1625913942-569e7355de758cf58bf6a6d787d946b7 (536941), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Необходимо подчеркнуть,что такая неопределённость вытекает не из недостатков измерительныхприборов, а из самой сути волновой механики.2.4 Потенциальная стенкаВ качестве первого примера рассмотрим в деталях отражение квантовойволны от сильного потенциального поля. Для простоты возьмём одномерную волну (2.1) и возведём на её пути непроницаемую стенку (рис. 2.1),приложив бесконечно большой потенциал отталкивания:{︂0, < 0; () =(2.20)∞, > 0.В этом случае вероятность обнаружения частицы в правой части пространства > 0 должна быть равна нулю.
В предположении непрерывностиволновой функции Ψ(, ) рассматриваем движение только слева < 052Глава 2 Волновая функция и простейшие задачиU(x)Ψ(x)xРис. 2.1: Стоячая волна с узлом на непроницаемой барьерес граничным условием:Ψ(0, ) = 0.(2.21)В стационарных условиях энергия сохраняется и зависимость волновойфункции от времени по-прежнему является монохроматической:Ψ(, ) = ()−(/~) ,(0) = 0,=~2 2,2(2.22)где > 0 — волновой вектор волны exp(), приходящей от удалённогоисточника слева и формирующей падающий поток (2.13).Условие (0) = 0 не может быть удовлетворено с помощью одной падающей волны. Очевидно, что присутствие барьера создаёт отражённуюволну. Чтобы не нарушать стационарность (энергия постоянна (2.22)),вторичная волна должна иметь волновой вектор ′ той же самой величины(здесь используется вырождение свободного движения по направлению). Водномерном случае единственно возможным вариантом является ′ = −,что соответствует отражению от стенки.
Таким образом, решение являетсясуперпозицией падающей и отражённой волн:() = + − .(2.23)2.4 Потенциальная стенка53Граничное условие на барьере = 0 (2.21) определяет амплитуду отражённой волны = −, и волновая функция может быть записана в виде() = 2 sin().(2.24)Это стоячая волна с распределением вероятности() = 4||2 sin2 (),(2.25)которая имеет узлы в точках = / для целых и пучности междуними (рис. 2.1).Как уже обсуждалось, локализация частицы достигается ценой неопределённости в импульсе, в данном случае из-за наличия отражённой волны.Заметим, что интенсивность в максимумах теперь в четыре раза выше,чем интенсивность падающей волны.
Волновая функция (2.24) всё ещёненормируема, но относительная вероятность для различных значенийкоординаты хорошо определена. Что касается импульса, то две компонентыс и − имеют равные вероятности обнаружения. Однако если детекторсрабатывает только при определенном направлении импульса, напримервправо, то можно выделить компоненту падающей волны и измерить интенсивность ||2 без интерференции. В этом случае мы выделяем толькоодну компоненту полной волновой функции (2.24). Выбор конкретного эксперимента разрушает когерентность суперпозиции и преобразует состояниеобратно в падающую волну, которая в отсутствие отражённой волны неявляется стационарным состоянием.Уравнение непрерывности (2.16) в одномерном стационарном состояниисводится к=0 = const.(2.26)Так как за барьером поток = 0, то он должен быть равным нулю везде.В самом деле, падающий и отражённый потоки сокращаются: = ||2~, = ||2~ ′= − .(2.27)Задача 2.1Рассмотрите трехмерное движение с непроницаемой стенкой в плоскости = 0.
Получите закон Снеллиуса для ненулевого угла между волновымвектором падающей волны и нормалью к стенке.54Глава 2 Волновая функция и простейшие задачиU(x)EaU0EbIxIIРис. 2.2: Потенциальный барьер конечной высоты2.5 Потенциальный барьерЗдесь мы разберём более реалистичный пример с барьером конечнойвысоты. Предположим, например, что электрон с кинетической энергией свободно движется слева ( < 0) и при = 0 испытывает внезапное резкоеповышение потенциала до конечной величины 0 , как на рис.
2.2, где варианты ( ) и ( ) соответствуют значению энергии выше или ниже высотыбарьера. Путь к решению определяется двумя особенностями задачи: встационарной ситуации энергия сохраняется, и поток постоянен.Рассмотрим вариант, когда > 0 (рис. 2.2, случай ). В этом случаеклассическая частица с начальным импульсом преодолела бы барьери прошла бы в правую область с уменьшенным импульсом ′ , величинакоторого дается сохранением энергии:√︂~2 2~2 ′22( − 0 )′==+ 0 ⇒ =< .(2.28)22~2Знак перед квадратным корнем определяется тем, что частица летит вправо.
Тогда справа от барьера волновой вектор и скорость уменьшаются (2.13)по сравнению с тем, что было слева. Недостающая часть потока указываетна наличие волны, распространяющейся влево. Барьер приводит к возникновению отражённой волны, даже если > 0 . Надбарьерное отражение —это чисто неклассическое явление.Решение для случая > 0 является суперпозицией падающей и отражённой волн слева от барьера:() = + − , < 0,(2.29)2.5 Потенциальный барьер55и прошедшей волны,′() = , > 0,(2.30)справа от барьера.
В выражении (2.30) отсутствует распространяющаясявлево волна, так как справа нет изменения потенциала, которое смоглобы вызвать отражение. Решения по обе стороны от барьера должны бытьсшиты. Примем, что и волновая функция (), и её производная (/)=0непрерывны в точке барьера. Позже будет продемонстрировано, что этогарантирует непрерывность потока. Условия сшивки таковы:( − ) = ′ . + = ,(2.31)Эти условия определяют амплитуды отражённой, , и прошедшей, , волнв зависимости от произвольной амплитуды падающей волны:= − ′, + ′=2. + ′(2.32)Для контроля проверим, что в отсутствие барьера, ′ = , волна распространяется без изменений: = и = 0.
