1625913942-569e7355de758cf58bf6a6d787d946b7 (536941), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Подобные процессымогут определяться по-разному. Будем считать, что процесс сходится к3.3 Дельта-функция⋆073b/4 b/2bxРис. 3.3: Предельный переход, определяющий дельта-функцию = 0 симметрично с обеих сторон, т. е. мы строим чётную функцию:() = (−).(3.18)Дополнительно дельта-функция нормирована, согласно∫︁ ( − 0 ) = 1,(3.19)по любому интервалу, включающему = 0 (фактически это частныйслучай выражения (3.17)). Если один из пределов интегрирования (3.19)совпадает с 0 , то результатом интегрирования будет 1/2 из-за симметрии-функции.Для нашей цели можно использовать различные процессы. Самый простой способ заключается в рассмотрении последовательности прямоугольников с точкой 0 в середине, шириной и высотой 1/ (рис. 3.3).
Если +1 = /2, то предельный → ∞ прямоугольник имеет бесконечнуювысоту и исчезающе малую ширину с фиксированной под прямоугольником площадью равной единице (3.19). В пределе этот прямоугольник подинтегралом (3.17) «вырезает» значение любой регулярной функции в точкесингулярности.Среди других возможностей упомянем последовательность функцийГаусса. Распределение Гаусса (; 0 , ), которое играет существеннуюроль в статистическом анализе, имеет вид(; 0 , ) = √12 22 /2 2−(−0 ).(3.20)74Глава 3 Связанные состоянияЭто колоколообразная кривая, которая везде положительна, симметрична относительно центра = 0 и нормирована на единицу для любыхзначений 0 и ширины :∫︁ ∞ (; 0 , ) = 1.(3.21)−∞Поэтому функцию Гаусса можно интерпретировать как нормированное распределение вероятности переменной . Из-за симметрии среднее значение ,которое мы отмечаем угловыми скобками, определяется математическиможиданием:∫︁ ∞⟨⟩ ≡ (; 0 , ) = 0 ,(3.22)−∞а квадрат отклонений от (вариация) даётся параметром ширины :∫︁ ∞∫︁ ∞22⟨(−0 ) ⟩ ≡ (−0 ) (; 0 , ) = 2 (; 0, ) = 2 .
(3.23)−∞−∞При → 0 распределение Гаусса становится очень узким и очень высокимв центре, таким образом приближаясь к дельта-функции с правильнойнормировкой:lim (; 0 , ) = ( − 0 ).→0(3.24)Ещё два важных представления дельта-функции,∫︁ ∞1 (−0 ) = 2(−0 ), lim= (−0 ), (3.25)→0 ( − 0 )2 + 2−∞появятся в дальнейших лекциях.Нам нужно научиться работать с дельта-функцией. Для изменения масштаба переменной используется следующее простое правило:() =().||(3.26)3.4 Эволюция волновой функции со временем75Действительно, подставляя = , получаем(︂ )︂∫︁∫︁ 1 () = ()() = −−(3.27)∫︁ 11 (0)= (0) () = (0) s() =.||−Если функциональный аргумент () в (()) имеет несколько простыхкорней , ( ) = 0, то в непосредственной близости от = функция ()может быть приближённо представлена как (/) (− ).
Следовательно,используя (3.26), получаем:(()) =∑︁ ( − ).|(/) |(3.28)Из выражения∫︁ ()() = [ ()]→0(3.29)мы можем принять, что() = 0,(3.30)где левая часть рассматривается как оператор, применяемый к интегрированию функции (), которая не имеет особенности при → 0 типа ∼ 1/или сильнее.3.4 Эволюция волновой функции со временемПолнота набора стационарных волновых функций позволяет решить проблему развития произвольного начального состояния во времени. Начнёмс волновой функцией Ψ(, = 0) = (). В соответствии с формулой (3.13)начальное состояние представляет собой суперпозицию нормальных мод () с амплитудами , определяемыми из условий ортогональности (3.14):∫︁ = ′ * (′ )Ψ(′ , 0).(3.31)Каждая нормальная мода — это отдельная гармоническая составляющая,которая эволюционирует во времени в соответствии со своей собственной76Глава 3 Связанные состояниячастотой = /~.
Поэтому временное развитие при > 0 определяетсяинтерференцией всех имевшихся (возбуждённых вначале) гармоник:∑︁Ψ(, ) = ()−(/~) .(3.32)Аналогично (2.19) коэффициенты волновой функции в энергетическомпредставлении должны быть интерпретированы как амплитуды вероятности нахождения системы в стационарном состоянии , так что соответствующая вероятность равна = | |2 .Задача 3.1∫︀Покажите, что нормировка состояния |Ψ(, )|2 сохраняетсяво вре∫︀мени, и если начальная нормировка была определена как |Ψ(, 0)|2 = 1,то величины нормированы как вероятности:∑︁∑︁ =| |2 = 1.(3.33)Таким образом, вероятностная интерпретация может быть использованакак в пространственном, так и в энергетическом представлениях волновыхфункций. Оба эти представления несут равноценную информацию.Задача 3.2Частица в бесконечно высоком потенциальном ящике шириной в начальный момент представлена волновой функцией Ψ(, = 0) = sin3 (/).Найти волновую функцию в произвольный момент времени > 0.
