1625913943-4651bd14c87f2eac7915671b5ee6e807 (536942), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Это происходит, например, в атомах инертных газов,где электроны полностью заполняют некоторые оболочки, и все их угловыеи магнитные моменты компенсируются.В этой ситуации единственный эффект возникает от квадратичного члена(9.42)^ (2) =2 ∑︁ℬ × r ]2 ,[ℬ82 (9.57)где, поскольку рассматриваются атомные электроны, мы считаем все заряды и массы одинаковыми. В магнитном поле, направленном вдоль оси ,этот гамильтониан равен2 2 ∑︁^ (2) = ℬ(2 + 2 ).82 (9.58)258Глава 9 Атом в статическом полеДля вычисления среднего значения этого возмущения в невозмущённомсостоянии с = = 0 необходимо знать среднеквадратичный радиуссистемы зарядов, ⟨2 ⟩,⟨⟩∑︁22 ∑︁ 2⟨ ⟩ ≡ ⟨2 ⟩,(9.59)(2 + 2 ) =3 3где — количество электронов. Здесь мы использовали сферическую симметрию состояния с = = 0.
Окончательный результат для сдвигаэнергии заполненной оболочки равен (2) =2 ℬ 2 ⟨ 2 ⟩.12 2(9.60)Среднее значение магнитного момента, подобно электрическому дипольному моменту (9.11), может быть записано в виде⟨ ⟩ = −.ℬ(9.61)В линейном приближении эта производная сводится к константе, котораяпропорциональна угловому моменту:⟨⟩ = −~,(9.62)где — соответствующее гиромагнитное отношение.
Такие атомы образуютпарамагнитный газ, в котором намагниченность пропорциональна внешнему магнитному полю. Точнее, каждый атом имеет свой собственныймагнитный момент (9.61) но без поля эти моменты для различных атомовявляются случайными и сокращаются.
Поле расщепляет энергии и делаетболее выгодным заселение низкоэнергетических подуровней с магнитныммоментом, направленным вдоль поля; энергия газа в целом уменьшается.В случае = = 0 нет намагниченности отдельных атомов, но квадратичный сдвиг (9.60) приводит к зависимости энергии от поля. По аналогиис диэлектрической поляризуемостью (9.7, 9.11), можно определить статическую магнитную восприимчивость как =⟨ ⟩.ℬ(9.63)9.12. К действительно сильным магнитным полям259Согласно формулам(9.60) и (9.61), эта величина диагональна = и отрицательна, энергия возрастает,1 (2) = − ℬ 2 ,2(9.64)2⟨2 ⟩.(9.65)62Грубо говоря, характерный объём для электрической дипольной восприимчивости (9.27) есть объём атома, а для диамагнитной восприимчивостиодин размер заменяется классическим радиусом электрона (I.1.40), которыйв 2 раз меньше.=−9.12.
К действительно сильным магнитным полямЯвляясь эффектом второго порядка в магнитном поле, диамагнетизм,как правило, очень слаб. Эффект Мейснера в сверхпроводниках (разд.I.14.7) есть проявление идеального диамагнетизма, когда магнитное полеполностью вытеснено из основной части тела. Диамагнитные эффектыбольше в молекулах, подобных бензольным кольцам с большим пространственным размером, или в полупроводниках (или полуметаллах, таких каквисмут) с малой эффективной массой носителей заряда (электронов илидырок).Другим экспериментально доступным примером являются сильно возбуждённые ридберговские атомные состояния, где кулоновский радиусорбиты становится очень большим.
С одним возбуждённым электрономна такой орбите система напоминает водородоподобный атом [42]. Основные магнитные эффекты для ридберговских орбит с большим квантовым^ (2) , поскольку площадь кулочислом связаны с квадратичным членом новской орбиты, важная для диамагнетизма, растёт ∝ 2 ∝ 4 . Используяларморовскую частоту Ω , (9.45), мы можем пренебречь членами, линейными по магнитному полю, и прийти к приближенному гамильтониану^221^ ≈ p−+ Ω2 2 sin2 ,22(9.66)где мы снова предполагаем однородное магнитное поле ℬ = ℬ .
Это поле можно рассматривать как действительно сильное (не «сильное» посравнению с расщеплением тонкой структуры в смысле раздела 9.10., носравнимое с электростатическим притяжением), когда диамагнитный и260Глава 9 Атом в статическом полекулоновский члены в уравнении (9.66) достигают одного порядка величины.В этом случае мы имеем ℬ 2 2 /2 ∼ 1/. Это условие может быть такжевыражено при помощи сравнения типичных пространственных масштабов,площади орбиты, ∼ 2 ∼ 4 2 , где = ~2 /2 есть обычный боровский2радиус, и размера, ∼√ , ларморовского движения (I.13.60), который уменьшается как ∝ 1/ ℬ:4 2ℬ2∼≡ 4.22ℬ0(9.67)Здесь введена критическая величина поля,ℬ0 =2 3= 2, 35 · 109 Гс,~3(9.68)Кулоновский и диамагнитный члены становятся одного порядка величиныдля поля порядка Тесла (104 Гс) и ≈ 50 ÷ 100.
