1625913943-4651bd14c87f2eac7915671b5ee6e807 (536942), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Поскольку гамильтониан, определяющий оператор эволюции,где является периодическим, можно также утверждать, что^ ()Ψ( ).Ψ( + ) = (11.28)Это эквивалентно равенству^ ()^ ( )Ψ(0),Ψ( + ) = (11.29)и, следовательно,^ ( + ) = ^ ()^ ( ).(11.30)^ ( ) может быть диагонаУнитарный оператор эволюции за период лизован, его собственными значениями являются (см.
т. 1, разд. 6.10)комплексные числа exp( ) на единичной окружности. Пусть есть^ ( ), так чтонабор собственных векторов ^ ( ) = .(11.31)Действуя обеими частями (11.30) на функцию , мы получаем^ ( + ) = ^ () .(11.32)Волновая функция, которая стартует при = 0 с одной из функций ,^ () ,Ψ () = (11.33)11.5. Конечные состояния в континууме299эволюционирует особенно просто,Ψ ( + ) = Ψ (),(11.34)приобретая только фазу после каждого периода гамильтониана.Если бы мы имели независящий от времени гамильтониан, эволюциястационарного состояния Ψ с энергией за интервал времени была быΨ ( + ) = −(/~) Ψ ().(11.35)В присутствии нестационарного возмущения энергия не сохраняется.
Однако эволюция за период состояния (11.34) такая же, как для стационарногосостояния с энергией̃︀ = − ~ = − ~ ,2(11.36)̃︀ называется квазиэнергией состояния Ψ . Сущегде = 2/ . Величина ствование состояний с определённой квазиэнергией есть математическоеследствие теории Флоке, 1883 г., дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами [56]. Пример из задачи 11.1 определяет перио̃︀ = 0. Согласно (11.34),дическую функцию, отвечающую квазиэнергии квазиэнергии определены по модулю 2~/ = ~ подобно квазиимпульсув решётке.11.5. Конечные состояния в континуумеДля перехода → , когда | ⟩ принадлежит непрерывному спектру,мы не можем точно зафиксировать отдельное конечное состояние. Имеетсмысл только вероятность перехода в спектральный интервал конечныхсостояний с энергиями от до + , a также в интервал другихнепрерывно меняющихся квантовых чисел.Символически мы обозначаем этот интервал как = ,(11.37)где имеет смысл плотности конечных состояний на единичный интервал энергии.
Золотое правило (11.6) будет давать теперь скорость перехода300Глава 11 Периодические возмущенияв группу близколежащих конечных состояний,˙ =2|′ |2 ( − − ~) .~(11.38)Если конечное состояние полностью характеризуется своей энергией, тополная скорость перехода выражается интегралом по энергии∫︁22(11.39)˙ =|′ |2 , |′ |2 ( − − ~) =~~где матричный элемент берётся на энергетической поверхности.
В реальности состояния в континууме обычно вырождены, например, по направлениюконечного импульса p . Тогда в (11.39) мы должны добавить плотностьконечных состояний˙ =2 ′ 2| | .~(11.40)Это стандартная форма золотого правила для переходов в сплошной спектр.Явное выражение для зависит от нормировки состояний в континууме; они должны быть нормированы на -функцию от тех непрерывныхпеременных, произведение которых было определено как в (11.37).Часто бывает удобно использовать нормировку в прямоугольной яме большого размера, которая обсуждалась в начале курса (см. т. 1, разд. 3.7 и3.8). Волновая функция свободной частицы с периодическими граничнымиусловиями имеет вид1⟨r|k⟩ = k (r) = √ (k·r) .(11.41)Нормировочный объём — вспомогательная величина, обеспечивающаяправильный подсчёт квантовых состояний в континууме; физические наблюдаемые не содержат его при правильных вычислениях.
Функции (11.41)нормированы так же, кaк и в дискретном спектре,∫︁′⟨k |k⟩ = 3 k* ′ (r)k (r) = k′ k .(11.42)В этом случае, как мы знаем, плотность конечных состояний в интервале3 = = 2 с правильно квантованными компонентами11.5. Конечные состояния в континууме301волновых векторов в элементе телесного угла определяется как =3 = 2 .3(2)(2)3 (11.43)Поскольку для свободного движения = ~2 2 /2, = (~2 /), = (2)3 ~2(11.44) = = = .(2)3 ~2(2~)3(11.45)иЕсли имеется несколько частиц в конечном состоянии, то в плотностьнужно включать число ячеек в фазовом пространстве, 3 /(2~)3 , длякаждой из частиц и правильно учесть кинематические связи между ними.Результат будет зависеть от системы отсчёта, используемой в описаниипроцесса (например, лабораторной или системы центра масс).
Если частицы имеют дополнительные квантовые характеристики, такие как спинили поляризация, а матричный элемент процесса не зависит от них, топлотность состояний просто умножается на их число — (2s+1) для частицысо спином или 2 для двух поляризаций фотона. Умножение означает, чтонет интерференции и для некогерентных процессов, в которых конечныесостояния имеют различные значения этих дискретных квантовых чисел,мы складываем вероятности, а не амплитуды.
Различные возможные ситуации иллюстрируются ниже примерами и соответствующими диаграммамина рис. 11.2—11.6.Задача 11.2Найти плотность конечных состояний для следующих примеров:1)2)3)4)релятивистская частица в конечном состоянии;эффект Комптона (см.
т. 1, разд. 1.3) — рис. 11.2;электрон-электронное рассеяние — рис. 11.3;тормозное излучение заряженной частицей в присутствии тяжёлогоядра (свободная частица не может излучать, так как невозможно удовлетворить законам сохранения энергии и импульса) — рис. 11.4;5) рождение электрон-позитронной пары фотоном в поле ядра — рис.
