1625913943-4651bd14c87f2eac7915671b5ee6e807 (536942), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Неравенство (12.29) всегда справедливо в пределе низкихэнергий, когда длина волны падающей частицы велика по сравнению сразмером системы, ≪ 1. Однако даже при высоких энергиях, когда > 1, имеется область очень малых углов рассеяния (или далеко лежащих«траекторий») 6 1/, когда условие (12.29) всё ещё выполняется.Следующие члены разложения форм-фактора по степеням дают ужебольше информации о распределении заряда.
В случае сферически симметричного распределения ⟨ch (r)⟩ = ch () интегрирование по углам приводитк выражению (( = cos ))1 (q) =∫︁2∫︁1 2 −14=∫︁ 2 ch ()sin().(12.30)В этом случае форм-фактор зависит только от модуля , и первые членыразложения его по степеням < 1 равны(︂)︂∫︁41 2 212 ch () ≈ () 1 − = 1 − 2 ⟨2 ⟩,(12.31)66где мы определили среднеквадратичный радиус∫︁123 ch ()2 .⟨ ⟩ =(12.32)Эта величина может быть экспериментально определена по наклону формфактора как функции 2 в пределе (12.29).Противоположный к (12.29) предел ≫ 1(12.33)достигается только при высоких энергиях или малых длинах волн, ≫ 1,и не при слишком малых углах рассеяния.
В этом случае экспонента (q·r)быстро осциллирует на размере системы и для любого гладкого распределения зарядов вклады от разных областей сильно сокращаются, так чтоформ-фактор (q) → 0. При больших только мельчайшие структуры сразмером меньше длины волны 1/ дают конструктивную интерференциюв форм-фактор. Нo для гладкого распределения заряда только пренебрежимо малая доля заряда находится в таком малом элементе объёма, чтовлечёт (q) → 0 вместе с сечением. Toлько если распределение зарядаконцентрируется в малых областях, например, при наличии сингулярностей12.3. Статический форм-фактор329типа внутренних точечных зарядов, форм-фактор будет выявлять их припередачах импульса, сравнимых с обратным размером этих составляющих.Мы видели, что для идеализированного точечного заряда форм-фактор () = 1 для всех .
Приведённые аргументы фактически повторяют объяснение соотношения неопределённости в приложении к разрешающейспособности микроскопа. Для того чтобы хорошо различать детали размера ∼ , необходим микроскоп с длиной волны света 6 . Историческиименно рассеяние электронов на нуклонах при больших передачах импульса (уже в релятивистской области) выявило существование точечныхсоставляющих — партонов (предположительно кварков и глюонов) внутринуклонов [7].Если распределение заряда не имеет сферической симметрии, фурьекомпоненты q , а вместе с ними и форм-фактор (q), зависят от направления передаваемого импульса q. В этом случае удобно использоватьразложение плоской волны по сферическим функциям (см. уравнение 6.31)и представить фурье-компоненты плотности как∫︁∑︁*q = 3 −(q·r) (r) = 4(−) (nq ) (),(12.34)где мультипольные компоненты плотности равны (n = r/)∫︁ () = 3 () (n)(r).(12.35)В длинноволновом пределе, ≪ 1, сферические функции Бесселя могутбыть взяты в соответствующей асимптотике (см.
уравнение 2.91),( )≪1=(2 + 1)!!∫︁3 (n)(r).(12.36)Этот интеграл есть не что иное, как мультипольный момент системы (см.уравнение 6.61),( )≪1 =ℳ .(2 + 1)!!(12.37)Таким образом, угловая зависимость форм-факторов позволяет получитьценную информацию о высших мультипольных моментах системы; их вкладв сечение возрастает с увеличением передаваемого импульса .
Это справедливо как для операторов плотности и мультипольных моментов, так и330Глава 12 Рассеяние быстрых заряженных частицдля их средних значений. Мы также не уточняли, что речь идёт именно оплотности заряда, так как подобным же образом можно определить плотности, форм-факторы и мультипольные моменты для любой аддитивнойвеличины. Заметим, однако, что ненулевое среднее значение мультипольных моментов ранга может существовать только если полный моментсистемы удовлетворяет условию треугольника 6 2 (см.
уравнение 7.41).12.4. ЭкранировкаПредыдущие результаты не могут быть непосредственно использованыдля рассеяния на нейтральной системе = 0. В этом случае кулоновское поле исчезает на больших расстояниях. Но, если положительные иотрицательные компоненты зарядового распределения имеют различнуюпространственную структуру, то электрическое поле существует в окрестности системы (см. задачу 3.6) и вызывает рассеяние заряженных частиц.Рассмотрим рассеяние заряженной частицы на нейтральном атоме, который содержит ядро с зарядом и атомных электронов.
