1625913943-4651bd14c87f2eac7915671b5ee6e807 (536942), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Удобно использовать в качестве рабочего базиса полную систему |⟩284Глава 10 Нестационарные возмущениястационарных состояний нового гамильтониана:^ 1 |⟩ = |⟩.(10.76)Ищем решение при > 0 как суперпозицию (10.8) состояний (10.76). Учи^ 1,тывая, что в интервале 0 < < полный гамильтониан отличается от ^ ′ какможно определить возмущение ^ = ^ ′ + ^ 1.(10.77)Интегрируя по времени уравнения (10.9), получаем для амплитуд переходасистему уравнений, аналогичную (10.10):∫︁ ∑︁ ′ ′′ () = (0) − (′ ) (′ ).(10.78)~ 0Поскольку exp( ′ ) ≈ 1 для 0 < ′ < , то∫︁ ∑︁ ′ ′ (′ ) (′ ).
() ≈ (0) −~ 0(10.79)Результат (10.79) ещё более упрощается, если кроме условия ≪ 1выполняется и неравенство′ ≪1~(10.80)′(для слабых возмущений ≪ ~ это выполняется автоматически всилу первого условия). В этом случае интегральный член мал и можнопользоваться итерациями. В нулевом порядке∘ () = (0).(10.81)Это выражение совпадает с тем, которое получилось в «наивном» подходе,использованном в задаче 3.3 в первом томе: начальный вектор состоянияесть суперпозиция новых стационарных состояний,∑︁|Ψ(0)⟩ = (0)|⟩, (0) = ⟨|Ψ(0)⟩,(10.82)10.8.
Внезапные возмущения285и вероятность перехода |Ψ(0)⟩ → | ⟩ равна 0 = |⟨ |Ψ(0)⟩|2 .(10.83)При мгновенном включении возмущения вектор состояния |Ψ(0)⟩ не успевает измениться и служит начальным волновым пакетом для дальнейшей^ 1 . Для нахождения вероятностейэволюции под действием гамильтониана перехода достаточно знать веса различных новых стационарных состояний в начальной суперпозиции, т. е. разложить |Ψ(0)⟩ по собственным^ 1 . После = эти компоненты эволюционируют независимо,функциям приобретая соответствующие фазы.Задача 10.4Для слабого возмущения получить результат (10.75), пользуясь стандартной теорией возмущений, зависящих от времени.Итерируя начальное решение (10.81) в интегральном члене (10.78), находим поправку первого порядка, обусловленную конечным временем включения возмущения:∫︁ ∑︁(1)′ () = (0) − (0)′ (′ ).(10.84)~ 0Используя значение (10.82) амплитуд (0) и полноту системы (10.76), мыприходим к∫︁ ∑︁ ′ ′(1) () = ⟨|Ψ(0)⟩ − (′ )⟨|Ψ(0)⟩~ 0= ⟨|Ψ(0)⟩ −~∫︁^ ′ (′ )|Ψ(0)⟩.′ ⟨|(10.85)0Вероятность перехода в этом приближении есть⃒⃒2∫︁ ⃒⃒(1)′′′^ ( )|Ψ(0)⟩⃒ .,0 = ⃒⃒⟨ |Ψ(0)⟩ − ⟨ |⃒~ 0(10.86)Задача 10.5Слабое внешнее поле, приложенное к системе, находящейся в исходномсостоянии |⟩, зависит от времени как^ ′ () = (),^() =1.1 + /(10.87)286Глава 10 Нестационарные возмущенияНайти вероятности перехода в конечное состояние | ⟩ и рассмотреть пределы внезапных и адиабатических возмущений.РешениеВ рамках теории возмущений вероятность перехода выражается как⃒∫︁⃒2⃒| |2 ⃒⃒ ∞ ⃒ .
