1625913943-4651bd14c87f2eac7915671b5ee6e807 (536942), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Средняя энергия системы также не зависит отвремени,∑︁⟨⟩ = .(10.5)264Глава 10 Нестационарные возмущенияЭволюция системы меняется, если на систему наложено зависящее от^ ′ () . Полный гамильтониан системы,времени возмущение ^ =^∘ + ^ ′ (),(10.6)по-прежнему является оператором эволюции,~^∘ + ^ ′ ()]|Ψ()⟩,|Ψ()⟩ = [(10.7)но больше не соответствует сохраняющейся энергии. Мгновенный векторсостояния |Ψ()⟩, как и раньше, может быть представлен суперпозицией(10.2) невозмущённых стационарных состояний.
Физически амплитуды ()^ ′ ().отвечают измерению с помощью внезапного выключения возмущения Как будет детально показано ниже, при внезапном возмущении (см. т. 1,задача 3.3) волновая функция не успевает измениться, и её значение в этотмомент служит начальным состоянием для дальнейшей эволюции, управляемой опять не зависящим от времени гамильтонианом. Тогда вероятности перестают меняться и могут быть измерены.^ ′ эволюция волновой функции не сводится кС зависящим от времени изменению фаз.
Величины вероятностей теперь меняются со временем,что может быть обнаружено в экспериментах с отключением возмущения вразличные моменты. Даже если в момент времени 0 в волновой функции|Ψ(0 )⟩ отсутствовали какие-то компоненты |⟩, они могут появиться впоследующем. Это означает, что нестационарное возмущение может вызывать квантовые переходы в состояния, отличные от начального. Есливероятности переходов малы, ≪ 1, то возмущение можно считать слабым,что позволяет развить специальную форму теории возмущений, зависящихот времени.
Подчеркнём, что здесь речь идёт о вероятностях переходовмежду невозмущёнными стационарными состояниями.10.2. Теория возмущенийДля нахождения приближённого решения зависящего от времени уравнения (10.7) удобно использовать суперпозицию (10.2) с амплитудами (),переопределёнными таким образом, чтобы экспоненциальная зависимостьот времени невозмущённых состояний (10.3) была выделена явно:∑︁|Ψ()⟩ = ()−(/~) |⟩.(10.8)10.2. Теория возмущений265Оставшаяся зависимость от времени амплитуд () порождается только^ ′ ().
Преобразование от старых амплитуд в (10.2) к новымвозмущением в (10.8) носит название перехода к представлению взаимодействия; вматематике это метод вариации постоянных.Подставляя волновую функцию (10.8) в уравнение Шредингера (10.7) иопределение (10.1) стационарных состояний, мы получаем систему связанных дифференциальных уравнений для новых амплитуд (), зависимость^ ′ (),от времени которых порождается только возмущением ~˙ =∑︁′() () , = − ,~(10.9)′^ ′ () берутся между не завигде матричные элементы возмущения сящими от времени базисными векторами.
Система (10.9) всё ещё эквивалентна полному уравнению Шрёдингера. Трансформируя её в системуинтегральных уравнений, мы можем явно учесть начальные условия (0 ):1 () = (0 ) +~∫︁0′∑︁′′(′ ) (′ ) .(10.10)Дальнейшие приближения могут различаться в зависимости от конкретныхфизических условий, связанных с силой и характером возмущения.Пусть возмущение действует в течение конечного интервала времени.В отдалённом прошлом, 0 → −∞, система находилась в одном из невозмущённых стационарных состояний. Назовём это состояние начальным,обозначая его |⟩ и предполагая, что оно принадлежит дискретному спектру, так что (−∞) = .
В режиме теории возмущений вероятностипереходов малы. Поэтому () остаётся близким к единице, а |̸= | ≪ 1для возникающих новых компонент. Для ̸= в правой части (10.9) мыоставляем только большую амплитуду ≈ 1 и приближённо получаем:′′~˙ ≈ () () ≈ () .(10.11)Таким образом, амплитуда вероятности найти систему в конечном состоянии | ⟩, также дискретного спектра, равна () = −~∫︁−∞′′ ′ (′ ) ,(10.12)266Глава 10 Нестационарные возмущенияа вероятность перехода → описывается выражением⃒2⃒∫︁⃒1 ⃒⃒ ′′′ ′ ⃒ ( ) () = | ()| = 2 ⃒⃒ .~−∞2(10.13)Таким образом, мы оправдываем использованное ранее понятие о матричном элементе , как о величине, связанной с амплитудой перехода. Еслиговорить на языке виртуальных состояний, то переход в другое состояниеможет «случиться» в любой момент времени ′ < , помеченный соответствующим скачком фазы.
