1625913943-4651bd14c87f2eac7915671b5ee6e807 (536942), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Случай параллельных векторов b и cсоответствует состоянию с определённой (равной нулю) проекцией ℓ^ на42Глава 1 Момент импульса и сферические функцииих общее направление. Такое состояние соответствовало бы продольнойполяризации фотона (вдоль волнового вектора), которая запрещенадля реальных фотонов. За исключением этих двух случаев для общегосостояния с ℓ = 1 нет направления, на которое проекция углового момента имела бы определённое значение.
Подобная же ситуация имеетместо для любого значения углового момента > 1. Только состояниясо спином 1/2 всегда поляризованы в некотором направлении, как мыувидим позже.Все векторы ведут себя одинаково при поворотах. Поэтому мы заключаем,что любой векторный оператор преобразуется как сферическая функцияранга 1. Нормированный радиус-вектор n является примером полярноговектора (разд. I.8.4).
Его компоненты, подобно сферическим функциям1 , меняют знак при пространственной инверсии. Умножая функциюопределённой чётности на ℓ , мы меняем её чётность на (−)ℓ . Аксиальныевекторы, такие как ℓ, не меняют знак при инверсии, и их действие нафункцию не изменяет её чётность в соответствии с тем фактом, что всечлены мультиплета имеют одинаковую чётность.1.9.
Тензоры второго рангаКомбинируя несколько векторов, можно построить более сложные объекты, тензоры, которые при поворотах ведут себя как сферические функции.Скалярное произведение двух векторов(a · b) = + + ≡ (1.119)может быть также выражено через сферические компоненты (1.98):∑︁(a · b) =(−) − .(1.120)=0,±1Рассмотрим девять величин = , построенных из декартовых компонент векторов a и b. Они приводимы относительно вращений и могут бытьсгруппированы в меньшие неприводимые множества. Сначала выделим двечасти с различной симметрией (подматрицы, которые симметричны, ,или антисимметричны, , при перестановке индексов матрицы),11 = + = ( + ) + ( − ).22(1.121)1.9.
Тензоры второго ранга43Задача 1.13Показать, что повороты сохраняют перестановочную симметрию, такчто и преобразуются независимо при поворотах.Симметричная часть всё ещё приводима, так как след Tr = =(a · b) является скалярной величиной и вообще не меняется при поворотах.Мы можем вычесть инвариантный скаляр с таким коэффициентом, чтоостальная часть будет бесследовой,1 = (a · b) + .3(1.122)Симметричный тензор =)︁1 (︁2 + − (a · b)23(1.123)является бесследовым, Tr = = 0, и неприводимым. Он имеет пятьнезависимых компонент.
Антисимметричная часть11 = ( − ) = [a × b]22(1.124)имеет три независимые компоненты. Она эквивалентна (по отношению квращениям) вектору [a × b]. Если оба вектора a и b полярные, компонентыих векторного произведения не меняют знак при инверсии пространственных координат. Такой вектор является аксиальным (разд. I.8.4). Подводяитоги, разложение приводимого тензора на неприводимые части , и может быть символически представлено в виде⨂︁33 = 1 + 3 + 5,(1.125)где подчёркнутые числа обозначают размерности 2ℓ + 1 мультиплетов(неприводимых представлений группы вращений) ранга ℓ.Чтобы понять вращательные свойства симметричного тензора (1.123),мы должны сравнить его преобразования с преобразованиями сферических гармоник.
Так как все векторы преобразуются одинаково, достаточнорассмотреть случай a = b = n(, ). Тогда можно установить взаимнооднозначное соответствие между пятью нормированными сферическимифункциями второго ранга 2 (n) и линейными комбинациями пяти компо-44Глава 1 Момент импульса и сферические функциинент ,√︂√︂55 120 (n) =(2 cos2 − sin2 ) ⇒(2 − − ), (1.126)164 2√︂√︂ √︂1553±2±1 (n) = ∓cos sin ⇒( ± ),(1.127)84 2√︂ √︂√︂15532±2sin ⇒( ± 2 − ).
