1625913943-4651bd14c87f2eac7915671b5ee6e807 (536942), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Квантовая флуктуация с рождением электрон— позитронной парытуальных электрон-позитронных пар. Первоначальный электрон аннигилирует с позитроном пары (рис. 8.1). В течение времени жизни виртуальной пары, которое оценивается из соотношения неопределенностей какΔ ∼ ~/Δ ∼ ~/2 , компоненты пары могут сдвигаться на расстояниепорядка комптоновской длины волны электрона, ∼ Δ ∼ ~/ = .После аннигиляции начального электрона остающийся электрон смещаетсяот исходного положения на ∼ .
Это означает, что нерелятивистскоепотенциальное поле не может быть точно локализовано и должно бытьусреднено по объему ∼ 3 квантовых флуктуаций. Вследствие флуктуацийположения электрона, r → r + , эффективный потенциал, действующийна электрон, размазан по небольшому объёму,1 (r) ⇒ (r + ) ≈ (r) + · ∇ (r) + (r).2 (8.38)Усредняя этот потенциал по флуктуациям (это усреднение обозначим чертой сверху) и принимая во внимание, что смещения вдоль разных направлений не коррелированы,1 = 2 ,3 = 0,(8.39)мы получаем (r + ) = (r) +1 2 2 ∇ (r).6(8.40)Результат усреднения можно рассматривать как небольшое статическоевозмущение, ∼1 2 21~2 ∇ (r) ∼ 2 ∇2 =∇2 ,6662 2(8.41)222Глава 8 Тонкая и сверхтонкая структурачто лишь незначительно отличается от точного результата второго порядкав (8.35).Полный вклад второго порядка малости сохраняет как хорошее квантовое число. Сдвиг нерелятивистского уровня энергии в водородоподобноматоме с зарядом ядра есть, в ридбергах,(︂)︂2 413Δ = − 3−Ry.(8.42) + 1/2 4Хотя порядок величины такой же, как в (8.34), здесь сдвиг уровней определяется только полным угловым моментом .
Кроме вырождения по , всёещё остаётся кулоновское случайное вырождение: здесь мы имеем лишьдвукратное слияние, два уровня противоположной чётности с одинаковыми и , но ℓ = ± 1/2 вырождены, как и раньше. Это вырождениеотсутствует только для наибольшего орбитального момента в оболочке,ℓ = ℓmax () = − 1; значит, во всех оболочках существует невырожденныйнаивысший уровень = ℓmax + 1/2.Задача 8.4Получите результат (8.42).Итоговая картина тонкой структуры в спектре водородоподобного атомапоказана на рис.
3.1. Мы использовали спектроскопические обозначения,|ℓ⟩ → (ℓ) , где (ℓ) обозначает символ (, , , ...) орбитального момента.Пунктирные линии отвечают невозмущённым вырожденным боровскимоболочкам, в то время как уровни с релятивистскими поправками показанысплошными линиями (без соблюдения масштаба). Энергетические сдвигиизмеряются в единицах=2 4 4= 2 4 Ry.2~2Полное расщепление дублета равно(︂)︂ 11−= 33 ℓ ℓ + 1 ℓ(ℓ + 1)(8.43)(8.44)и быстро падает с ростом и ℓ, так как для сильно возбуждённых состоянийполе слабо, наряду со спин-орбитальным взаимодействием и другими релятивистскими эффектами, обусловленными ядром.
Простая оценка ()показывает, что излучение, соответствующее переходам в одной расщеплённой оболочке, принадлежит сантиметровому диапазону.8.4. Тонкая структура в сложных атомах2236 !ω0even5 !ω0odd4 !ω0even3 !ω0odd2 !ω0even1 !ω0odd0Рис. 8.2. Нуклонный спектр в ядре, имеющем вид сферического потенциальногоящика с сильным спин-орбитальным взаимодействиемВ ядрах спин-орбитальное взаимодействие настолько сильное, что большое расщепление дублета может сдвинуть партнеры дублета в разныеглавные оболочки (рис. 8.2), например 9/2 и 7/2 .
Благодаря обратномузнаку взаимодействия уровень с = ℓ + 1/2 опускается вниз по энергии истановится интрудером, когда вторгается в предыдущую оболочку осциллятора, имея противоположную чётность по сравнению с местными уровнями(напомним, что для случая гармонического осциллятора, в отличие откулоновского поля, каждая главная оболочка содержит одночастичныеуровни только одинаковой чётности; сферический ящик не имеет вырождения, но характер спектра, тем не менее, близок). Этот сдвиг очень важен,потому что он изменяет количество нуклонов, соответствующих полномузаполнению оболочки, так называемое магическое число.8.4.
Тонкая структура в сложных атомахВ многоэлектронных атомах нет случайного вырождения, типичногодля водородоподобных систем. За исключением тяжёлых атомов, реля-224Глава 8 Тонкая и сверхтонкая структуративистские эффекты всё ещё слабы, ≪ 1, и орбитальный момент испин сохраняются по отдельности. В этом случае нужно говорить о полноморбитальном моменте L и полном спине S всех электронов,∑︁∑︁^=^=^s .Lℓ^ , S(8.45)Состояние сложного атома в главном приближении можно описать, фиксируя электронную конфигурацию (список одночастичных состояний, орбиталей, занимаемых электронами) и квантовые числа и , характеризующие^2 и S^ 2 .