При этом мы должны учесть интерференциювсех переходов, происходящих в различные моменты времени ′ . Посколькумы предположили, что возмущение перестаёт действовать в пределе → ∞,то полная вероятностъ перехода⃒⃒∫︁1 ⃒⃒ ∞ ′ ′ ′ ′ ⃒⃒22 = | ( → ∞)| = 2 ⃒ ( )(10.14)⃒~−∞определяется фурье-гармоникой возмущения с частотой, равной частотеперехода . Можно сказать, что в пределе бесконечного времени энергия должна полностью сохраняться, что обеспечивает передачу точнойвеличины энергии − от источника (или к источнику), которым является внешнее поле. Приближение (10.1) справедливо тогда, когда поправкивысшего порядка малы.Задача 10.1Импульс конечной длительности пространственно однородного электрического поля2 / 2ℰ() = ℰ0 −(10.15)действует на заряженную частицу, помещённую в потенциал гармонического осциллятора с частотой . В приближении слабого поля найтивероятность возбуждения частицы из основного состояния в одно из возбуждённых состояний осциллятора после действия импульса.
Установитьусловия применимости теории возмущений. Рассмотреть случаи малойи большой длительности импульса по сравнению с периодом колебаний (при одинаковой величине переданного частице импульса). Колебанияпроисходят вдоль поля.10.2. Теория возмущенийРешениеОператор возмущения имеет вид√︂~′^ () = −ℰ()^ = −ℰ()(^+^† ).2267(10.16)В низшем порядке теории возмущений возможен переход только в первоевозбуждённое состояние, = 0 → = 1, под действием оператора рождения † .
Вероятность перехода (10.1) для импульса поля () = 0 ()описывается выражением⃒∫︁⃒2⃒1~ ⃒⃒ ∞ ⃒10 = 2 (ℰ0 )2()(10.17)⃒⃒ .~2 −∞Для гауссова импульса (10.15)10 =2 ℰ02 2 −2 2 /2.2~Система получила импульс∫︁ ∞√ = ℰ() = ℰ0 .(10.18)(10.19)−∞Можно сравнить возмущения различной длительности, передающие одини тот же импульс,10 = 2 −2 2 /2.2~(10.20)Средняя энергия, переданная осциллятору, равнаΔ = ~10 = 2 −2 2 /2.2(10.21)При любой длительности теория возмущений справедлива, если Δ ≪ ~.Короткий импульс (с длительностью много меньше периода осцилляций, ≪ 1) передаёт всю энергию 2 /2, в то время как длинныйимпульс, ≫ 1, неэффективен, переданная энергия экспоненциальномала и осциллятор остаётся в основном состоянии.
Физическая причина этого лежит в быстро осциллирующем характере движения; действиеполя компенсируется в различных частях периода. Это общее правило —медленно (адиабатически) меняющиеся возмущения не могут возбудить268Глава 10 Нестационарные возмущениясистему. Система остаётся в своём первоначальном состоянии с волновойфункцией, адиабатически подстраивающейся к медленно меняющемуся возмущению и возвращающейся назад при выключении возмущения.
Позжемы рассмотрим адиабатический случай более детально.10.3. Формальное разложение в рядЕсли нас интересует переход → , в котором матричный элемент ′ аномально мал или равен нулю, то необходимо учесть следующий порядоктеории возмущений. Точная система интегральных уравнений (10.10) можетбыть итерирована:∫︁∑︁1 ′1(1 ) 1 (0 ) () = (0 ) +~ 0(︂+1~)︂2 ∫︁∫︁1120∑︁0′′(1 )(2 ) 1 + 2 (2 ). (10.22)Используя опять начальное условие 0 → −∞, (−∞) = и оставляяв итерируемом (третьем) члене (10.22) главный вклад = , находимамплитуду перехода → ̸= во втором порядке,(1)(2) () ≈ () + (),(10.23)(1)где даётся (10.12), а(2) ()(︂=1~)︂2 ∫︁∫︁11−∞2−∞∑︁′′ (1 )(2 ) 1 + 2 . (10.24)Включая члены второго порядка, мы видим, что кроме прямого перехода → возможен двухступенчатый процесс → → через промежуточные или виртуальные состояния (см.