11.5;6) аннигиляция электрон-позитронной пары в два фотона — рис. 11.6.302Глава 11 Периодические возмущенияРешение1. Для релятивистской частицы 2 = 2 4 + 2 2 , = = ,2(11.46)гдеv=p2(11.47)— скорость частицы. Отсюда2 2=. =(2~)3 (2~)3 (11.48)Рис. 11.2. Диаграмма для эффекта КомптонаРис. 11.3. Рассеяние электрона на электронеРис. 11.4. Тормозное излучение на ядре11.5.
Конечные состояния в континууме303Рис. 11.5. Рождение электрон-позитронной парыфотоном в поле ядраРис. 11.6. Двухфотонная аннигиляция электронпозитронной парыПри ≪ это выражение совпадает с нерелятивистским результатом(11.45), а для = 0, = , = ~ = ~ мы получаем плотностьконечных состояний для фотона =2.(2)3 ~3(11.49)2.
В системе отсчёта, где фотон с начальной частотой рассеивается напокоящейся частице массы (электрон), частота фотона, рассеянногона угол в элемент телесного угла , равна (см. т. 1, разд. 1.3) =.1 + (~/2 )(1 − cos )(11.50)Конечный электрон получает энергию отдачи и импульс √︁ = ~ + = ~ + 2 2 + 2 4 .(11.51)Вследствие сохранения импульса импульс начального фотона ~k удовлетворяет условию ~k = ~k + p . Тогда√︁(11.52) = ~ + 2 4 + ~2 2 ( 2 + 2 − 2 cos ) ,304Глава 11 Периодические возмущения)︂(︂~( − cos ),= ~ 1 +или, вспоминая о сохранении энергии, 2~(1 − cos ) + 2= ~= ~. (11.53)(11.54)Окончательно,2 =.
=3(2) (2)3 2(11.55)Здесь = ~( − ) + 2 и — элемент телесного угла в направлениирассеянного фотона; направление p электрона однозначно определяется законами сохранения.3. В упругом рассеянии, в системе центра масс имеем p1 = −p2 ≡ p, p′1 =−p′2 ≡ p′ , и |p| = |p′ | ≡ ; тогда 1 = 2 = 1′ = 2′ ≡ , и достаточноследить только за одним электроном в конечном состоянии. Поскольку = 2, то =.3(2~) 22(11.56)4.
Если считать ядро бесконечно тяжёлым (пренебрегая энергией отдачиядра 2 /2 ), то импульс электрона не сохраняется, и нужно рассматривать по отдельности импульсы испущенного фотона (частоты ) ирассеянного электрона. Сохранение энергии даёт = + ~ = 0 ,так что для фиксированной , = , и = 2 .(2~)3 2(2)3(11.57)5. Так же как и в случае тормозного излучения, ядро принимает на себя излишний импульс. Разница по сравнению со случаем (4) в том,что фотон теперь в начальном, а не в конечном состоянии. А вместоначального электрона мы имеем дело с конечным позитроном. Пренебрегая опять энергией отдачи ядра, имеем при фиксированной энергиипозитрона + , = − , и = + −+ −= + − + ;(11.58)11.5. Конечные состояния в континууме305используя (11.48), мы получаем =+ + − − + −+ .22 (2~)3 (2~)3(11.59)6.
В системе центра масс p+ + p− = 0, + = − = . Оба фотонаприобретают одинаковую энергию 1 = 2 , которая также равна .Для фотонов k1 + k2 = 0, |k1 | = |k2 | ≡ , = 2~. Это даёт = 21 .(2)3 2~(11.60)Задача 11.3В процессе -распада, индуцированного слабыми взаимодействиями, выделяется кинетическая энергия и начальное ядро (, ) с протонамии − нейтронами превращается либо в ядро , + 1 с испусканиемэлектрона и электронного антинейтрино, либо в ядро , − 1 с испусканием позитрона и электронного нейтрино.
В пренебрежении кинетическойэнергией отдачи остаточного ядра и эффектами кулоновского поля ядра,энергетический спектр испущенных электронов (или позитронов) можетбыть представлен как2 = const |weak | (, ) .(11.61)Найти функцию (, )1) для безмассового нейтрино;2) для нейтрино конечной массы .3) Было установлено, что электронное нейтрино , или антинейтрино¯ , рождённые в процессе -распада, не имеют определённой массы,будучи линейными комбинациями как минимум двух стационарныхтипов нейтрино с массами 1 и 2 ,| ⟩ = cos |1 ⟩ + sin |2 ⟩;(11.62)определённо известно, что эти массы не могут превышать 1 эВ, хотя ихточные значения пока неизвестны.
Эти нейтринные осцилляции будутобсуждаться позднее. Как будет выглядеть результат в этом случае?Решение1. В этом случае мы имеем = = − :√︀(, ) = ( − )2 2 − 2 4 .(11.63)306Глава 11 Периодические возмущения2. Модификация для конечной массы нейтрино одного сорта:√︀(, ; ) = ( − ) [( − )2 − 2 4 ](2 − 2 4 ). (11.64)3. Для случая нейтринных осцилляций(, ) = (, ; 1 ) cos2 + (, ; 2 ) sin2 .(11.65)Из-за малости масс 1 и 2 модификации могут быть заметны только в самом конце электронного спектра. Например, даже для самогообещающего случая -распада трития, 3 H→3 He + электрон + электронное антинейтрино, где полная энергия, выделяемая при распаде,составляет 18,6 кэВ (обычно она много больше, на уровне несколькихМэВ), эта энергия всё равно много больше ожидаемых значений масснейтрино (или антинейтрино).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
