1625913943-4651bd14c87f2eac7915671b5ee6e807 (536942), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Получившийся ряд напоминает разложение10.4. Адиабатические возмущения271экспоненты, но с временным упорядочиванием в каждом члене:∫︁ (︁)︁ }︂∑︁ 1 (︂ 1 )︂ {︂∫︁ ′′˘˘. (1 ) . . . ( ) () = +ϒ1 . . .! ~−∞−∞=1(10.30)Обычно его записывают в виде ϒ-экспоненты:]︂}︂{︂[︂∫︁ ′ ˘′ ′. () = ϒ exp −(/~) ( )−∞(10.31)Это символическое выражение может быть полезно при выводе общихформул, но оно обычно не помогает в конкретных расчётах, когда ряддолжен вычисляться приближённо и обрываться на каком-то шаге.10.4. Адиабатические возмущения^ ′ () является плавной функцией времени, например,Если возмущение меняясь заметно только в течение большого интервала времени ∼ , егофурье-разложение может иметь заметные компоненты только для малыхчастот 6 0 = 1/ . Тогда переходы с большими частотами > 0подавлены.
Мы уже видели это в задаче 10.1 в пределе > 1. Такиемедленно меняющиеся возмущения называются адиабатическими. Болееточно, для адиабатического возмущения по отношению к переходу → изменение энергии за период ∼ 1/ должно быть мало по сравнению сэнергией перехода − = ~ :′ 1 ′ ∼ ∼≪ ~ . (10.32)Уже простая оценка показывает, что при выполнении условия (10.32)^ ′ плавно вклювероятность перехода мала. Пусть, например, возмущение чается в момент времени = 0 и выключается при = ¯. При > ¯ переходыуже закончились, и полная вероятность перехода есть⃒∫︁⃒2¯⃒1 ⃒⃒ ′ ⃒ = 2 ⃒ ()(10.33)⃒ .⃒~ ⃒ 0272Глава 10 Нестационарные возмущенияИнтегрируя это выражение по частям, мы можем преобразовать его как 1= 2~⃒[︂⃒2]︂¯∫︁ ¯⃒ ′ () ⃒⃒1⃒ ′ () −⃒⃒ ,⃒ 0 ⃒0^ ′,или, учитывая граничные условия для ⃒⃒∫︁¯′ () ⃒21 ⃒⃒ ⃒ = 2 2 ⃒ ⃒ .
⃒~ ⃒ 0(10.34)(10.35)Предполагая плавное поведение производной ˙ ′ , вынесем из-под интегралаквадрат её максимального абсолютного значения и вычислим оставшийсяинтеграл ⃒⃒′ 24 sin2 ( /2) ⃒⃒ ⃒⃒6⃒⃒ .⃒ ⃒~2 4(10.36)Верхний предел вероятности перехода пропорционален квадрату малого параметра адиабатичности |˙ ′ |2 /(~ )2 , что находится в согласии с оценкой(10.32).Мы видим, что в случае, когда возмущение включается и выключаетсяадиабатически, реальные переходы слабы. Внутри интервала 0 < < ¯вероятность перехода может быть заметной благодаря вкладу верхнего предела в проинтегрированном члене (10.34).
Это значит, что вектор состояния|Ψ()⟩ отличается от начального вектора |⟩ внутри этого интервала. Еслибы мы мгновенно выключили возмущение в некоторый момент внутри интервала и разложили |Ψ()⟩ по стационарным состояниям | ⟩, мы нашли бызаметные вероятности переходов → . Эти вероятности обязаны, главнымобразом, резкому выключению возмущения. В адиабатическом режимевектор состояния |Ψ()⟩ плавно меняется, подстраиваясь к медленно меняющемуся возмущению. В длительном процессе волновая функция можетзначительно меняться.
