1625913943-4651bd14c87f2eac7915671b5ee6e807 (536942), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Ньютон (Цит. по: Р. Вестфолл Не знатьпокоя — биография Исаака Ньютона)Глава 9Атом в статическом поле9.1. Поляризуемость в постоянном электрическом полеРассмотрим систему заряженных частиц, находящихся во внешнем однородном постоянном электрическом поле ℰ . Для определённости будемговорить об «атоме», хотя результаты носят более общий характер.Однородное электрическое поле характеризуется электростатическимпотенциаломℰ · r),(r) = −(ℰ(9.1)а потенциальная энергия взаимодействия системы с полем задаётся суммойпо частицам с зарядами ,∑︁∑︁^^′ =ℰ·ℰ · d), (r ) = −ℰ r = −(ℰ(9.2)^ дипольного момента системы.где мы ввели оператор dЧасто внешнее статическое поле достаточно слабо, так что его можноучитывать по теории возмущений. В первом порядке возмущённая волновая функция | ⟩, соответствующая невозмущённому состоянию |⟩,выражается суперпозицией (4.22) невозмущённых состояний| ⟩ = |⟩ −∑︁ (ℰℰ · d )|⟩.∘ − ∘(9.3)̸=Здесь и далее матричные элементы d берутся по невозмущённым состояниям.Правило отбора по чётности играет здесь большую роль.
Возмущение(9.3) генерирует примеси состояний |⟩, связанных с начальным состоянием240Глава 9 Атом в статическом поледипольными матричными элементами. Если невозмущённое состояние |⟩имеет определённую чётность, добавленные состояния должны иметь противоположную чётность. В результате возмущённая волновая функция(9.3) не имеет определённой чётности — система в электрическом поле может приобрести постоянный дипольный момент, вспомним обсуждение вразделах I.8.5 и 7.9..
Среднее значение дипольного момента в присутствииполя равно^ ⟩,⟨d⟩ ≡ ⟨ |d|(9.4)где и бра- и кет-вектор должны включать поправки первого порядка (9.3):}︂∑︁ {︂ℰ · d* ) ^ℰ · d ) (ℰ(ℰ^^+ ∘⟨|d|⟩⟨d⟩ = ⟨|d|⟩ −⟨|d|⟩ ∘ − ∘ − ∘̸== d∘ −∑︁ d (ℰℰ · d ) + (ℰℰ · d )d.∘ − ∘(9.5)̸=^Здесь невозмущённый матричный элемент d∘ ≡ ⟨|d|⟩равен нулю, еслисостояние без поля имело определённую чётность.Результат (9.5) означает, что дипольный момент ⟨d⟩ в приложенномэлектрическом поле состоит из двух частей, исходного момента d∘ , инаведённого момента ⟨d′ ⟩ , который пропорционален полю,⟨d⟩ = d∘ + ⟨d′ ⟩ .(9.6)Коэффициент пропорциональности между наведённым дипольным моментом ⟨d′ ⟩ и индуцирующим полем ℰ можно назвать статической поляризуемостью (ср. задачу I.12.8)⟨′ ⟩ = ℰ .(9.7)Поляризуемость есть тензор второго ранга, зависящий от состояния |⟩∑︁ + =.∘ − ∘(9.8)̸=Определение (9.8) показывает, что тензор статической поляризуемостиявляется вещественным и симметричным, = .
Как видно из (9.7), имеет размерность объёма.9.2. Эффект Штарка241Для волновой функции (9.3) мы можем использовать общий рецепт(4.18), чтобы определить изменение энергии, включая второй порядок поотношению к электрическому полю,ℰ · d∘ ) − = ∘ − (ℰ∑︁ |(ℰℰ · d )|2,∘ − ∘(9.9)̸=или, в терминах тензора поляризуемости (9.8),ℰ · d∘ ) − = ∘ − (ℰ1 ℰ ℰ .2 (9.10)Мы пришли к классической формуле: энергия системы зарядов во внешнемполе включает взаимодействие этого поля с исходным дипольным моментомℰ · d∘ ) (линейный член) и с дипольным моментом, наведённым тем же(ℰполем (квадратичный член). Как и в классической электростатике,)︁(︁′∘+⟨⟩ℰ=−−= −∘ = −⟨ ⟩ .