(1.128)2±2 (n) =324 8Обратно: компоненты являются линейными комбинациями 2 (n) и,следовательно, соответствуют тензорному оператору второго ранга, ℓ = 2.Пять комбинаций в правых частях уравнений (1.126 — 1.128) организованытаким образом, что они образуют сферический тензор√︂42 ∝2 (n).(1.129)5Важным примером является тензор электростатического квадрупольногомомента системы зарядов [1, § 41],)︁∑︁ (︁ = 3 () () − 2 () .(1.130)Это симметричный бесследовый, = 0, тензор, который имеет пять независимых компонент и с точки зрения его вращательных свойств однозначносоответствует (1.129) мультиплету сферических гармоник 2 .Вывод таков, что любой набор девяти величин , которые преобразуются при поворотах как произведения компонент векторов, можно разложитьна скаляр, вектор (антисимметричный тензор) и симметричный тензорвторого ранга. Процедура может быть расширена на тензоры более высокого порядка ...
∼ . . . . Мы вернёмся к этой теме при обсужденииобщих тензорных операторов.Задача 1.14Рассмотрим векторную функцию(︁)︁^ (n) , n = r ,Ψ (r) = V(1.131)1.10. Сферические функции и полиномы Лежандра⋆45^ , ℓ^, действующих нагде V является одним из трех векторных операторов r, pсферическую функцию. Доказать, что Ψ(r) является собственной функцией^ с квантовыми числами = ℓ и = .полного углового момента JРешение^ = ℓ^ + S,^ где оператор спина S^Определим полный угловой момент как J^^^действует на векторные компоненты как в уравнении (1.15), = − .С другой стороны, для любого вектора [ℓ^ , ^ ] = ^ . Так как^ ^ = (ℓ^ + ^ )^ = [ℓ^ , ^ ] + ^ ^ + ^ ℓ^ ,(1.132)применяя ^ к функции (1.131) и используя (1.132), получаем^ = V^ ℓ^ ℓ .^ V(1.133)Поэтому действие полного углового момента на всю функцию (1.131) эквивалентно действию орбитального момента только на сферическую функцию,и вращательные квантовые числа в точности такие же, как для сферической функции ℓ .
В частности, для ℓ = 0, операторы с градиентом,^ =p^ = ^ℓ, дают нуль, и оставшийся вектор r даёт скаляр. В самом^ иVVделе, здесь это не координаты частицы, а радиальное поле, Ψ ∝ r («ёж»),которое обладает очевидной вращательной симметрией и не меняется приповоротах.1.10. Сферические функции и полиномы Лежандра⋆Сферические гармоники ℓ (n) являются общими собственными функциями коммутирующих операторов ℓ 2 и ℓ . Поперечные компоненты орбитального момента ℓ^± , согласно лестничному соотношению (I.11.105),^ в том числе икоторое справедливо для любого векторного оператора V,^для самого ℓ , передвигают состояние вдоль лестницы, изменяя на ±1, нооставляя квантовое число ℓ без изменения. Как и должно быть, повышающие и понижающие операторы, явно заданные в уравнении (1.67), меняют-зависимость функций, добавляя должным образом фактор exp(±).Используя эти алгебраические свойства, укажем способ построения сферических функций, альтернативный тому, что мы использовали в разд.1.6.Так как по построению максимально возможное значение (-проекции)в мультиплете есть ℓ («длина» вектора орбитального момента, вспомнитесоотношение неопределённостей, уравнение (I.5.91)), верхнее состояние с46Глава 1 Момент импульса и сферические функции = ℓ не может двигаться дальше по лестнице и должно уничтожатьсяповышающим оператором.
Поэтомуℓ^+ ℓℓ = 0.(1.134)Это даёт простое уравнение первого порядка для функции Θℓℓ (), определённой формулой (1.67):Θℓℓ= ℓ cot Θℓℓ .(1.135)Решение (1.135), нормированное согласно (1.89), имеет вид√︂(2ℓ + 1)! 1Θℓℓ () =sinℓ .22ℓ ℓ!(1.136)Чем больше ℓ, тем больше эта функция сосредоточенна вблизи экватора, = /2, что характерно для квазиклассической орбиты в плоскости,перпендикулярной к направлению орбитального момента.Теперь мы можем действовать понижающим оператором ℓ^− , уравнение(1.67), и идти вниз по лестнице к нижележащим членам мультиплета. Такимобразом получим1ℓ ℓ−1 = √ ℓ^− ℓℓ ,2ℓ[︂··· ,ℓ =(ℓ + )!(ℓ − )!(2ℓ)!]︂1/2(ℓ^− )ℓ− ℓℓ .