Плотностьзарядаch (r) = nucl (r) + (r)(12.38)равна нулю на достаточно больших расстояниях ( ≫ at ). При нерелятивистских энергиях электрона (мы ограничимся только этим случаем)длина волны электрона всегда много больше размеров ядра nucl ≪ 1.Поэтому ядро может рассматриваться как точечный заряд nucl (q) = 1.Полный атомный зарядовый форм-фактор в этом приближении равенat (q) = 1 − (q).Сечение рассеяния электрона атомом приобретает вид(︂ )︂(︂ )︂=|1 − (q)|2 .
el Ruth(12.39)(12.40)Электронный форм-фактор (q) стремится к нулю при at ≫ 1. Этоотвечает близким траекториям и большим (в атомном масштабе) передачамимпульса. Тогда падающая частица может находиться в области атомаближе к ядру, чем низшая электронная орбита, и законы электростатикиговорят нам, что электрическое поле создаётся в этой области почти полностью ядром. Уравнение (12.40) показывает, что в этом случае мы имеем12.4. Экранировка331резерфордовское рассеяние на ядре. В противоположном пределе, при малых передачах импульса, at ≪ 1, электронный форм-фактор (q) → 1,и упругое рассеяние исчезает.
Здесь мы имеем большие прицельные параметры и далёкие траектории, где поле ядра полностью экранируетсяэлектронами. Таким образом, экранировка электронами работает приat = at sin6 1.2(12.41)Следует, однако, помнить, что наш подход основан на теории возмущений иотносится к однократному рассеянию. Это может быть справедливо толькодля быстрых (хотя всё ещё нерелятивистских) электронов со скоростью = ~/ больше, чем скорости атомных электронов at ∼ at / ∼ ~/at ,то есть при at > 1. Поэтому область (12.41), где существенна экранировка,относится к малым углам, 6 1/(at ). В результате рассеяние на малыеуглы имеет конечное сечение, в то время как чисто резерфордовское сечениерасходится ∝ 1/4 .Задача 12.1Вычислить форм-фактор для основного состояния атома водорода1) для точечного протона;2) для протона конечного размера, считая, что заряд протона равномернораспределён в сферическом объёме радиуса = 0, 8 ф.РешениеВклад электрона в атомный форм-фактор равен∫︁ (q) = − 3 3 (q·r)−2/ = −.[1 + (/2)2 ]2(12.42)Здесь форм-фактор нормирован на (0) = −, полный заряд электронногооблака.
Когда длина волны падающей частицы становится много меньшеразмера атома, ≫ 1, форм-фактор стремится к нулю ∼ ()−4 , чтосвидетельствует об отсутствии всяких сингулярностей или скопления зарядана малых масштабах: нет более мелких структур.1. В противоположность этому точечный протон имеет заряд, сконцентрированный в исчезюще малом объёме, так что его форм-фактор вообщене зависит от : (r) = (r) (r) = .(12.43)332Глава 12 Рассеяние быстрых заряженных частицВ этом приближении длина волны падающей частицы ∼ 1/ всегда больше, чем размер протона, поэтому протон выглядит как точка.
Полныйатомный форм-фактор равен}︂{︂1.(12.44) () = 1 −[1 + (/2)2 ]2При длинах волн больших, чем боровский радиус, электронное облакоэкранирует протон, атом выглядит как нейтральный объект и формфактор стремится к нулю. По мере уменьшения длины волны формфактор растёт как ∼ (/2)2 . А когда ≫ 1, электронный вкладисчезает и виден только заряд точечного протона (на очень малыхрасстояниях находится пренебрежимо малая часть электронного заряда).2.
Для протона, рассматриваемого как малая сфера радиуса , зарядовыйформ-фактор вместо (12.43) равен∫︁3 () =3 (q·r) = 3 (sin − cos ), = . (12.45)3(4/3) 6Параметр даёт сравнение длины волны ∼ 1/ с размером протона .Для больших длин волн, ≪ 1, мы возвращаемся к пределу точечногозаряда (12.43), так как sin ≈ − 3 /6 и cos ∼ 1 − 2 /2.
Для малыхдлин волн, ≫ 1, форм-фактор (12.45), осциллируя, стремится к нулюкак cos /−2 (опять нет более мелких структур внутри протона в этомприближении). Передаваемый импульс для эксперимента, предназначенного для определения размера протона, должен соответствовать длиневолны порядка этого размера, > 1, то есть как минимум∼1,~ ∼~= 250 MeV/.(12.46)12.5. Возбуждение и ионизация атомовПри неупругом рассеянии быстрых частиц на атоме, когда атом возбуждается → , сечение описывается уравнением (12.22), где фигурируетнеупругий форм-фактор (q) =1(nucl)()⟨ |q− q |⟩.(12.47)12.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