Вернётсяли частица в исходное состояние в какой-то определённый момент ?Полезно ввести пропагатор или функцию Грина (, ; ′ , 0), котораяпреобразует начальную волновую функцию при = 0 в функцию, соответствующую произвольному моменту времени :∑︁(, ; ′ , 0) = ()* (′ )−(/~) .(3.34)Подставив это определение и амплитуды (3.31) в (3.32), можно записатьзакон эволюции во времени как∫︁Ψ(, ) = ′ (, ; ′ , 0)Ψ(′ , 0).(3.35)3.4 Эволюция волновой функции со временем77Начальное состояние получается из этого выражения автоматически приподстановке = 0, так как из (3.34) и (3.16) следует, что(, 0; ′ , 0) = ( − ′ ).(3.36)При отсутствии зависящих от времени внешних сил выбор начальногомомента времени является произвольным. В качестве начального моментавремени можно выбрать ′ , тогда функция Грина будет зависеть толькоот разности времён − ′ :∑︁′(, ; ′ , ′ ) = ()* (′ )−(/~) (− ) ,(3.37)∫︁Ψ(, ) =′ (, ; ′ , ′ )Ψ(′ , ′ ).(3.38)Здесь интегрирование учитывает интерференцию волн, приходящих в точку в момент , от всех возможных источников ′ в фиксированный начальныймомент ′ (интегрирование по ′ отсутствует).Задача 3.3Внезапное возмущение.
Частица находилась в основном состоянии потенциального ящика, как на рис. 3.1. В момент времени = 0 правая стенкабыла мгновенно перенесена из = в = > в соответствии с рис. 3.4.Какова вероятность того, что при > 0 в новом ящике частица окажется ввозбуждённом состоянии? Обсудите специально случай = 2.Решение.Внезапное изменение параметров не меняет волновую функцию Ψ(, 0),которая служит отправной точкой для будущей эволюции (3.32). Однакоэто развитие определяется теперь новыми условиями. Для нахождения амплитуд нам нужно разложить начальную волновую функцию 1; старая ()по стационарным волновым функциям ; новая () нового ящика:∫︁ =* ;новая ()1; старая ()0После интегрирования получаем√2 sin() =, = .22 −12=√∫︁ sin0(︁ )︁sin(︁ )︁.(3.39)(3.40)78Глава 3 Связанные состоянияU0abxРис. 3.4: Иллюстрация для задачи 3.3Un=20n=1a2axРис.
3.5: Вариант = 2, задача 3.3Вероятность остаться на основном уровне в новом потенциале равна1 = |1 |2 =4 sin2 (). 2 (2 − 1)2(3.41)Вероятность оказаться в возбуждённом состоянии = 2, 3, ... равнавозбуждения = 1 − 1 .(3.42)В случае, когда = 2, = 1/2, (рис. 3.5) вероятность возбуждения: = | |2 =2 sin2 (/2). 2 [(2 /4) − 1]2(3.43)В этом случае возбуждаются состояния только с нечётными . Для чётных значений новая функция является нечётной по отношению к новойсередине ящика = , и, соответственно, там находится узел. Поэтому такого рода функции также удовлетворяют граничным условиям для старого3.5 Мелкая яма и квантовое гало79xE=–ε–U0Рис.
3.6: Потенциальная яма конечной глубиныящика и не могут возбудиться, так как являются ортогональными к начальной волновой функции, поскольку интегрирование проводится в пределахстарого ящика. Случай = 2 является единственным исключением, таккак здесь новая функция представляет собой просто антисимметричноепродолжение до новой стенки старого основного состояния (рис. 3.2 и 3.5).Раскрытие неопределённости в (3.43) даёт2 =1= 50 %,2(3.44)в то время как 1 = 32/9 2 = 36 %.3.5 Мелкая яма и квантовое галоТеперь перейдём от ящика с бесконечными стенками к более реалистичному примеру притягивающей потенциальной ямы конечной глубины 0 .Пусть потенциал за её пределами выходит на одинаковый уровень с обеихсторон. Примем это значение потенциала за ноль энергетической шкалы(рис.
