6.60)мы приходим к более общему выражению для мультипольного момента,∫︁r^ℳ(ℓ,) = 3 ^(r)ℓ ℓ (n), n = .(6.61)При записи в таком виде нет даже необходимости делать предположение осуществовании точечных частиц в системе; например, в ядре заряженныепионы и другие переносчики ядерных сил включаются здесь вместе снуклонами, если ^(r) есть полный оператор плотности электрическогозаряда. Как и ожидалось, мы можем разделить геометрию мультипольныхоператоров и их динамическую природу.
Из любого распределения ^(r),оператор (6.61) извлекает неприводимый тензор ранга ℓ, т.е. выделяет частьс определёнными свойствами относительно вращений.Наименьший мультипольный момент ℓ = 0 есть монополь. Он определяетскалярную часть, полный электрический заряд ,∫︁1 ∑︁11^ℳ(0, 0) = √ = √3 ^(r) = √ .(6.62)4 44Следующий член, ℓ = 1, определяет вектор дипольного момента∫︁∑︁^(6.63)d= ^r = 3 ^(r)r.Принимая во внимание соотношение (1.100) между векторами и сферическими функциями ранга ℓ = 1, мы получаем√︂√︂∑︁33 ^^ℳ(1,) = ^ ( ) = .(6.64)4 4Следующие члены мультипольного разложения определяют квадруполь(ℓ = 2), октуполь (ℓ = 3), гексадекаполь (ℓ = 4) и высшие моменты.Физические свойства квадрупольного тензора (1.129) играют важную рольв молекулярной и ядерной структуре.Аналогичным образом можно определить магнитные мультиполи^ℳ(ℓ, ), связанные с распределением токов.
Конвекционный ток, свя-184Глава 6 Конечные вращения и тензорные операторызанный с орбитальным движением, и ток намагниченности, генерируемыйспиновыми магнитными моментами, определяют соответствующие вкладыв магнитный мультипольный момент ранга ℓ [31],^ℳ(ℓ, ) =∑︁(︁ ^s(︁)︁2 ℓ ^ )︁ℓℓ · ∇ ℓ (n ) .+ℓ+1 (6.65)Здесь ^s и ℓ^ означают спин и орбитальный момент частицы , соответственно; и ℓ это соответствующие гиромагнитные отношения.
(Мыизмеряем угловые моменты в единицах ~, а гиромагнитные отношения вмагнетонах ~/(2 ).) Выражение (6.65) равно нулю при ℓ = 0, показываяотсутствие магнитных монополей. При ℓ = 1 мы приходим к сферическим^,компонентам ^ магнитного момента √︂3^ℳ(1, ) =^ ,(6.66)4∑︁^=( ^s + ℓ ^ℓ ).(6.67)Члены высшего порядка определяют магнитный квадруполь, ℓ = 2, магнитный октуполь ℓ = 3, и так далее.Дополнительная литература: [11], [13], [12]Когда я считаю, нас двое, ты да явместе.Т.С. Элиот «Бесплодная земля»(пер.
Я. Пробштейна)Глава 7Сложение угловых моментов7.1. Две подсистемыПри вычислениях часто приходится иметь дело с угловым моментом,распределённым в нескольких составных частях или подсистемах однойсистемы. Прототипом этого является задача двух тел.Рассмотрим две подсистемы с угловыми моментами 1 и 2 . Общее квантовое пространство содержит = (21 + 1)(22 + 1) состояний, полученныхпутем комбинаций различных членов мультиплетов |1 1 ⟩ и |2 2 ⟩ с проекциями 1 = −1 , . .
. , 1 и 2 = −2 , . . . , 2 , соответственно. Эти базисныесостояния можно обозначить|1 1 ; 2 2 ⟩.(7.1)Если подсистемы не взаимодействуют, все четыре квантовых числа 1 , 2 , 1 ,2 сохраняются (мы предполагаем инвариантность относительно вращенийвсей системы). Тогда удобно использовать базисные состояния независимыхподсистем. Каждая система может быть повёрнута по отдельности припомощи операторов угловых моментов ^j1 и ^j2 , генерирующих соответствующие преобразования. Можно вообразить картину отдельной прецессиисоставляющих угловых моментов вокруг общей оси квантования (несвязанная схема, рис. 6.1, ).Мы можем описывать систему по-другому, изучая её поведение приобщем вращении, когда подсистемы вращаются вместе.
Генератором такихвращений служит полный угловой момент^ = ^j1 + ^j2 .J(7.2)186Глава 7 Сложение угловых моментовj1(a)j1j2j2J(b)Рис. 7.1. Две схемы векторного сложения: a — несвязанная; b — связанная^ не имеет опредеВ предыдущей картине раздельных прецессий оператор Jлённого значения, так как результат сложения векторов (7.2) зависит отмгновенной взаимной ориентации j1 и j2 . Состояния (7.1) — это суперпозиции состояний с различными значениями J2 . В случае взаимодействующихподсистем отдельные вращения, вообще говоря, нарушают структуру системы, что делает состояния (7.1) нестационарными, в то время как общиевращения сохраняют внутреннюю структуру.