Однако при > ¯ система с большой вероятностьювернётся к исходному состоянию.10.5. Адиабатическая теория возмущенийВ нашей оценке (10.36) мы видели, что, хотя мы начинали со стандартной теории возмущений, действительная малость была обусловлена не10.5. Адиабатическая теория возмущений273малостью возмущения, а, скорее, медленностью его изменения. В этомслучае можно развить специальный вариант теории возмущений, где не^ ′ (). Вместо этого малым параметромтребуется малости возмущения будет скорость изменения возмущения в смысле неравенства (10.32).
Забольшой временной интервал медленный дрейф вектора состояния можетпривести в конце к значительному его изменению.В адиабатической теории возмущений нет смысла разбивать гамильтониан на невозмущённую часть и возмущение, как это сделано в (10.6). Вместоэтого мы предположим, что гамильтониан зависит от некоторых параметров^^ (), которые являются плавными функциями времени, ()= (()).Мы знаем уже, что вектор состояния будет меняться, приспосабливаясь кэволюции (). При этом плавном изменении эволюционирующее основноесостояние будет оставаться основным, первое возбуждённое останется первым возбуждённым и т.д. Адиабатическая динамика уровней напоминаетламинарный поток в отсутствие турбулентности (например, реалистический спектр ядерных уровней при сильном смешивании, т.
1, рис. 19.1).˙ тем более ламинарным будет характер потока.Чем меньше / ≡ ,При фиксированном значении найдем набор стационарных состояний^|; ⟩ гамильтониана ():^()|;⟩ = ()|; ⟩.(10.37)Набор мгновенных состояний |; ⟩ может использоваться в качестве подвижного адиабатического базиса вместо фиксированного базиса, использовавшегося в (10.8). Обычная фаза − /~ должна быть заменена наполную динамическую фазу, набегающую в течение процесса:∫︁1 () = −′ ((′ )).(10.38)~ −∞∫︀Она подобна пространственной фазе квазиклассической волновойфункции в плавно меняющемся потенциале.В каждый момент времени плавающий базис (10.37) является полным имы можем искать решение уравнения Шрёдингера~^|Ψ()⟩ = (())|Ψ()⟩(10.39)274Глава 10 Нестационарные возмущенияв форме разложения по мгновенным функциям |; ()⟩,∑︁ () () |; ()⟩.|Ψ()⟩ =(10.40)В крайнем адиабатическом пределе волновая функция будет просто следовать за изменением () вдоль определенного энергетического терма впространстве параметров.
В реальности из-за конечной скорости движения˙ в этом пространстве между адиабатическими термами ещё возможны переходы, которые описываются остаточной временной зависимостьюамплитуд () в (10.40). Временная производная функции (10.40) равна[︂]︂∑︁ ()˙|Ψ⟩ =˙ − (()) + |; ()⟩,(10.41)~где учтено, что^()|Ψ⟩=∑︁ () (())|; ()⟩.(10.42)При фиксированном и = () состояния |; ()⟩ ортонормированы.Поэтому проекция на ⟨; ()| даёт для каждого ∑︁˙ + ˙ () [ ()− ()] = 0,(10.43)где роль возмущения, индуцирующего переходы, играют матричные элементы градиента волновой функции по параметрам⃒⃒⟩⟨⃒ ⃒⃒⃒ () = ; () ⃒; () .(10.44) ⃒Система уравнений (10.43) всё ещё точная.
