1625913943-4651bd14c87f2eac7915671b5ee6e807 (536942), страница 9
Текст из файла (страница 9)
+ℓ +(1 −2 ) [R×p]+[r×P].2(2.13)Единственная часть этого оператора, которая зависит исключительно ототносительного движения, rel = relℓ , описывается гиромагнитным соотношением(︂)︂1 2 + 2 1112=rel =+,(2.14)2 21 2258Глава 2 Движение в центральном полегде мы предполагаем нормальные орбитальные гиромагнитные отношениячастиц (I.1.65) и вводим приведённую массу как в задаче I.1.6:111=+,1 2=1 2.(2.15)Преобразование кинетической энергии (2.2)^2^2^ = P + p22(2.16)вновь приводит к сумме двух независимых компонент для относительногодвижения и для движения центра масс. Если нет потенциала, действующего на центр масс, суммарный импульс P сохраняется, а движение вцелом описывается плоской волной, отделенной от относительных переменных (нерелятивистская галилеевская инвариантность).
Поэтому волноваяфункция, записанная в новых координатах Ψ(R, r, ), факторизована втривиальную плоскую волну центра масс с соответствующей кинетическойэнергией и относительную волновую функциюΨ(r1 , r2 , ) ⇒ Ψ(R, r, ) = (/~)[(P·R)−(P2 /2 )]Ψ(r, ).(2.17)Здесь P — собственное значение полного импульса, в то время как функцияΨ(r, ), обозначаемая тем же символом Ψ, теперь описывает только внутреннее движение упрощенной задачи одного тела с приведенной массой(2.15):{︂}︂~2 2Ψ(r, )= −∇ + (r) Ψ(r, ).(2.18)~2Потенциал может также зависеть от времени.
Для постоянного потенциаламы можем искать стационарные решенияΨ(r, ) = −(/~) (r),(2.19)где стационарная волновая функция удовлетворяет уравнению(︁)︁∇2 + 2 (r) (r) = 0, 2 (r) =2[ − (r)].~2(2.20)2.2. Отделение угловых переменных592.2. Отделение угловых переменныхЦентральный потенциал зависит только от абсолютной величины , ноне от углов вектора r, (r) = (|r|) = (). Нецентральные взаимодействия, такие как тензорные силы в ядерной физике или силы между двумямагнитными моментами, появляются тогда, когда частицы имеют определенные направления, выделенные их внутренними степенями свободы.Для = () уравнение Шрёдингера (2.20) не содержит функций углов, агамильтониан инвариантен относительно вращений.
Такая ситуация обсуждалась в разд. I.7.10. Орбитальный момент ℓ^ сохраняется (коммутирует сгамильтонианом). Однако только одна компонента ℓ^, например ℓ^ , можетиметь в данном состоянии определенное значение (не путать с приведенной массой). Изменяя ориентацию системы, мы можем изменить этупроекцию, но не значение энергии, поскольку операторы вращений, разд.^ Поэтому энергетический спектр в центральномI.4.7, коммутируют с .поле всегда вырожден по отношению к проекции орбитального момента.Выбирая решение с определённым значением , мы частично фиксируемориентацию системы. Симметрия такого решения меньше, чем гамильтониана. Это простейшее проявление спонтанного нарушения симметрии.Симметрия восстанавливается существованием вырожденных состояний сразличными значениями . Полный набор таких состояний и возможностьизменения ориентации и перехода от одного состояния к другому внутриэтого набора показывают вращательную инвариантность системы. Мыуже встречали подобный пример в двумерной системе (разд.
I.11.5), гдесимметрия позволяет отделить азимутальный угол и найти универсальныеугловые функции (I.11.82). Теперь мы проведём аналогичную программудля трёх измерений.Чтобы разделить радиальные и угловые переменные, мы ищем решениеуравнения Шрёдингера в виде произведения(r) = (, , ) = () (, ).(2.21)С такой подстановкой уравнение (2.20) разделяется на две части, зависящиеот различных переменных; следовательно, каждая из них равна константеразделения (︂)︂1 1 22 + 2 ()2 = ℓ^ = ,(2.22) 60Глава 2 Движение в центральном полегде мы использовали оператор Лапласа в сферических координатах (1.69).Константа разделения должна быть определена из граничных условий дляволновых функций.