ℰ(9.11)Таким образом, теория возмущений приводит к обычной картине системызарядов, поляризованных однородным электростатическим полем. Результат для статической поляризуемости является частным случаем теориилинейного отклика, которая вводит восприимчивость системы как реакцию на слабое внешнее воздействие.9.2. Эффект ШтаркаВ квантовой теории сдвиг (9.9) уровней энергии иногда называют эффектом Штарка. Если исходные состояния |⟩ имеют определённую чётность,d∘ = 0 и линейный эффект Штарка отсутствует. Для состояния |⟩ с определённым угловым моментом ̸= 0, при применении теории возмущенийнеобходим выбор правильных линейных комбинации нулевого порядка, поскольку исходные состояния вырождены по проекции = , независимоот выбора оси квантования.Возмущённая система, первоначально инвариантная относительно вращений, теряет эту инвариантность, поскольку внешнее поле выделяет направление в пространстве.
Однако аксиальная симметрия по отношениюк направлению поля по-прежнему остаётся. Поэтому проекция угловогомомента на ось поля (ℰ = ℰ ) всё ещё сохраняется, в отличие от и .Если мы выберем ось поля в качестве оси квантования, состояния с опре-242Глава 9 Атом в статическом поледелёнными значениями = диагонализуют полный гамильтониан ислужат правильными линейными комбинациями для дальнейшего применения теории возмущений. Правильные линейные комбинации определяютсясимметрией, и нет необходимости в решении секулярного уравнения.Квадратичный эффект Штарка — это расщепление энергий магнитныхподуровней данного -мультиплета по проекции в слабом электрическом поле.
Зависимость расщепления от может быть установленав общем виде. Рассмотрим подпространство 2 + 1 состояний |() ⟩мультиплета, где () обозначает все фиксированные квантовые числа, неотносящиеся к вращениям. В этом подпространстве мы введём эффективный оператор ^ таким образом, что его матричные элементы равныкомпонентам (9.8) тензора поляризуемости. Наиболее общий вид такогосимметричного тензорного оператора для изотропной системы (определённое значение ) есть, в духе векторной модели и по аналогии с (8.96) и(8.100),(︂)︂2 ^2^^^^^ = + + − J .(9.12)3Этот тензор разложен здесь на скалярную часть, пропорциональную следу (нет аналога в квадрупольном случае (8.96)), и бесследную квадрупольную часть. В результате оператор эффективно сводится к двум численнымконстантам скалярной и тензорной поляризуемости — и . Эти константы определяются структурой состояния |⟩; они всё ещё могут зависеть отвеличины , но не от компонент ^ .В случае = 0 мы имеем только сдвиг единственного состояния = 0,остаётся лишь скалярная компонента поляризуемости,^ ( = 0) = ,(9.13)и выражение (9.8) для скалярной поляризуемости упрощается: = 2∑︁ ∑︁ | |2 =2.∘ − ∘∘ − ∘̸=(9.14)̸=Выражение (9.14) является положительно определённым для основногосостояния.Задача 9.1Покажите, что поляризуемость (9.14) для гармонического осцилляторасовпадает с точным результатом задачи I.12.8.9.3.