Баланс между падающей,отражённой и прошедшей частями потока, =~||2 , =~(−)||2 , =~ ′||2 ,(2.33)выполняется: + =~ 4 2 ′||2 = . ( + ′ )2(2.34)Обычно вводятся коэффициенты отражения и прохождения, которые независят от произвольного значения начальной интенсивности:=| |, =.(2.35)Тогда закон сохранения вероятности (2.34) можно записать в виде + = 1.Задача 2.2(2.36)56Глава 2 Волновая функция и простейшие задачиzBk''+k'β+αSZk''–β–ααxkРис. 2.3: Нейтронное магнитное зеркалоПокажите, что для потенциала на рис. 2.2, вариант , коэффициентыотражения и прохождения будут такими же для волны, падающей справа.Закон сохранения энергии должен учитывать все виды энергии, включаявнутренние степени свободы частицы.
В следующем примере из нейтронной физики у нас кроме кинетической энергии есть взаимодействие спинас магнитным полем − (1.75), где — спиновое гиромагнитное отношение, определяемое в формуле (1.74) через экспериментальное значениемагнитного момента нейтрона (1.72), а проекция спина может приниматьдва значения ±1/2 в единицах ~.Задача 2.3Магнитное зеркало (рис. 2.3). Плоскость = 0 разделяет области < 0без магнитного поля и > 0 с однородным магнитном полем , направленным по оси . Монохроматический пучок нейтронов падает из пространствабез поля с импульсом в плоскости .
Угол падения (между p и осью )равен . Найти углы отражения и преломления для нейтронов со спином,направленным по и против оси . Рассчитать коэффициент отражения дляобеих поляризаций спина.Решение.Стационарное состояние с энергией описывается волновой функциейΨ(r, ) = (r) exp[−(/~)] (2.14). В полупространстве < 0 координатнуюволновую функцию можно записать в виде суперпозиции падающей иотражённой волн:′(r) = (k·r) + (k ·r) ,(2.37)2.5 Потенциальный барьер57где 2 = ′2 = 2/~2 . В отсутствие магнитного поля энергия не зависитот направления спина. Поле при > 0 снимает вырождение состояний с проекциями спина ±1/2, и эти состояния приобретают различнуюмагнитную энергию (1.75): · B) = −(s · B) = ∓−(~ ≡ ∓,2(2.38)где = −1.91 я. м. — экспериментальный магнитный момент нейтрона,(1.72). В полупространстве > 0 есть только преломленная волна:(r) = (k′′ ·r),(2.39)где волновой вектор различен для двух разных поляризаций:~2 ′′2 = 2( ± ).(2.40)Условия сшивки в плоскости = 0 требуют сохранение -компонентыимпульса = ′ = ′′ , в то время как√︃2′′′ = − , = 1 ± 2 2 ≡ ± .(2.41)~ Так как < 0, то угол преломления таков, чтоtan =′′(2.42)и ( = +1/2) > > ( = −1/2).
Подобно (2.32),= − ′′, + ′′=2 + ′′(2.43)и коэффициенты отражения для двух возможных поляризаций равны(︂± =1 − ±1 + ±)︂2.(2.44)˚Для тепловых нейтронов (кинетическая энергия 1/40 эВ, длина волны 1.8 )и магнитного поля величиной 1 Тл коэффициент отражения (2.44) приближается к 1 % при угле падения близком к /2, cos2 ≈ 10−5 . Заметим, чтодля одной из поляризаций в принципе возможно полное внутреннее отра-58Глава 2 Волновая функция и простейшие задачижение, хотя на практике это реализуется только в случае ультрахолодныхнейтронов. Потенциальная энергия в среде (в данном случае — магнитного происхождения) играет ту же роль, что и показатель преломлениядля распространения света.2.6 Проникновение под барьерВернёмся к барьеру (рис.
2.2) и рассмотрим движение слева с энергией ниже высоты барьера 0 (вариант b). Это можно рассматривать какмодель металла с работой выхода = 0 , если электрон поглощает фотонс энергией ~, которой недостаточно для фотоэффекта (1.5).Из набранного опыта нам известно, что слева от барьера у нас естьпадающая волна вместе с отражённой волной и волновая функция определяется выражением (2.29).
Классические частицы на границе = 0 былибы отражены. Однако здесь имеет место новое явление: волна частичнопроникает под барьер, что абсолютно запрещено в классической механике.Формально вычисленный волновой вектор слева > 0 является мнимым:√︂2′ =±( − 0 ) = ±,(2.45)~2где вещественная величина > 0 определяется как√︂2=(0 − ).~2(2.46)Волновая функция в классически запрещённой области > 0 имеет видexp(±). Нет никаких физических причин для бесконечного роста интенсивности за барьером, поэтому физическим является только экспоненциально затухающее решение:() = − , > 0.(2.47)Таким образом, по аналогии с оптикой в случае полного внутреннего отражения волна проникает в классически запрещённую область (электроныс энергией, недостаточной для вылета из металла, могут немного выглянутьнаружу) и глубина проникновения может быть оценена как≃1.(2.48)2.7 Туннелирование59Можно сшить решения (2.29) и (2.47) таким же образом, как и в случаенадбарьерного движения. Мы можем просто использовать решение (2.32) сподстановкой ′ = , чтобы получить= − , + =2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