=()(10.88)⃒~2 ⃒ −∞Для вычисления фурье-компонент мы можем замкнуть контур дугой большого радиуса в верхней части комплексной плоскости, () > 0; вкладдуги равен нулю (мы предполагаем > 0). Полюса () внутри контурарасположены вдоль положительной части мнимой оси, = (2 + 1), где = 0, 1, .... Знаменатель вблизи этих точек равен −( − )/ , а соответствующие вычеты равны exp(− (2 + 1)). Их сумма есть геометрическаяпрогрессия, которая может быть выражена через гиперболический синус,⃒⃒2⃒| |2 ⃒⃒⃒ .
=(10.89)⃒~2sinh( ) ⃒Возмущение () изменяется от единицы в прошлом, → −∞, до нуля вбудущем, → ∞ (сглаженная ступенька). Для очень плавного изменения,которое длится много периодов, результат экспоненциально мал: ≈| |2 2 2 −2 4 ,~2 ≫ 1,(10.90)это типичный адиабатический результат. Для очень резких измененийполучаем результат, не зависящий от точного значения малой величины : ≈| |2,~2 2 ≪ 1,(10.91)в согласии с приближением внезапного возмущения (10.75). Глядя на далёкие фурье-компоненты (большие частоты перехода), можно увидеть общеематематическое свойство: когда подынтегральное выражение не имеетособенностей на вещественной оси, этот предельно далёкий хвост экспоненциально мал (10.90).
При → 0 особенности накапливаются вблизивещественной оси, и асимптотика имеет только степенное спадание (10.91).Можно также отметить, что функция () описывает распределение частиц по уровням энергии в ферми-газе, при этом соответствует энергии,10.9. Процессы встряхивания287отсчитанной от поверхности Ферми, а температуре . Положения полюсов на мнимой оси соответствуют так называемым частотам Maцубары = (2 + 1), которые играют важную роль в статистической физикеферми-систем.10.9. Процессы встряхиванияТипичная ситуация, когда можно говорить о внезапном возмущенииатома, возникает в случае резкого воздействия внешнего агента на атомное ядро. Это может быть, например, -распад с внезапным изменениемядерного состава (нейтрон↔протон) и эмиссией позитрона (или электрона)и нейтрино (или антинейтрино).Аналогичный процесс происходит, когда система претерпевает быстрыйтолчок от энергичной внешней частицы или электромагнитного поля, авремя взаимодействия так мало, что можно считать, что гамильтониан составляющих, электронов в атоме или нуклонов в ядре, внезапно изменяется.Для нового гамильтониана прежнее состояние становится нестационарным,включая, в принципе, компоненты (10.76), соответствующие континууму.Это означает, что резкое воздействие на ядро может привести к ионизацииатома: грубо говоря, ядро получает толчок, в то время как электроны (илислабо связанные нуклоны) не улавливают его.
В таких случаях мы говоримо процессах встряхивания.Пусть ядро внезапно получает импульс Q, так что его волновая функцияΨ (R) умножается на фактор exp [(/~)(Q · )]. Это следует из рассмотре^ния оператора сдвига в импульсном пространстве ().В полной аналогии^с оператором сдвига () в координатном пространстве (см. т. 1, разд. 4.5)^оператор ()должен действовать в импульсном пространстве как^(Q)Φ(p)= Φ(p − Q).(10.92)Таким оператором является^^(Q)= (/~)(Q·R) ,(10.93)а в координатном представлении волновая функция ядра Ψ (R) простоумножается на exp[(/~)(Q · R)]. Стационарными волновыми функциямиэлектронов в новой ситуации были бы их нормальные атомные функции,движущиеся вместе с ядром.