Поэтому здесь более удобноописывать состояния квантовыми числами и , относящимися к генератору (7.2) общих вращений (связанная схема, рис. 7.1, ), хотя обаописания используют полный набор состояний, будучи, следовательно,математически эквивалентными.По отношению к общим вращениям, когда относительная ориентацияподсистем сохраняется и они вращаются как целое, полный набор состояний(7.1) приводим. Любая возможная относительная ориентация будет порождать мультиплет | ⟩ состояний, преобразующихся только через самихсебя при произвольном вращении.
Это показано на рис. 7.1, : сначала мыопределяем относительную ориентацию и соответствующий полный угловой момент J (угловые моменты подсистем прецессируют вокруг J), а затемразрешаем всей конструкции вращаться вокруг фиксированной в пространстве оси квантования, что определяет общую проекцию . -Проекции1 и 2 перестают сохраняться (но абсолютные значения 1 и 2 всё ещёсохраняются, потому что мы не меняем внутреннюю структуру подсистем),так что мы получаем новый набор состояний|1 2 ; ⟩,(7.3)которые образуют мультиплеты, неприводимые при произвольных вращениях. Для отдельных угловых моментов подсистем эффективной осьюквантования становится теперь ось полного вектора J.
Действительно, как7.1. Две подсистемы187видно из квадрата равенства (7.2), состояние (7.3) имеет определённыепроекции^ = ( + 1) + 1 (1 + 1) − 2 (2 + 1) ,(^j1 · J)2(7.4)и аналогично для (j2 · J).Относительные ориентации, допускаемые в квантовой механике, квантованы в пространстве. Следовательно, возможный полный момент импульса (7.2) может принимать лишь конечное дискретное множество (положительных) значений.
В любом случае, набор новых состояний (7.3), гдекаждый мультиплет содержит 2 +1 членов, должен быть таким же полным,как и прежний набор (7.1), так что их размерности должны совпадать:∑︁=(2 + 1) = 1 2 = (21 + 1)(22 + 1).(7.5)Задача 7.1Частица со спином = 1/2 и орбитальным угловым моментом ℓ можетбыть описана в связанной схеме полным угловым моментом^j = ℓ^ + ^s.(7.6)Найти возможные значения полного углового момента .РешениеВозводя в квадрат определение (7.6), получаем, что3( + 1) = ℓ(ℓ + 1) + ( + 1) + 2(ℓ^ · ^s) = ℓ(ℓ + 1) + + (ℓ^ · ).4(7.7)Используя результат задачи 5.6, мы имеем две возможности, обычно называемые параллельной и антипараллельной ориентацией спина относительноорбитального момента.
Соответственно, равенство (7.7) определяет двавозможных значения полного углового момента,( + 1) = ℓ2 + 2ℓ +34 =ℓ+12(7.8)и( + 1) = ℓ2 −141 =ℓ− .2(7.9)188Глава 7 Сложение угловых моментов2j1+1j1–2 j1–1 j1j2j2–12j2+1j2–2–j2+1–j2–j1 –j1+12(j1–j2)+1Рис. 7.2. Гильбертово пространство двух связанных мультиплетовПолнота (7.5) выполняется:(︂)︂(︂)︂11=2 ℓ++1+2 ℓ−+ 1 = 4ℓ + 2 = 2(2ℓ + 1).22(7.10)7.2. Разложение приводимых представленийДля общего случая двух произвольных подсистем мы должны найтивсе неприводимые представления, которые, взятые вместе в схеме связи,покрывают всё пространство (7.1).
Это может быть сделано с помощьюпростой конструкции, которая эквивалентна стандартной процедуре нахождения характеров представлений в теории групп (следов матриц ).Расположим все базисные состояния несвязанной схемы (7.1) в 1 × 2таблице рис. 7.2, которая имеет 1 столбцов, пронумерованных числом1 , −1 6 1 6 1 , и 2 строк, пронумерованных 2 , −2 6 2 6 2 .Для определённости будем считать, что 1 > 2 . Каждое состояние (клеткатаблицы) имеет определённое значение = 1 + 2(7.11)полной проекции ^ = ^1 + ^2 , равенство (7.2). Любое состояние | ⟩набора (7.3) будет суперпозицией состояний, лежащих на диагональнойлинии, соответствующей данному значению (7.11). Число клеток на этойлинии равно числу мультиплетов (7.3), которые могут иметь это значениепроекции, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