(1.137)Зная матричные элементы понижающего оператора, можно избежать громоздких повторений нормировки. Результат может быть выражен в терминах присоединённых полиномов Лежандра ℓ ()Θℓ () = (−)[︂ℓ () = (−)ℓ−2ℓ + 1 (ℓ − )!2 (ℓ + )!]︂1/2ℓ (),(ℓ + )! 11ℓ−sin2ℓ .(ℓ − )! 2ℓ ℓ! sin ( cos )ℓ−(1.138)(1.139)Обратите внимание, что определения различных авторов могут отличатьсяв соглашении о фазе.При → 0 регулярная функция углов, такой как ℓ , не может зависетьот , так как азимутальный угол не определён при = 0.
Поэтому всефункции ℓ обращаются в нуль при = 0 за исключением ℓ0 , котораяне несёт никакой -зависимости. При = 0 присоединённые полиномы1.10. Сферические функции и полиномы Лежандра⋆47Лежандра (1.139) сводятся к обычным полиномам Лежандра:ℓ (cos ) ≡ ℓ0 (),(1.140)так что√︂ℓ0 (n) =2ℓ + 1ℓ (cos ).4(1.141)Легко видеть из (1.139), что все полиномы Лежандра равны 1 в направлениивперёд:ℓ (1) = 1.(1.142)Откуда для направления вдоль оси квантования√︂2ℓ + 1ℓ ( = 0) = 0.4(1.143)Полиномы Лежандра ортонормированы как функции = cos на отрезкеот -1 до +1:∫︁ ∫︁ 12ℓ′ ()ℓ () =ℓ′ ℓ .
(1.144) sin ℓ′ (cos )ℓ (cos ) =2ℓ + 1−10Первые четыре полинома имеют вид0 () = 1,1 () = ,12 () = (32 −1),213 () = (53 −3). (1.145)2Принимая n′ = e , единичный вектор в направлении оси , и применяя(1.93) и (1.141), получаем соотношение полноты∑︁(2ℓ + 1)ℓ () = 4( − 1),(1.146)ℓпоказывающее, что полиномы Лежандра компенсируют друг друга во всехнаправлениях, за исключением переднего.
Из-за соотношения полнотыфункции, не зависящие от , а только от cos , можно разложить в ряд пополиномам Лежандра.48Глава 1 Момент импульса и сферические функцииСоотношение чётности (1.96) очевидно для ℓ , которые являются полиномами порядка ℓ от cos . В частности, для направления назадℓ (−1) = (−)ℓ ,(1.147)что приводит к аналогу уравнения (1.146),∑︁(2ℓ + 1)(−)ℓ ℓ () = 4( + 1).(1.148)ℓЗадача 1.15Вывести общее выражение для полиномов Лежандра ℓ (cos ) () =12ℓ ℓ!ℓ 2( − 1)ℓ .ℓ(1.149)РешениеФункция (1.149) определяет регулярное решение дифференциальногоуравнения для полиномов Лежандра, что следует из (1.80) при = 0:(︂)︂1 ℓsin + ℓ(ℓ + 1)ℓ = 0.(1.150)sin Коэффициент перед (1.149) определяется условием (1.142).Задача 1.16Доказать следующие полезные свойства полиномов Лежандра:a) рекуррентные соотношения (штрих означает производную /)′ℓ+1() − ℓ′ () = (ℓ + 1)ℓ (),′ℓ′ () − ℓ−1() = ℓℓ (), (1.151)где во втором уравнении для ℓ = 0 мы предполагаем, что −1 () = 0;b) при = 0 производные чётных полиномов имеют видℓ′ even ( = 0) = 0;(1.152)c) при = 0 и для чётного ℓℓ ( = 0) = (−)/2(ℓ − 1)!!,2ℓ ℓ!′ℓ+1( = 0) = (−)/2(ℓ + 1)!!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