Такие поля можно изучатьв лабораторных условиях.Из-за конфликта симметрий, обусловленного одновременным наличиемсферически-симметричного кулоновского притяжения и сильного магнитного поля, классическое движение на таких ридберговских орбитах становитсяхаотичным [42]. Эксперименты по фотопоглощению ридберговскими атомами [43] возле порога ионизации в поле ℬ ∼ 6 T привели к открытиютак называемых квази-Ландау резонансов, с шагом по энергии, близкимк (3/2)~Ω , в отличие от стандартных резонансов ~Ω для переходов сциклотронной частотой Ω между уровнями Ландау, хорошо известнымипри малых полях.Задача 9.9Объясните это открытие с помощью квазиклассических оценок длядвижения электрона в экваториальной плоскости, которое определяетсягамильтонианом (9.66) при , близкой к нулю.РешениеМы можем поступить аналогично тому, как было сделано в начале курса(разд.
I.1.7). Как и в (I.1.60), энергия перехода между сильно возбужденными квазиклассическими уровнями равна кванту классической частотырадиальных колебаний,~ =2~,∫︁ =2,()(9.69)9.12. К действительно сильным магнитным полям261где скорость движения вблизи порога ионизации, ≈ 0, между радиальными точками поворота и равна√︃ (︂)︂2 2122(9.70)() =− Ω .
2Интеграл (9.69) может быть вычислен с помощью замены переменных = (22 /Ω2 )1/3 и = 3/2 ,2 =Ω∫︁01√∫︁ 142 √︀√︀==.3Ω 03Ω1 − 31 − 2(9.71)Частота(9.69), которая определяет расстояние между резонансами, сейчасравна 3Ω = (3/2)Ω .При величине магнитного поля, превышающего ℬ0 , (9.68), мы попадаемв область физики сверхсильных магнитных полей, когда электронныйдиамагнитный эффект становится больше характерной кулоновской энергии.
Конечно, здесь мы должны отказаться от рассмотрения магнитногополя как слабого возмущения к нормальной атомной структуре. Напротив, магнитное поле становится главной динамической силой. Имея малыйциклотронный радиус , движение в плоскости, поперечной к магнитномуполю, сильно ограничено, в противоположность движению вдоль поля. Атомы становятся сильно деформированными в направлении поля, приобретаяцилиндрическую или «иглообразную» форму.Простое представление об этом экзотическом состоянии вещества можнополучить из оценки для атома водорода.
Волновая функция основного состояния электрона в кулоновском поле и сильном магнитном поле ℬ будетиметь размер вдоль поля больше, чем поперечный размер (I.13.60).Кинетическая энергия продольного движения√︀ имеет порядок величины~2 / 2 . Кулоновский потенциал 2 / = 2 / 2 + 2 должен быть усреднён по быстрому циклотронному вращению с поперечным размером орбиты ∼ .
Поперечная волновая функция () должна быть нормирована впределах ∼ , что означает, что ∼ (1/). Тогда усреднение кулоновского потенциала по циклотронному движению выдаёт величину порядка(2 /) ln(/). Минимизация выражения(︂ )︂~2 12∼−ln,(9.72)2 262Глава 9 Атом в статическом полегде мы предполагаем, что ln(/) ≫ 1, даёт оценку ( = ~2 /2 ), (/)2 ∼(ℬ/ℬ0 )∼~21∼,22 ln(/)ln(ℬ/ℬ0 )(9.73)где использовано определение критического поля (9.68). Энергия связиосновного состояния растёт ∝ ln2 (ℬ/ℬ0 ). Более аккуратное рассмотрениеможно найти в обширной литературе, например, в «мини-обзоре» [44].Магнитные поля ℬ ≫ ℬ0 не могут быть созданы в лаборатории.
Соответствующие эффекты магнитного поля могут существенно усиливаться вконденсированных средах не только из-за аномально малой эффективноймассы носителей заряда, но и благодаря высокой диэлектрической проницаемости, которая ослабляет кулоновское поле. Однако наиболее важнуюмотивацию для изучения поведения вещества в крайне сильных магнитныхполях даёт астрофизика. Как стало известно из исследований нейтронныхзвёзд, многие из них имеют на своей поверхности магнитное поле гораздоболее сильное, чем наше критическое поле ℬ0 , достигая 10(14÷15) Гс. Сильные магнитные поля влияют на все свойства различных астрономическихобъектов, включая их уравнение состояния, излучение, скорость охлаждения и другие приводящие к равновесию процессы.
Ядерные реакции могутизменять свои скорости, известные из земных экспериментов (например,скорость бета-распада может быть другой, так как вылетающие электроныили позитроны имеют совершенно иную плотность уровней в сильном магнитном поле). Гидродинамические свойства также меняются, равно как иналичие или отсутствие сверхтекучести.Дополнительная литература: [45], [42], [46], [47], [44]Старая идея статического пейзажа,который подобен вечно звучащей струне,должна быть забыта, поскольку такойпейзаж существует только в нашемвоображении.Д. Б.
Боткин «Неблагозвучные гармонии»Глава 10Нестационарные возмущения10.1. Вероятность перехода^ ∘ , не зависящим от времени,Для замкнутой системы с гамильтонианом и с соответствующим спектром стационарных состояний |⟩,^ ∘ |⟩ = |⟩,любой нестационарный волновой пакет∑︁|Ψ()⟩ = ()|⟩(10.1)(10.2)эволюционирует так, что со временем меняются лишь относительные фазы компонент (квантовые биения). Амплитуда вероятности обнаружениясистемы в стационарном состоянии |⟩ равна () = (0)−(/~) ,(10.3)поэтому вероятности () = | ()|2 = | (0)|2(10.4)не зависят от времени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
