1625913943-4651bd14c87f2eac7915671b5ee6e807 (536942), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Оцените величину электрического поля, для которогоэто предположение является правильным.РешениеРассмотрим четыре вырожденных состояния с = 2. Соображениясимметрии показывают, что нет необходимости брать линейные комбинацииих всех. Так как проекция ℓ = на направление поля сохраняется, состояния |ℓ⟩ = |211⟩ и |ℓ⟩ = |21−1⟩ не смешиваются, так что для этихсостояний может наблюдаться только квадратичный эффект.
Линейный246Глава 9 Атом в статическом полеэффект возникает для вырожденных состояний с одним и тем же значением, но разными ℓ, а именно: для 2-состояния |200⟩ и 2-состояния |210⟩.Здесь мы имеем дело с вырожденным пределом стандартной двухуровневойзадачи (разд. 4.4). Возмущение равно^ ′ = −ℰ ^,(9.28)и правильные линейные комбинации очевидны,)︁1 (︁|∓⟩ = √ |200⟩ ∓ |210⟩ .2(9.29)Их энергии сдвинуты от невозмущённых значений Бальмера недиагональным элементом матрицы смешивания.∓ = ±ℰ |⟨200||210⟩| .(9.30)Задача 9.5Вычислите матричный элемент смешивания и нарисуйте схему линейногорасщепления уровней для = 2.РешениеСхема уровней показана на рис. 9.1, и расщепление даётся равенством(9.30) с⟨200||210⟩ = −3.2s(m=0)2p(m=0, =1)(9.31)1√2[|2s(m=0)〈–|2p(m=0)〈]|2p(m==1)〈1√2[|2s(m=0)〈+|2p(m=0)〈]Рис.
9.1. Схема уровней оболочки = 2 в атоме водорода в электрическом поле,сильном по сравнению с интервалами тонкой структурыКвадратичный эффект для оболочки = 2 также отличается от обсуждавшегося выше для = 1. В -состояниях орбитальный момент равенℓ = 1, и тензор поляризуемости, усреднённый по всем квантовым числам за^ → ℓ^. Если электрическое поле слабоисключением , имеет вид (9.12) с J9.5. Неоднородное электрическое поле и дополнительные комментарии247по сравнению с эффектами тонкой структуры, сохраняется вектор j, и,^ → ^j в (9.12). Ещё раз подчеркнем, что коэффициенты соответственно, Jи определяются внутренней структурой системы и зависят от ℓ и , ноне от .9.5.
Неоднородное электрическое поле и дополнительныекомментарииЕсли внешнее электрическое поле не является однородным, мультипольные моменты распределения заряда внутри системы взаимодействуют свысшими производными электростатического потенциала внешнего поля.На практике поле обычно слабо меняется на размерах атома или ядра.Поэтому наиболее существенные поправки происходят от неисчезающихпроизводных низшего порядка и, соответственно, самых низких мультиполей системы.Как правило, достаточно учесть квадрупольное взаимодействие, вспомним (8.95), с градиентом внешнего поля1′^ .^= − (∇ ℰ )0 6(9.32)Здесь градиент берётся в начале координат, где находится атом (или ядро),^ есть оператор квадрупольного момента системы.аЗадача 9.6Найти расщепление уровня | ⟩ из-за ненулевого градиента электрического поля ( /)0 = −( 2 / 2 )0 ≡ −′′ .Решение() ( ) = ′′ 3 2 − ( + 1),4(2 − 1)(9.33)где есть квадрупольный момент системы в состоянии |⟩, определённый стандартным образом (задача 8.8) для подуровня с максимальнойпроекцией = .Во всех рассмотренных выше случаях уровни с противоположнымизначениями ± проекции углового момента остаются вырожденными.Это есть прямое следствие инвариантности аксиально-симметричного гамильтониана по отношению к отражению в любой плоскости, котораясодержит ось электрического поля.
Возьмём плоскость . При таком248Глава 9 Атом в статическом полеотражении -компонента любого вектора меняет знак, в то время как - и-компоненты остаются неизменными. Проекция углового момента на ось, ~ℓ = ( − ) меняет знак → − . Поскольку гамильтониан с добавленным электрическим полем ℰ не меняется, состояния | ⟩ и | − ⟩вырождены.
Кроме того, эти состояния переходят друг в друга при обращении времени, в то время как электрическое поле любой конфигурациине нарушает -инвариантности, так что состояния, которые получаются из| ⟩ и | − ⟩ в присутствии поля, остаются вырожденными. В магнитномполе ситуация иная.Строго говоря, однородное электрическое поле делает состояния, которыемы рассматривали выше, квазистационарными. Как и для холодной эмиссии из металла (задача I.2.5), в однородном электрическом поле возникаетконечная, хотя и небольшая, вероятность туннельного выхода частиц изсистемы, например ионизации атома.
