1625913943-4651bd14c87f2eac7915671b5ee6e807 (536942), страница 3
Текст из файла (страница 3)
В разд. I.4.7 мы ввели преобразования поворота и интерпретировали оператор орбитального момента как генератор вращений. Позднее,в разд. I.7.10, мы кратко обсудили сохранение углового момента. Орбитальный момент относительно неподвижной оси появился снова в задачедвумерного осциллятора, разд. I.11.5, и мы ввели повышающие и понижающие компоненты ^± векторных операторов, уравнение (I.11.104), которыеменяют проекцию орбитального момента ℓ на ±1.Теперь нашей целью является отслеживание общих геометрических иалгебраических свойств углового момента в квантовой механике, чтобысвязать их с интуитивной картиной вращения. В отсутствие внешних полейобъект конечного размера в покое (в системе отсчёта, где полный импульсравен нулю, P = 0) можно характеризовать сохраняющимся векторомполного углового момента J; орбитальный момент ℓ частицы, уравнение(I.4.34), является частным случаем.^ является генератором (см.
разд.Оператор полного углового момента JI.6.10) бесконечно малых поворотов. Вращения в трёхмерном пространстветребуют трёх углов для их параметризации, например, полярный и азимутальный углы оси вращения по отношению к некоторой фиксированнойсистеме координат, и угол поворота вокруг этой оси. Рассмотрим поворотна бесконечно малый угол вокруг оси, которая характеризуется единичным вектором n. При таком вращении волновая функция меняется на^ n (), генерируетвеличину, пропорциональную . Это преобразование, ℛся посредством действия оператора (J · n), который является проекцией16Глава 1 Момент импульса и сферические функцииуглового момента на ось вращения,(︁)︁^ · n) ; → ′ = 1 − (J(1.1)здесь и всегда мы будем измерять все операторы углового момента вединицах ~.
Уравнение (1.1) есть не что иное, как определение операторауглового момента для данной системы; мы должны найти преобразованнуюволновую функцию явным образом и сравнить результат с уравнением (1.1)^ Хотя конкретная форма операторадля того, чтобы определить оператор J.углового момента различна для разных систем, его роль как генераторавращений в трёхмерном пространстве приводит к универсальной алгебре.Конечный поворот на угол , сравните (I.4.49) и (I.4.52), может бытьполучен как предел большого числа, → ∞, последовательных малыхповоротов на = / вокруг одной и той же оси.
Оператор конечногоповорота имеет вид(︁(︁)︁ )︁^^^ℛn () = lim →∞ 1 − (J · n)= exp −(J · n) .(1.2)Здесь мы воспользовались тем, что повороты на разные углы вокруг однойи той же оси коммутируют. Повороты сохраняют скалярные произведениямежду векторами состояний в гильбертовом пространстве: амплитуды не^ всего пространства,меняются при любом вращении ℛ^ 2 |ℛ^ 1 ⟩ ≡ ⟨2 |ℛ^ † ℛ^ 1 ⟩ = ⟨2 |1 ⟩.⟨2′ |1′ ⟩ ≡ ⟨ℛ(1.3)Поэтому оператор преобразования (1.2) должен быть унитарным,^ †ℛ^ =1ℛ⇒^† = ℛ^ −1 .ℛ(1.4)^ может быть выражен, уравнение (I.6.112),Любой унитарный оператор как^ = ^ ≡∞∑︁^ ()=0!,(1.5)где экспонента является символическим представлением бесконечного ряда^ в нашем случае, эрмитов.^ унитарного преобразования, Jи генератор ^ ⇒ ℓ^, удобно иметьВ частном случае орбитального момента частицы, Jдело непосредственно с координатным представлением (r) волновой функции частицы.
Результат преобразования (r) при вращении известен: после1.2. Спин17поворота, в точке r значение волновой функции будет таким же, каким^ −1 r, где ℛ^ −1 обозначает обратноеоно было перед поворотом в точке ℛвращение,^^ −1 r). ′ (r) = ℛ(r)= (ℛ(1.6)Как показано в разделе I.4.7, это определяет орбитальный момент стандартным в механике способом (I.4.34).Наше определение поворота (1.6) означает, что мы поворачиваем физический объект («активная» интерпретация).
Вращение системы координат(«пассивная» интерпретация) эквивалентно, с точки зрения преобразований, противоположному повороту системы. Соответствующие операторыконечного вращения были бы сопряжены к нашим операторам (1.2). Эторазличие подчеркивает причину появления обратного преобразования вуравнении (1.6).
Координатная волновая функция (r) есть, в обозначенияхДирака, проекция ⟨r|⟩ вектора состояния |⟩ на локализованное состояние^ повёрнутого|r⟩. Нас интересует координатная волновая функция ⟨r|ℛ⟩^^состояния ℛ|⟩. Но для унитарного преобразования ℛ имеем^ = ⟨ℛ^ † r|⟩ = ⟨ℛ^ −1 r|⟩,⟨r|ℛ⟩(1.7)^ поворачто как раз то, что нам нужно в свете уравнения (1.6). Здесь ℛ−1^ r вращает точку наблюдения вчивает физическую систему, тогда как ℛпротивоположном направлении; эти амплитуды совпадают.1.2. СпинВ общем случае результат вращения не может быть сведён к явномупреобразованию координат (1.6).