Состояния с разными значениями и/или имеют разные энерLгии из-за кулоновского взаимодействия между электронами, чего нет вводородоподобных системах. Это электростатическое расщепление значительно больше, чем релятивистское спин-орбитальное расщепление, авсе (2 + 1)(2 + 1) состояний с различными проекциями = и = вырождены в нулевом приближении. Теперь мы снова должны найти правильные линейные комбинации, учитывая спин-орбитальноевзаимодействие.Аналогично одночастичному случаю, расщепление всех уровней, возможных для данных значений и , может быть описано с помощьюэффективного спин-орбитального гамильтониана^ · S).^^ = (L(8.46)Сила взаимодействия характеризуется константой , которая в принципеможет быть найдена из среднего значения микроскопического электронногоспин-орбитального гамильтониана в состоянии |⟩ данной конфигурации.Её можно найти также феноменологически по спектроскопическим данным.Эффективный оператор (8.46) действует в пространстве (первоначальновырожденных) состояний, которые отличаются только по вращательнымквантовым числам и , аналогично ⟨ ()⟩ в (8.31).
После диагона^ мы получим мультиплет тонкой структуры. Гамильтонианлизации (8.46) зависит только от относительной ориентации векторов L и S, будучиинвариантным относительно вращений, генерируемых полным угловыммоментом^=L^ + S.^J(8.47)Мы снова имеем типичную задачу векторного сложения. Правильнымилинейными комбинациями служат состояния связанной схемы | ⟩, где8.5. Магнитный момент и спин-орбитальное взаимодействие225 = + , а возможные значения определяются условиями треугольника (). Аналогично (8.32), члены мультиплета (, ) смещаютсяна (, ) =[( + 1) − ( + 1) − ( + 1)].2(8.48)Число -компонент равно (2< + 1), где < есть наименьшее из и ,и каждая компонента по-прежнему вырождена по .
Расстояние междусоседними компонентами даётся правилом Ланде, (, ) − −1 (, ) = .(8.49)Этот вывод справедлив, если интервалы Ланде (8.49) малы по сравнениюс электростатическим смещением мультиплетов, соответствующих разнымзначениям и в одной и той же электронной конфигурации. Только вэтом случае и — всё ещё хорошие квантовые числа (-связь, или случай Рассела—Саундерса). В тяжёлых атомах релятивистские члены болееважны, и постепенно ситуация становится такой, что в основном определяется релятивистскими, а не электростатическими взаимодействиями.
Впротивоположном предельном случае спин-орбитальное взаимодействиеявляется сильным. Сначала оно связывает орбитальный и спиновый моментотдельного электрона в его полный угловой момент j = ℓ + s, как мы рассматривали для водородоподобного атома. После этого моменты отдельныхэлектронов складываются в полный электронный угловой момент∑︁^j .^=J(8.50)Этот случай соответствует -связи, что больше подходит для тяжёлыхатомов. В ядре из-за сильного спин-орбитального взаимодействия нуклоны,как правило, связаны по -типу.8.5. Магнитный момент и спин-орбитальное взаимодействиеОператор магнитного момента частицы в центральном поле равен (вединицах соответствующего магнетона, так как теперь мы будем включатьпостоянную Планка в определение гиромагнитных отношений и ) = s + ℓ ℓ .(8.51)226Глава 8 Тонкая и сверхтонкая структураДля того чтобы найти эффективный оператор магнитного момента внутри -мультиплета, мы используем векторную модель (разд.
7.8) = (ℓ, ) j,(8.52)где эффективное гиромагнитное отношение есть (ℓ, ) = · j)⟩⟨( ⟨(s · j)⟩ + ℓ ⟨(ℓℓ · j)⟩=.( + 1)( + 1)(8.53)Далее, нам нужно знать скалярные величины (7.74). Соотношение (8.9)позволяет нам найти средние взаимные ориентации(j·ℓℓ) =( + 1) + ℓ(ℓ + 1) − ( + 1),2(j·s) =( + 1) + ( + 1) − ℓ(ℓ + 1).2(8.54)Конечно, эти величины одинаковы для всех состояний |(ℓ)⟩ с различными . Наконец, эффективное гиромагнитное отношение (фактор Ланде)равно (ℓ, ) ={︁}︁1(ℓ + )( + 1) + (ℓ − )[ℓ(ℓ + 1) − ( + 1)] .
(8.55)2( + 1)Как упоминалось в разд. 7.7, табличная величина соответствует состояниюс = , когда магнитный момент равен = . Для электрона мы можемположить ℓ = 1, = 2 в единицах магнетона Бора , и получим=3( + 1) − ℓ(ℓ + 1) + ( + 1) ,2( + 1)что сводится к{︂ℓ + 1, = ℓ + 1/2,=ℓ, = ℓ − 1/2.(8.56)(8.57)Для нуклонов спиновые гиромагнитные отношения определяются эмпирическими магнитными моментами и () = 2 = 5, 58,() = 2 = −3, 82(8.58)(в ядерных магнетонах, см. (I.1.71)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