Однако время жизни по отношениюк ионизации полем обычно очень велико [3, § 77].9.6. Классический эффект ЗееманаПереходя к эффектам статического магнитного поля, напомним, чтомы уже рассмотрели свободное движение (гл. I.13) и спин (разд. 5.4) вмагнитном поле. Если система связанных заряженных частиц помещаетсяв однородное статическое магнитное поле ℬ , возникает характерное расщепление спектральных линий. Расщепление в слабом магнитном поленазывается эффектом Зеемана.В классической теории эффект Зеемана прямо следует из электродинамики. Согласно теореме Лармора [1, § 45], поведение системы заряженныхчастиц в произвольном сферически симметричном электростатическомпотенциале и слабом однородном магнитном поле такое же, как в том жеэлектрическом поле, но без магнитного поля, в системе отсчёта, котораяравномерно вращается с Ларморовской частотойΩ = −ℬ,2(9.34)где отношение / считается одинаковым для всех частиц.
Грубо сутьтеоремы Лармора может быть объяснена на примере финитного движениязаряженной частицы по окружности с частотой 0 , что соответствуеткинетической энергии 0 = (1/2)2 02 . Если мы приложим магнитноеполе перпендикулярно плоскости орбиты, частота вращения станет 0 + Ω ,9.6. Классический эффект Зеемана249BBBσ– (ΔM=–1)π (ΔM=0)σ+ (ΔM=+1)left circularpolarizationlinearpolarizationright circularpolarizationРис. 9.2. Классический эффект Зееманат.е. 0 → = (1/2)2 (0 + Ω )2 . Если поле слабое, 0 ≫ Ω , ≈ 0 + 2 0 Ω = 0 + Ω ,(9.35)где есть классический орбитальный момент. Дополнительная энергияΩ = −ℬ = −,2(9.36)возникает из взаимодействия орбитального магнитного момента = ℓ ,ℓ = /2 с магнитным полем.
На языке классической механики, в (9.36)принимают во внимание силы Кориолиса, но пренебрегают квадратичнымипо Ω центробежными эффектами.В классической теории электрона атомный электрон рассматриваетсякак линейный осциллятор, который излучает свет с частотой, равной егособственной частоте 0 . В слабом магнитном поле ℬ линия, вдоль которой электрон колеблется, начинает вращаться вокруг направления поляс частотой Ω . Разложим первоначальное гармоническое колебание напараллельную и перпендикулярную к ℬ компоненты.
Поле не влияет напродольную компоненту, которая всё ещё генерирует спектральные линииизлучения с невозмущённой частотой 0 . Поперечная компонента можетбыть представлена в виде суперпозиции двух круговых движений с противоположными направлениями вращения. В магнитном поле соответствующиечастоты расщепляются, 0 → 0 ± Ω .Со спектральной точки зрения, магнитное поле преобразует невозмущённую линию в триплет Лорентца: -компоненту с = 0 и -компонентыс ± Ω . Если наблюдатель смотрит в направлении, перпендикулярном кмагнитному полю, он видит -линию как волну, линейно поляризованнуювдоль поля (рис. 9.2). Как всегда, мы определяем направление поляризациипо электрическому полю излучаемой волны.
Смещённые -линии будутлинейно поляризованы перпендикулярно статическому магнитному полю.Глядя вдоль магнитного поля, наблюдатель видит только -линии с проти-250Глава 9 Атом в статическом полевоположными круговыми поляризациями; -линии здесь будут невидимы,поскольку колеблющийся заряд не излучает вдоль направления движения.Таким образом, согласно классической электромагнитной теории, всеспектральные линии атома в магнитном поле приводят к нормальномуэффекту Зеемана с триплетом частот. На опыте же чаще всего в атомахнаблюдается аномальный эффект Зеемана, когда число расщеплённыхкомпонент не соответствует триплету Лоренца.9.7.
Квантовая система в магнитном полеОбщий гамильтониан нерелятивистской системы заряженных частиц в^ =^∘ + ^ ′ , гдепостоянном магнитном поле может быть записан в виде магнитные эффекты описываются выражением}︂)︁∑︁ {︂ (︁22()^ · A(r ) + A(r ) · p^ − =−pA (r ) + ~^s · ℬ (r ) .2 2 2^′(9.37)Нам уже приходилось иметь дело с частями этого гамильтониана в разд.I.13.2 для орбитального магнетизма, в разд. 5.4 для спинового магнетизмаи в задаче 8.6.В случае однородного магнитного поля ℬ удобно использовать симметричную калибровку с векторным потенциаломA(r) =1ℬ × r].[ℬ2(9.38)При таком выбореdiv A = 0^ ·A=A·p^,p(9.39)и гамильтониан упрощается,}︂)︁∑︁ {︂ (︁2∘2()^^^ −= −A(r ) · pA (r ) + ~(^s · ℬ ) . (9.40) 2 2^ ∘ означает часть гамильтониана, которая не содержитКак и раньше, магнитного поля. В симметричной калибровке (9.38)^=A·p11~ℬ × r] · p^ = ℬ · [r × p^ ] = ℬ · ℓ^,[ℬ222(9.41)9.8.
Нормальный квантовый эффект Зеемана251что явно соответствует орбитальному магнетизму, так что}︂∑︁ {︂ ~2∘2()^^ℬ · ℓ) −ℬ × r )] + ~(^s · ℬ ) . (9.42)= −(ℬ[ℬ2 8 2Первое слагаемое в фигурных скобках здесь аналогично классическомувзаимодействию (9.36) орбитального магнитного момента с магнитным полем. Аналогом следующего (квадратичного по полю) члена пренебрегалосьв классическом случае (9.35).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