т. 1, разд. 5.10). Вероятностьперехода по-прежнему равна = | ()|2 , хотя теперь она включает интерференцию одноступенчатого и всех двухступенчатых путей. Очевидно,что этот результат справедлив только если можно пренебречь вкладамивысших порядков.^ ′ сопровождается соответствующей фаКаждый оператор возмущения зой, зависящей от времени. Это связано с упоминавшимся выше представлением взаимодействия. Унитарный оператор невозмущённой временной10.3. Формальное разложение в ряд269Рис. 10.1. Структура области интегрирования во втором приближении, ведущаяк хронологическому упорядочениюэволюции^ ∘ () = exp[−(/~)^ ∘ ](10.25)включён в волновые функции, как в (10.2) и (10.3).
Соответственно, чтобысохранить неизменными физические амплитуды, мы преобразуем операто^ ′ ⇒ ,˘ры, (︁)︁−1′′˘ ^ ∘ ()^ ′ ()^ ∘ ()|⟩ = () = ⟨| () .(10.26)Представление взаимодействия является промежуточным между представ˘ сохраняют своюлениями Шрёдингера и Гейзенберга. Здесь операторы невозмущённую временную зависимость, как это было бы в гейзенберговском представлении в отсутствие возмущения, а временная зависимость,индуцированная возмущением ′ , остаётся в волновых функциях.Рассмотрим теперь структуру второй итерации (10.24). Как видно нарис. 10.1, область интегрирования является частью (2 , 1 )-плоскости, ограниченной сверху диагональю 1 = 2 .
Сначала мы интегрируем при фиксированном 1 < , вдоль вертикальной линии −∞ < 2 < 1 , а затем повсем возможным значениям 1 от −∞ до . Если поменять порядок инте-270Глава 10 Нестационарные возмущения∫︀ ∫︀ грирования, то интегрирование −∞ 2 2 1 покрывает ту же площадь,так что можно сложить эти два интегрирования, разделив результат надва. Во втором слагаемом можно также заменить переменные, 2 ↔ 1 , ирезультат может быть представлен как(2) (){︂∫︁1=2(︂∫︁1×1~1−∞)︂22−∞×(︁∫︁)︁′′˘˘ (1 ) (2 )+−∞∫︁121(︁)︁ }︂′′˘˘ (2 ) (1 ).(10.27)Здесь мы интегрируем (с фактором 1/2) по всей плоскости до в обеих^ ′ хронологически упорядообластях, 1 < 2 и 1 > 2 .
Два оператора чены: оператор с более поздним временем стоит слева. Вводя символ ϒхронологического произведения операторов, можно представить результаткак(︂ )︂{︂∫︁ ∫︁ (︁)︁ }︂1 1 2(2)′′˘˘ () =ϒ12 (1 ) (2 ).(10.28)2 ~−∞−∞Итерации могут быть продолжены тем же путём. Результат записываетсяв виде бесконечного ряда∫︁ −1(︁)︁∑︁ (︂ 1 )︂ ∫︁ ˘ ′ (1 ) . . . ˘ ′ ( ) . (10.29) () =1 . . . ~−∞−∞=1В -м члене ряда переход происходит через −1 промежуточных состояний,^ ′ берётся в представлении взаимодействия.
Операторыи каждый оператор ′^ (), взятые в разные моменты времени, в общем случае не коммутируют, иих порядок в ряде (10.29) фиксирован хронологическим упорядочиванием —время возрастает справа налево. Можно использовать все ! перестановоквремён интегрирования и, после переобозначений, привести каждый членряда к виду, аналогичному (2) , сохраняя при этом везде хронологическийпорядок. Можно также распостранить результат на = , добавляя членнулевого порядка 1 = .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