В этом месте возникает квантование — такие константыпорождают квантовые числа (ср. раздел I.11.5).Угловое уравнение2ℓ^ (, ) = (, )(2.23)2является задачей на нахождение собственных значений оператора ℓ^ . Согласно алгебре углового момента, собственное значение может бытьзаписано как ℓ(ℓ + 1), где ℓ — неотрицательное, полуцелое или целое число.Дальнейшее разделение переменных (1.77) дает нормированные экспоненциальные решения (I.11.82) с целыми значениями , отобранными согласнопериодическим граничным условиям для азимутального угла. Из этогоследует, что ℓ также должно быть целым, так что решения являютсясферическими функциями ℓ (, ).
Важно, что угловые функции универсальны и не зависят от потенциала (). Таким образом, с полным наборомсферических функций мы можем решить угловую задачу раз и навсегда.Специфика потенциала проявляется в радиальных уравнениях.Задача 2.2Показать, что гамильтониан частицы массы в сферически симметричном потенциале () может быть представлен в форме222^^ = ^ + ~ ℓ + (),2 22(2.24)и радиальный импульс, определенный как^ = −~1 , (2.25)канонически сопряжен к радиальной координате ^.РешениеОператор ^ отличается от наивного выражения −~(/):(︂)︂1^ = −~+.
(2.26)2.2. Отделение угловых переменных61Различие связано с особой геометрической природой радиального движенияв ограниченной области > 0. Квадрат оператора (2.26) равен(︂ 2(︂)︂ (︂)︂)︂11 1 1 1222= −~. (2.27)^ = −~+++++ 2 2Поскольку 111 =− 2 +, мы приходим к выражению(︂ 2)︂2 22^ = −~+,2 (2.28)(2.29)которое является правильной формой радиального оператора кинетической энергии (радиальной частью оператора Лапласа). Коммутационноесоотношение[^ , ^] = −~(2.30)следует из (2.26), поскольку дополнительный член 1/ коммутирует с ,если ̸= 0. Сингулярность при = 0 возникла от выбора системы координат,отвечающей симметрии потенциала. Поведение волновых функций вблизиэтой точки будет рассмотрено отдельно.Задача 2.3Вывести операторные уравнения движения для ^, ^ и ^ и доказатьсоотношение между средними значениями в стационарном состоянии⟨ −1 ⟩ = −~( − 1)⟨−2 ⟩.2(2.31)РешениеС помощью (2.29) получаем по аналогии с классической механикой^^= ,(2.32)2^~2ℓ^=−.3^^(2.33)62Глава 2 Движение в центральном полеОператор ^ не коммутирует только с радиальной частью кинетическойэнергии[^ , ^2 ] = [^ , ^ ]^ + ^ [^ , ^ ] = ~(^−1 ^ + ^ ^−1 ).(2.34)Совместно с (2.32) это дает( − 1) −2^= ^ ^−1 + ~^ .2(2.35)Так как среднее значение производной оператора в стационарном состояниидискретного спектра исчезает (см.
разд. I.7.7) мы приходим к выражению(2.31).2.3. Радиальная часть уравнения ШрёдингераПри определённом значении константы разделения = ℓ(ℓ + 1) радиальная часть уравнения (2.22)(︂)︂ℓ(ℓ + 1)1 2 + 2 () =(2.36)2 2должна определять для каждого значения орбитального момента ℓ решениеℓ () и спектр возможных энергий , вырожденных по из-за вращательной инвариантности потенциала. Мы называем эти решения парциальнымиволнами и используем традиционную символику для различных значенийℓ:ℓ0 1 2 3 4 ...символ ...(2.37)и далее в алфавитном порядке.Уравнение (2.36) может быть переписано с помощью эффективногопотенциала, зависящего от ℓ:(︂)︂1 2 + ℓ2 () = 0,(2.38)2 ℓ2 () =2[ − ℓ ()],~2ℓ () = () +~2 ℓ(ℓ + 1).22(2.39)2.3.