Если приобретённая скорость ядра массы есть V = Q/ , то электрон с массой получит такую же скорость v = V,288Глава 10 Нестационарные возмущенияесли его приобретённый импульс будет равен q = V = (/ )Q. Этоотвечает новым стационарным функциямΨ ({r }) → Ψ ({r })(/~)q·∑︀ r.(10.94)Вместо этого на данный момент у нас еще есть старая волновая функцияэлектрона, скажем 0 для основного состояния, у которой не было времени измениться за время толчка. Вероятность для электронов оказаться ввозбужденном состоянии | ⟩ после этого воздействия определяется перекрытием (10.83) модифицированной функции Ψ (10.82) с первоначальнойволновой функцией основного состояния,⃒⃒2 ⃒⃒2∑︀∑︀⃒⃒⃒⃒ 0 = ⃒⟨(/~)q· r Ψ |Ψ0 ⟩⃒ = ⃒⟨Ψ |−(/~)q· r |Ψ0 ⟩⃒ .(10.95)В частности, вероятность выживания основного состояния атома есть⃒⃒2∑︀⃒⃒00 = ⃒⟨Ψ0 |−(/~)q· r |Ψ0 ⟩⃒ .(10.96)Полная вероятность всех остальных процессов (возбуждения различныхсвязанных состояний и ионизации) составляет 1 − 00 .
Всё рассмотрениесправедливо, если время импульса ≪ / , то есть расстояние ,пройденное ядром за время действия возмущения, мало по сравнению сразмером атома . Величина (10.96) представляет собой так называемыйатомный форм-фактор, он вновь появится в разд. 12.3.Задача 10.6Найдите среднюю энергию, передаваемую электронам в процессе, когдаядро приобрело скорость .РешениеОчевидный ответ дается энергетически взвешенным правилом сумм (см.т.
1, уравнение 7.146),¯=∑︁( − 0 ) 0 =2 2=,22(10.97)где есть число электронов.Задача 10.7Найти полную вероятность возбуждения и ионизации атома водорода(первоначально в основном состоянии) в процессе, когда протон приобретаетскорость V в результате очень короткого импульса.10.9. Процессы встряхивания289РешениеУравнение (10.96) дает для основного состояния атома водородаexc = 1 − 00 = 1 −1.[1 + (~ /22 )2 ]4(10.98)В этом случае скорость = / входит в отношении к типичной атомнойскорости (см. т. 1, уравнение 1.30).
При ≪ атом остается в основномсостоянии, если ≫ , вероятность возбуждения близка к единице.Дополнительная литература: [52], [25], [53], [48], [54], [55]Превращение частиц в свет, а света вчастицы очень приятно для ходасобытий в природе, которая как будтов восторге от таких транcмутаций.Исаак Ньютон «Оптика»Глава 11Периодические возмущения11.1. Золотое правилоЗдесь мы будем обсуждать часто встречающийся класс задач, которыевключают возмущения с периодической зависимостью от времени. Этипроблемы имеют основополагающее значение для понимания современнойлазерной физики.Из-за требования эрмитовости запишем гамильтониан монохроматического возмущения как^ ′ () = ^ ′ − + ^ ′† .(11.1)Детали рассмотрения могут зависеть от способа включения и выключениявозмущения.
В принципе, даже стационарное возмущение является частнымслучаем (11.1). Однако здесь нас больше интересует развитие векторасостояния во времени, а не сдвиги энергии, как в стационарной теориивозмущений (см. гл. 4).Мы начинаем с формального вывода знаменитого золотого правила.Предположим, что возмущение (11.1) было включено в далеком прошлом, = − /2, → ∞, и мы ищем вероятность перехода при = + /2.
Стандартный результат для амплитуды перехода в этом длительном процессе(см. уравнение 10.12) = −~∫︁ /2− /2(︁)︁ ′ − + ( ′† ) (11.2)292Глава 11 Периодические возмущенияведёт к появлению -функций в пределе → ∞( ) →∞ = −)︁2 (︁ ′ ( − ) + ( ′† ) ( + ) .~(11.3)-Функции выражают сохранение энергии в процессе бесконечной длительности. Если > 0, то первое слагаемое описывает поглощение квантавнешнего поля, = + , а второй член описывает излучение кванта = − .
Только эти процессы выживают при → ∞; принято говорить, что они идут на массовой поверхности, в отличие от виртуальныхвнемассовых процессов конечной длительности. Осциллирующие нерезонансные члены с ̸= ± усредняются до нуля во время длительногопроцесса. Для ̸= 0 только одна из -функций работает.Формальное вычисление вероятности перехода (см. уравнение 10.14)обнаруживает неопределенность, связанную с квадратом -функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