Амплитуды в подвижномбазисе меняются со временем только из-за наличия ˙ — изменения параметров. Если мы имели в далёком прошлом, → −∞, набор коэффициентов0 ≡ (−∞) и эволюция является адиабатической, то можно ожидать,что амплитуды будут почти постоянными, хотя сами базисные состояния могут значительно измениться. Адиабатическая теория возмущений˙использует разложение по , = ∘ + (1) () + ...(10.45)10.6. Неадиабатические переходыВ первом порядке мы получаем из (10.43)∑︁˙ ()∘ [ ()− ()] .˙ (1)=−275(10.46)Решение в первом порядке выражается интегралом по времени∫︁ ∑︁(1)˙ ′ )[ (′ )− (′ )] ∘ . () = −′ (′ )(−∞(10.47)Для вычисления вероятности переходов рассмотрим определённое начальное состояние 0 = . С помощью уравнения (4.36) получаем из(10.47) для конечного состояния ̸= :⃒ ⃒⟨⟩⃒ ^ ⃒∫︁ ; (′ ) ⃒ ; (′ )⃒(1)˙ ′ )[ (′ )− (′ )] . (10.48) () = −′(′′ (( )) − (( ))−∞Этот результат напоминает обычную теорию возмущений.
Обобщение навычисление высших порядков адиабатического приближения представляется очевидным.10.6. Неадиабатические переходыАдиабатическое приближение в форме (10.48) нарушается вблизи точек пересечения уровней. Сильное сближение различных адиабатическихтермов () приводит к росту амплитуды перехода. Тогда, аналогично стандартной теории возмущений для близких уровней, низшее приближениестановится недостаточным, и необходимо диагонализовать гамильтонианвнутри этой подсистемы уровней и найти правильные линейные комбинации. Характерный результат может быть виден уже в случае двух близкихуровней.Рассмотрим типичную ситуацию, когда два адиабатических энергетических терма системы |, ⟩ и ′ , ⟩ пересекают друг друга в момент времени,который мы примем за = 0 (рис.10.2).
В отсутствие взаимодействия,способного смешивать эти состояния (или в случае различной симметриитермов, что запрещает их смешивание), мы бы имели диабатические термы () и ′ (), показанные на рис. 10.2 пунктирными линиями. Если имеетсяматричный элемент смешивания ′ ≡ , то адиабатические уровни 1и 2 отталкиваются друг от друга, и вместо диабатического пересечениямы имеем адиабатическое псевдопересечение, показанное сплошными лини-276Глава 10 Нестационарные возмущенияРис. 10.2. Диабатические и адиабатические термыями на рис. 10.2.
При этом матричный элемент смешивания определяетмгновенное расстояние между уровнями (см. т. 1, уравнение 10.39).Начнём с нижнего состояния () в далёком прошлом, → −∞. Примедленном изменении уровней () и слабом взаимодействии () адиабатическая эволюция будет идти вдоль терма 1. При этом волновая функцияплавно трансформируется из |, −∞⟩ в | ′ , ∞⟩. Система всегда будет оставаться в нижнем энергетическом состоянии, в то время как верхний термбудет оставаться пустым.
В противоположность этому, в диабатическомрежиме быстрого прохождения система будет двигаться вдоль невозмущённого терма |, ⟩. В общем случае процесс характеризуется вероятностьюперехода из 1 в 2, которая фактически есть вероятность остаться в состоянии |⟩. Эта вероятность стремится к нулю в адиабатическом пределеи к 1 в противоположном случае быстрого прохождения.Двухуровневая система описывается зависящим от времени гамильтонианом(︂)︂ () * ()^()=.(10.49) () ′ ()В предположении слабого взаимодействия, заметная вероятность переходасуществует только вблизи точки пересечения = 0.
Главная зависимость10.6. Неадиабатические переходы277от времени здесь может быть записана как,′ () ≈ ,′ , () ≈ (0) ≡ (10.50)(линейное поведение термов, приближающихся к точке пересечения, >′ ). В точке пересечения теория возмущений не работает. Однако, как вквазиклассическом приближении, можно попытаться «обойти» опаснуюточку для нахождения вероятности перехода (прыжка) через энергетическую щель между термами 1 и 2, подобно тому, как сшивались дваквазиклассических решения по разные стороны от точки поворота в координатном пространстве.При больших ||, когда расстояние между уровнями |( −′ )| велико посравнению с матричным элементом смешивания | |, можно использоватьобычную стационарную теорию возмущений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
