1625913943-4651bd14c87f2eac7915671b5ee6e807 (536942), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Чтобыпонять физический смысл этой неопределенности, представим одну из функций с фактором 2 как интеграл по времени в виде (11.2). Тогдапервое слагаемое определяет вероятность как = | |2 =2| ′ |2 ( − ) lim →∞~2 ∫︁ /2 (− ) .(11.4)− /2Из-за присутствия первой -функции экспонента под интегралом можетбыть положена равной единице, и интеграл дает длительность процесса,так что в этом пределе вероятность перехода пропорциональна полномуинтервалу времени : =2|′ |2 ( − − ~) .~(11.5)Это и есть золотое правило Ферми для вероятности перехода в единицувремени (интенсивность переходов) ˙ ≡ / :˙ =2|′ |2 ( − − ~).~(11.6)Для квантового ансамбля идентичных систем вероятность перехода(11.6), умноженная на , дает число переходов в ансамбле в единицувремени.Предел → ∞ в (11.5) нарушает справедливость теории возмущений изза неограниченного роста вероятности. Однако в действительности энергияуже практически сохраняется после нескольких периодов частоты , так что11.1.
Золотое правило293Рис. 11.1. Резонансная часть вероятности перехода за конечное время как функция энергии конечного состоянияможно использовать золотое правило сравнительно благополучно. Для тогочтобы увидеть, как возникает сохранение энергии, рассмотрим вывод (11.6)более подробно. Возьмем теперь за начальный момент = 0 и включимпериодическое возмущение (11.1). Интегрируя по ′ , как в уравнении 10.12,но от нуля до , находим () = ′ 1 − ( −)1 − ( +)+ ( ′† ) .~( − )~( + )(11.7)Для слабого возмущения эта амплитуда мала, если частота внешнего поля существенно отличается от ± . Вероятность перехода становитсязначительной только близко к резонансу, когда ≈ ± .Пусть частота близка к резонансу в одном из знаменателей, например, ≈ .
Тогда только первый член в (11.7) удовлетворяет резонансномуусловию, и основной вклад в вероятность перехода будет2| ()| ≈|′ |2( − − ~)224 sin(︂)︂ − − ~ .2~(11.8)Эта вероятность показана на рис. 11.1 в зависимости от конечной энергии . Максимум соответствует точному резонансу, = + ~, а значение вмаксимуме возрастает ∝ 2 . В согласии с соотношением неопределённостей,вероятность имеет заметную величину только в пределах интервала ∝ ~/вблизи резонанса. Таким образом, при достаточно больших (заметно294Глава 11 Периодические возмущениябольше, чем типичные периоды ~/ ), функция (11.8) имеет свойства-функции.Для того чтобы найти коэффициент пропорциональности между функцией (11.8) и -функцией, вычислим площадь под резонансной кривой нарис.
11.1:(︂)︂∫︁∫︁222 − − ~ | ()| = 4| |sin , (11.9)( − − ~)22~где предполагается, что матричный элемент |′ |2 является гладкой функцией энергии (по сравнению с функциями, быстро меняющимися с ,особенно при больших ) и мало меняется внутри основного максимумарезонансной кривой. Теперь из-за резкого максимума подынтегральнойфункции интегрирование может быть распространено до бесконечности.Вводя аргумент синуса в качестве новой переменной с началом в точкерезонанса, получаем∫︁ ∞∫︁sin2 22 .(11.10) | ()| = 4| |2~ −∞2Так как оставшийся интеграл равен ,∫︁2| |2 . | ()|2 =~(11.11)Это дает правильную нормировку -функции и приводит снова к золотомуправилу (11.5)| ()|2 =2 |′ |2 ( − − ~),~(11.12)где является длительностью процесса; а при больших не имеет значения,как была выбрана начальная точка.11.2. Выход за первый порядокПредположим, что частота поля недостаточна для достижения конечногосостояния | ⟩ из данного начального состояния |⟩.
В этом случае намнужны следующие члены хронологически упорядоченного ряда теории11.2. Выход за первый порядок295возмущений. Согласно уравнению (10.24), во втором порядке имеем∫︁ () =0′∫︁′′′∑︁0′′′′′ (′ )(′′ ) + .(11.13)Для оценки этого вклада воспользуемся теми же приближениями, что ираньше. Члены второго порядка описывают передачу двух квантов внешнего поля системе. Теперь мы находимся в резонансе с конечными состояниями, которые отличаются по энергии от начального состояния на 2~.Во внешнем поле ′ мы удерживаем только члены, которые приведут крезонансу при = /2: () =∑︁′′ ∫︁′ ( −)′∫︁ 0′′′′′ ( −) .(11.14)0Интегрирование по ′′ даёт (опять же, оставляя только наиболее важныйчлен) () =∫︁′∑︁ ′ ( − )[︁]︁′ ( −2) − 1 .(11.15)0Используя этот результат в (), переходя к пределу → ∞ и вводя подходящую -функцию, мы приходим к золотому правилу (11.6) с эффективнымматричным элементом второго порядка˙ =2(2)| |2 ( − − 2~),~(2) =∑︁′′ − − ~.