Волновая функция может состоять изнескольких компонент, которые подвергаются линейному преобразованиюпри вращении, в дополнение к преобразованию (1.6) их координатной зависимости. Такими компонентами могут описываться различные внутренниесостояния объекта, и обычно эти компоненты называются спиновыми сте^ является векторным генератором (1.1) этого препенями свободы. Если Sобразования, суммарный эффект вращения на волновую функцию системыописывается полным угловым моментом,^=L^ + S,^J(1.8)18Глава 1 Момент импульса и сферические функции^ обобщает одночастичный орбитальный момент ℓ , уравнение (I.4.34), нагде Lпроизвольную систему.
Для многочастичной системы глобальное вращениеодинаково действует на все частицы, так что полный орбитальный моментявляется аддитивной комбинацией одночастичных моментов (полный угловой момент ^j = ℓ^ + ^s частицы состоит из её орбитального и спиновогомоментов)∑︁∑︁∑︁^j , L^=^=^=^s ; ^j = ℓ^ + ^s .(1.9)Jℓ^ , SВ качестве естественного примера рассмотрим векторную функцию V(r).В каждой точке r мы имеем три функции (r), но они являются компонентами одного и того же векторного объекта. При поворотах не толькокаждая из этих функций должна быть преобразована так, как отмеченораньше, но, кроме этого, компоненты преобразуются между собой так,как это происходило бы и для постоянного вектора V без координатнойзависимости.
Найдём явный вид этой комбинации преобразований.^ имеемДля произвольного вращения ℛ^ (, , ) = ′ (ℛ^ −1 , ℛ^ −1 , ℛ^ −1 ),ℛ(1.10)где V′ означает, что компоненты вектора также претерпевают преобразо^ ()вание. Как мы видели в (I.4.88), для бесконечно малого вращения ℛна угол вокруг оси ^ −1 = + ,ℛ^ −1 = − ,ℛ^ −1 = .ℛ(1.11)Это показывает, какие аргументы должны иметь вектора как функциикоординат в правой части уравнения (1.10). С другой стороны, в дополнениек этому параллельному переносу, вектор V сам поворачивается вокруг оси на угол так, что его азимутальный угол 0 становится 0 + (углыс индексом 0 характеризуют направление вектора V, а не радиус-вектораточки r). Тогда′ = |V| sin 0 cos(0 + ) ≈ − ,(1.12)и, аналогично,′ ≈ + ,′ = .(1.13)1.2.
Спин19Результат преобразования компонент (заметим снова, что это преобразование имеет знак, соответствующий активной интерпретации вращения ипротивоположный тому, который имеет преобразование аргументов волновой функции) может быть выражен как действие 3 × 3 матрицы ^ наматрицу-столбец с элементами ,⎛⎞0 − 0^ ()V = (1 − ^ )V, ^ = ⎝ 0 0 ⎠ .ℛ(1.14)0 0 0Задача 1.1Построить матрицы ^ и ^ и показать, что все матричные элементыматриц ^ , = , , , можно записать в виде(^ ) = − .(1.15)Итоговое бесконечно малое преобразование нашей вектор-функции имеетвид^ () (r) = ′ ( + , − , )ℛ= ( + , − , ) − ( + , − , ),(1.16)или, собирая все члены первого порядка по ,(︂)︂^ℛ () (r) = (, , ) − (, , ) − −.
(1.17)В операторной форме это означает, что для векторного поля^ () = 1 − (^ + ^ ) = 1 − ^ ,ℛ(1.18)^ как обычно, имеет вид −[r × ∇]. Конечныегде орбитальный момент L,повороты требуют возведения в экспоненту полного оператора углового^ и L^момента, как в (1.2). Мы должны подчеркнуть, что операторы Sдействуют на различные переменные, и поэтому они всегда коммутируют.20Глава 1 Момент импульса и сферические функции1.3. Мультиплеты углового моментаИспользуя только коммутационные соотношения, можно решить задачуклассификации всех возможных собственных состояний углового момента.Эта процедура может служить прототипом для более сложных ситуаций.Как ясно из элементарных геометрических соображений, результат двухпоследовательных поворотов вокруг различных осей зависит от их порядка.Соответствующие операторы вращения не коммутируют, задача I.4.5.
Коммутационные соотношения углового момента универсальны, независимо отспецифики системы они отражают геометрию трёхмерных вращений.Задача 1.2Докажите, что 3×3 спиновые матрицы ^ вращательного преобразованиякомпонент вектора, уравнение (1.15), удовлетворяют коммутационнымсоотношениям[^ , ^ ] = ^ ,(1.19)аналогичным коммутационным соотношениям для орбитального момента(I.4.37).РешениеПрямой расчёт матричного элемента коммутатора матриц (1.15) с помощью уравнений (I.4.39) даёт[^ , ^ ] = ( ) ( ) − ( ) ( )= − + = − = = ( ) , (1.20)что эквивалентно (1.19).Так как коммутационные соотношения выявляют геометрическую связьмежду поворотами, они должны быть одинаковыми для любого оператора^ спинового или орбитального, одночастичного илиуглового момента J,многочастичного,[^ , ^ ] = ^ .(1.21)Иногда это символически записывается как^ × J]^ = J.^[J(1.22)1.3.
Мультиплеты углового момента21Компоненты импульса ^ коммутируют, так как эти операторы порождаютсдвиги декартовых координат (I.4.52), и результат двух последовательныхсдвигов не зависит от их порядка (сдвиги составляют абелеву группу вотличие от неабелевой группы вращений). Как следует из алгебры (1.21),^ не могут иметь одновременно определённыеразличные компоненты Jзначения.Важнейшим новым элементом, который появляется в этой алгебре, является возможность построить оператор ^ — так называемый операторКазимира, который коммутирует со всеми генераторами ^ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