Радиальная часть уравнения Шрёдингера63Последний, центробежный, член в эффективном потенциале (2.39) известен из классической механики как представление вращательной частикинетической энергии с моментом инерции 2 . -Волновое уравнение несодержит этот член.Во многих случаях полезно упрощение, основанное на сохранении тока. Втрехмерной геометрии с фиксированным началом координат поток волн изцентра распространяется через поверхность с площадью, увеличивающейся∝ 2 . Постоянный поток поэтому должен падать ∝ 1/2 . Так было бы вслучае, если бы абсолютное значение волновой функции вело себя ∝ 1/независимо от ℓ.
Будем искать решение для радиальной части в виде() =().(2.40)Радиальная часть оператора Лапласа (кинетическая энергия радиальногодвижения) становится(︂)︂′′1 2 =,(2.41)2 где штрих обозначает радиальную производную, а уравнение для ()приобретает одномерную форму с эффективным волновым вектором ℓ (),см. уравнение (2.39):′′ + ℓ2 () = 0.(2.42)Некоторые свойства решений являются общими для широкого класса потенциалов. Найдём решения на больших расстояниях и в окрестности началакоординат.Будем считать, что потенциал имеет конечный радиус и при > мы можем пренебречь потенциальным членом ().
Центробежный члентакже уменьшается и на достаточно больших расстояниях от центра ~2 ℓ(ℓ +1)/(22 ) ≪ . На таких расстояниях можно рассматривать движениекак свободное с волновым числом , 2 = 2, так что мы приходим кпростейшей одномерной задаче′′ + 2 = 0(2.43)64Глава 2 Движение в центральном полес общим решением в виде произвольной суперпозиции волн, распространяющихся от центра (+) и к центру (−):() = + − .(2.44)В терминах исходной функции (2.40)() = −+(2.45)мы получаем суперпозицию сферической расходящейся и сходящейся волн.Уравнение (2.45) подтверждает наши ожидания по части сохранения тока.Радиальный ток в сферической волне единичной амплитуды с угловымиквантовыми числами ℓ и для определённого направления в пространствеописывается выражением(︂)︂~*~2* =|ℓ | −=±|ℓ |2 ,(2.46)22так, что поток через элемент площади = 2 = ±~|ℓ |2 (2.47)сохраняется как функция . Здесь мы предположили > 0 и инфинитноедвижение с потенциалом → 0 на больших расстояниях.
Для связанногосостояния < 0 асимптотический волновой вектор является мнимым, = , а функция () должна экспоненциально спадать√︂2||−.(2.48)() ∝ , =~2Отметим, что это асимптотическое решение неверно для кулоновскогопотенциала, который спадает слишком медленно, ∝ 1/.Как уже упоминалось, полярные координаты имеют геометрическуюсингулярность при → 0, где углы не определены, а энергия вращения (дляℓ ̸= 0) стремится к бесконечности. Если потенциал () конечен при → 0,нет никакой физической сингулярности, и волновая функция должна бытьхорошо определена в нуле.
В этом случае главные члены уравнения (2.42)дают вблизи начала координат′′ −ℓ(ℓ + 1) = 0.2(2.49)2.3. Радиальная часть уравнения Шрёдингера65Это уравнение универсальное, не содержащее ни энергии, ни фактическогопотенциала. Уравнение эйлеровского типа имеет решение в виде степеннойфункции = ,( − 1) = ℓ(ℓ + 1)(2.50)с двумя возможностями: = ℓ + 1 или = −ℓ. Они определяют регулярноеи нерегулярное решения:(reg)ℓ∝ ℓ+1 ,(irreg)ℓ∝1,ℓℓ ∝ ℓ ,ℓ ∝1ℓ+1(2.51).(2.52)Задача 2.4Предполагая, что центральный потенциал () удовлетворяет условиямприменимости квазиклассического приближения, измените одномерное решение, приведённое в гл. I.15, таким образом, чтобы включить трехмерныйэффективный потенциал (2.39).РешениеРазница по сравнению с одномерным случаем состоит в дополнительномграничном условии (0) = 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