3.6). Вертикальная пунктирная линия в середине колодца аналогичнорис. 3.2 соответствует симметричному выбору начала координат.Задача 3.4Покажите, что яма на рис. 3.6 содержит как минимум одно связанноесостояние для любой ширины и глубины 0 .Решение.Волновая функция основного состояния с энергией = − должнаэкспоненциально затухать под барьерами с обеих сторон (классически80Глава 3 Связанные состояниязапрещённая область):{︂() = , < 0,−(−) , > ,√︂=2.~2(3.45)Внутри ямы должна существовать стоячая волна аналогично (3.1):√︂2(0 − )() = + − , =.(3.46)~2Выполняя сшивку на границах, мы получаем выражение, которое определяет энергию :(︂ )︂.(3.47)= tan2Это уравнение всегда имеет по крайней мере одно положительное решение.
В пределе мелкой ямы,√︀ ≪ 1, уровень очень слабо связан ≪ 0 . Длямелкой ямы ≈ 0 ≡ 20 /~2 и0 ≈,2≈02 2=(0 )2.2~2(3.48)Это согласовано с приближением ≪ 0 , если≡0 2≪ 1.~2(3.49)Выражение (3.49) даёт критерий мелкой ямы или слабого притяжения.Результат согласуется с требованием 0 ≪ 1 и показывает, что пространственный размер волновой функции в слабо связанном состоянии значительно больше, чем размер потенциальной ямы. Волновая функция нелокализована внутри ямы: её длина локализации (2.48) удовлетворяет требованию 1/ ≫ . Как упоминалось выше, системы, в которых хвостыволновой функции связанного состояния тянутся далеко в классическизапрещенную область, называются теперь галообразующими (halo systems).Есть много примеров подобных систем в ядерной и молекулярной физике.Техническая проблема по удовлетворению граничных условий задачи 3.4может быть упрощена путём выбора начала координат оси таким образом,чтобы края ямы соответствовали значениям = ±/2.
В этом случае потенциальная яма становится симметричной относительно инверсии → (−).3.5 Мелкая яма и квантовое гало81Можно ожидать, что решения в этом случае будут иметь определённуючётность, подобно тому, что мы видели для решений в потенциальномящике. Тогда вместо уравнений (3.45) и (3.46) можно искать решение ввиде не имеющей узлов чётной волновой функции:() = ± ,|| >,2(3.50)и() = cos(),|| <,2(3.51)где и имеют те же значения, что и в (3.45)–(3.46).
Теперь достаточновыполнить сшивку только с одной стороны.Задача 3.5Частица помещается в потенциальную яму конечной глубины 0 рис. 3.6.Ширина ямы определена таким образом, что в ней существует только односвязанное состоянии с энергией связи = 0 /2. Вычислите вероятноститого, что частица находится в классически разрешённой и классическизапрещённой областях.Решение.В наших условиях значительное упрощение следует из того факта, что:√︂00===.(3.52)2~2При симметричного выборе координат сшивка на одной из границ, например, = /2, даёт(︂ )︂(︂ )︂−/2 cos= , − sin= −−/2 .(3.53)22Отношение этих двух уравнений приводит к соотношению (3.47) междупараметрами:(︂ )︂tan=1 = .(3.54)2282Глава 3 Связанные состоянияДоля вероятности, приходящаяся на запрещённую область (за пределамипотенциальной ямы), равна∫︁ ∞2 −o = 2 2 −2 = .(3.55)/2В силу условий сшивки (3.53) и (3.54) это равнозначно:(︂ )︂22o =cos2=.22(3.56)Аналогично доля вероятности, приходящаяся на внутреннюю часть, равна∫︁i = 2/2 2 cos2 () =0)︁ 2 (︁ 2[ + sin()] =+ 1 .
(3.57)22 2Отношение этих вероятностей равноo2,=i2+(3.58)и, используя o + i = 1, мы приходим кo =2= 0.28,4+i =2+= 0.72.4+(3.59)Доказательство существования связанного состояния в задаче 3.4 было основано на приближении ≈ 0 , для которого требовалось, чтобы0 ≫ . Выполним это неравенство в предположении, что глубина 0 → ∞,в то время как ширина стремится к нулю → 0 таким образом, что площадь потенциальной ямы 0 ≡ сохраняется.
Этот предел соответствуетпритягивающему дельта-потенциалу (рис. 3.7): () = −().(3.60)В соответствии с (3.48) этот потенциал для любого значения > 0 имеетодно связанное состояние с энергией связи= 2.2~2(3.61)3.5 Мелкая яма и квантовое гало831.0Ψ=exp (–κ |x|)0.5–1.00.50.5–0.51.0U=–g δ (x)–1.0Рис. 3.7: Притягивающий дельта-потенциал и волновая функция связанного состоянияВ этом случае волновая функция состоит из двух симметрично затухающихэкспонент() = −|| ,=;~2(3.62)вся жизнь связанного состояния проходит снаружи области притяжения.Отметим, что вследствие бесконечной величины потенциала при = 0у функции (3.62) в этой точке происходит скачок производной: ′ ( − 0) − ′ ( + 0) = 2(0),(3.63)хотя сама функция непрерывна.Только одномерные ямы с симметричными краями, как на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