(11.16)Такие эффекты работают в лазерных приложениях, когда, например, энергия ~ одного кванта ниже порога ионизации, а путем добавления нескольких квантов мы можем получить необходимое количество энергии дляионизации. Первый шаг двухступенчатого процесса является виртуальным(внемассовым, нерезонансным).Таким путём можно описать многоквантовые процессы. В частности, втретьем порядке вместе с резонансом на частоте перехода 3 появляется′† ′новый тип вклада ′ (плюс все перестановки хронологическогоупорядочивания). Эти члены дают снова резонанс в простейшем переходе → с = .
Для слабого поля это просто малая поправка к первомупорядку, хотя она становится заметной для сильных полей.296Глава 11 Периодические возмущения11.3. Вырожденные состоянияРешением для системы вырожденных состояний являются периодически(но не гармонически) меняющиеся волновые функции.Задача 11.1^ ′ cos() имеетРассмотреть систему, где периодическое возмущение большой матричный элемент между двумя вырожденными состояниями |1⟩и |2⟩. Найти эволюцию волновой функции во времени, если в начальныймомент система находилась в состоянии |1⟩.РешениеВ общей системе зависящих от времени уравнений (см. уравнение 10.9)удерживаем только уравнения, связывающие два вырожденных уровня,12 = 0:′~˙ 1 = 12cos() 2 ,′~˙ 2 = 12cos() 1 .(11.17)Точное решение этой системы уравнений легко найти, если мы примем,что в согласии с нормировкой |1 ()|2 + |2 ()|2 = 1 и начальным условием1 (0) = 11 () = cos (),2 () = − sin (),(0) = 0.(11.18)Тогда два уравнения (11.17) сводятся к одному уравнению для ():′~˙ = 12cos().(11.19)Интегрируя это уравнение с данным начальным условием, получаем(︁ ′)︁121 () = cossin() ,~(︁ ′)︁122 () = − sinsin() .~(11.20)Система осциллирует между двумя состояниями с максимальной заселён′ /~).
Это решение также легконостью второго уровня, равной sin2 (12найти, используя матрицы Паули в двумерном пространстве.Такая ситуация имеет место в атоме водорода, где состояния 21/2 и21/2 являются вырожденными (см. разд. 9.2), если пренебречь лэмбовским сдвигом. Эти состояния могут быть сильно смешаны в постоянномэлектрическом поле, давая новые стационарные суперпозиции. Здесь мывидим, что периодическое поле создает периодические изменения во времени комбинаций первоначально вырожденных стационарных состояний.11.4. Квазиэнергия297Число линейно независимых комбинаций равно степени вырождения.
Второе решение для задачи 11.1 будет соответствовать начальному условию2 (0) = 1. Более общее начальное условие будет генерировать определеннуюлинейную комбинацию cos () и sin ().Схема решения для вырожденных состояний является прямым обобщением двухуровневой задачи: мы ищем частное решение в виде = −()(11.21)и получаем систему уравнений∑︁ ′ ′ ;~ ˙ = cos()(11.22)′временная зависимость удовлетворяется подстановкой() =Λsin();~(11.23)и мы приходим к статической проблеме собственных значений для Λ,∑︁Λ = ′ ′ ,(11.24)′что даёт собственных значений Λ и, следовательно, функций ().Правильная комбинация частных решений (11.21) должна находиться изначальных условий.
При решении этой задачи мы пренебрегаем присутствием всех других состояний в системе. Они могут быть учтены каквозмущение к указанному выше решению.11.4. КвазиэнергияМожно провести аналогию между поведением квантовой системы в периодической пространственной решетке (см. т. 1, разд. 8.7) и в поле спериодической зависимостью от времени.
В первом случае импульс частицы не мог сохраняться из-за многократного рассеяния в периодическомпотенциале. Вместо него волновая функция могла быть охарактеризованаквазиимпульсом, который определен с точностью до вектора обратнойрешетки. Во многих случаях полезно использовать аналогичную идею длявозмущения, периодического во времени.298Глава 11 Периодические возмущения^Рассмотрим общий гамильтониан (),периодически меняющийся вовремени с периодом :^ + ) = ().^((11.25)Решение уравнения Шрёдингера~Ψ()^= ()Ψ()(11.26)может быть представлено как унитарная (поскольку гамильтониан эрмитов)эволюция произвольного начального состояния^ ()Ψ(0),Ψ() = ^ † () = ^ −1 (),(11.27)^ (0) = ^1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