Поляризуемость атома водорода243В атомной физике для дипольного перехода из основного состояния |0⟩ ввозбуждённое состояние |⟩ вводятся так называемые силы осцилляторов00 =20 2|0 | ,2 ~(9.15)где — масса электрона, а 0 = (∘ − 0∘ )/~ — частота перехода. Тогдастатическая поляризуемость (9.14) основного состояния атома с = 0может быть выражена через сумму сил осцилляторов0 =2 ∑︁ 02 .0(9.16)̸=0Это объясняет происхождение термина «сила осциллятора», так как результат (9.16) действительно есть сумма поляризуемостей (I.12.57) отдельныхатомных осцилляторов с частотами 0 , взвешенных с их силами 0 .Задача 9.2Найти квадратичное расщепление Штарка в мультиплете | ⟩.Решение{︂}︂21 ( ) = − ℰ 2 − [( + 1) − 3 2 ] .23(9.17)9.3. Поляризуемость атома водородаПоляризуемость (9.8) содержит сумму по всем промежуточным состояниям, возбуждённым из начального состояния дипольным оператором.Это суммирование делает практическое вычисление нелёгкой задачей.Точный ответ можно получить для квадратичного эффекта в основномсостоянии |0⟩ атома водорода.
Здесь можно даже точно решить уравнениеШрёдингера при наличии электрического поля, разделив переменные в параболических координатах [3], § 77. Мы ограничимся прямым вычислениемскалярной поляризуемости (9.14):0 = 22∑︁ 0 0.∘ − ∘0(9.18)244Глава 9 Атом в статическом полеОграничение ̸= 0 не является необходимым, поскольку в любом случае 00 = 0.
Задача может быть решена при помощи вспомогательного^ определённого таким образом, чтооператора ,^^ ∘ ]|0⟩,^|0⟩ = [,(9.19)^ ∘ — невозмущённый гамильтониан атома водорода. Оператор ^ имеетгде смысл интеграла по времени -координаты электрона (движение вдольполя).Матричные элементы, необходимые в (9.18), можно теперь записать ввиде^^ ∘ ]|0⟩ = (0∘ − ∘ )0 .0 = ⟨|[,(9.20)Это упрощает выражение для поляризуемости до0 = 22∑︁ 0 ( ∘ − ∘ )00∘−0∘= −22∑︁0 0 ,(9.21)и сумма по промежуточным состояниям сводится к среднему значениюоператора ^^ в основном состоянии0 = −22 ()00 .(9.22)Задача 9.3Найти оператор ^ и вычислить поляризуемость основного состоянияатома водорода.РешениеПредположим, что оператор ^ зависит только от координат, фактически = (, ). Тогда (9.19), вместе с явным выражением для функцииосновного состояния 0 (), приводит к дифференциальному уравнению дляфункции .
Это уравнение решается с помощью разделения переменных всферических координатах. В результате получим ( есть боровский радиус)=−)︁)︁1 (︁ (︁ +cos=−+,2 22 2(9.23)так что0 = 2⟨0| 2(︁ 2)︁+ |0⟩.(9.24)9.4. Эффект Штарка в атоме водорода245Благодаря сферической симметрии основного состояния для любой функции ()1⟨0| () 2 |0⟩ = ⟨0| ()2 |0⟩.3(9.25)Используя явное выражение для волновой функции основного состояния,получаем( )00 =0 =( + 2)! ,2+1[︂]︂2 1 39( )00 + (2 )00 = 3 .3 22(9.26)(9.27)9.4. Эффект Штарка в атоме водородаАтом водорода своеобразен благодаря «случайному» кулоновскому вырождению . Вследствие этого можно взять в качестве невозмущённогосостояния любую суперпозицию уровней с разными ℓ, но одним и темже главным квантовым числом .
В частности, можно скомбинироватьℓ-орбитали противоположной чётности. Тогда невозмущённое состояние неимеет определённой чётности, и невозмущённый дипольный момент d∘ необращается в нуль. Таким образом, мы приходим к линейному эффектуШтарка. Основное состояние является невырожденным, и для него возможен только квадратичный эффект. Линейный эффект появляется уже при = 2.Задача 9.4В обсуждении выше мы пренебрегали спин-орбитальным расщеплением,считая, что эффект, связанный с электрическим полем, больше этогорасщепления. В этом случае все четыре состояния с = 2, а именно 2и 2, можно рассматривать как изначально вырожденные, пренебрегаяспином электрона.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
