1625913942-569e7355de758cf58bf6a6d787d946b7 (536941), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Если частицы имеют ненулевойспин или другие внутренние квантовые числа, которые не влияют на92Глава 3 Связанные состоянияэнергию, то плотность уровней должна быть умножена на внутреннийфактор вырождения , равный для спина числу вырожденных проекцийспина 2 + 1 (статистический вес). Плотность уровней играет одну изосновных ролей в квантовой статистической механике.Задача 3.9Найдите плотность уровней для фотонов в полости.Решение.Используя закон дисперсии = и = 2 (для данного волновоговектора допустимы только поперечные поляризации), получаем() =2.
2 ~3 3(3.92)3.8 Периодические граничные условияДля получения плотности уровней мы использовали нулевые граничныеусловия на стенках ящика. Для больших систем результат не зависит от конкретных граничных условий. Для рассмотрения движения электронов илидругих объектов в макроскопическом твёрдом теле часто бывает удобно использовать периодические граничные условия. А именно, мы предполагаем,что наш образец с размерами , и дополняется со всех сторон его точными копиями. Левый край нашей «клетки» является правым краем соседнейобласти, который должен повторить правый край оригинальной клетки.Поэтому волновая функция повторяется с периодами , и . Например,она не меняется при сдвиге вдоль оси : ( + ) = ().
Для плоскойволны, () = exp[(/~) ], это означает, что волна пересекает границубез изменений:(/~) (+) = (/~) =2~.(3.93)Кажется, что это квантование даёт в два раза меньшее число уровней, чемрезультат (3.4) в случае ящика. Но для экспоненциальной функции положительные и отрицательные значения различимы, что и восстанавливаетправильное общее число состояний. Более того, в данном случае числосостояний на самом деле больше на одно, поскольку также допускается = 0.
Тем не менее для очень большого общего количества состояний эта3.8 Периодические граничные условия93разница не имеет значения. В общем случае изменение граничных условийменяет количество уровней не более, чем на один.Периодические граничные условия после перехода к интегрированиювместо суммы по дискретным компонентам момента,∫︁∑︁3 ,(3.94)⇒3(2~)pприводят к такой же плотности уровней, что и в (3.90). В случае дискретного квантования в ограниченном объёме плоская волна может бытьнормирована в соответствии с1p (r) = √ (/~)(p·r) .(3.95)При этой нормировке плоские волны с различными значениями квантованного импульса ортогональны.
Аналогично (3.11)∫︁3 p* ′ (r)p (r) = p′ p ,(3.96)где векторный символ Кро́некера подразумевает равенство всех компонентдвух соответствующих дискретных векторов. Полнота набора плоских волнв объёме (3.16) даёт∑︁pp (r)p* (r′ ) =1 ∑︁ (/~)p·(r−r′ )= (r − r′ ), p(3.97)где координаты r и r′ предполагаются внутри исходной клетки. В пределебесконечного объёма рецепт (3.94) даёт∫︁3 (/~)p·(r−r′ )= (r − r′ ),(3.98)(2~)3представление (3.25) для трёхмерной дельта-функции(r − r′ ) ≡ ( − ′ )( − ′ )( − ′ ).(3.99)Использование периодических граничных условий возможно, даже если мы рассматриваем задачу в бесконечном пространстве. В этом случаебольшой объём является не физическим объёмом, а удобным математическим инструментом, позволяющим избежать интегрирования в бесконечных94Глава 3 Связанные состоянияa0bРис.
3.12: Квазиклассическая волновая функция в связанном состоянии междуточками поворотапределах и правильно сосчитать квантовые уровни. Вычисления можнопроверить на предмет того, что физические результаты не должны зависетьот искусственно введённого объёма .3.9 Считаем уровни в гладком потенциалеЕсли частица имеет связанные состояния не в свободном пространствевнутри ящика, а в потенциале (r), то также можно, обобщая наш предыдущий подход, оценить плотность уровней. Предположим, что потенциалдостаточно гладкий и слабо меняется на размерах порядка длины волнычастицы (рис. 3.12). Позже мы дадим более количественные оценки применимости этого подхода. Очевидно, что такой подход лучше работает длябольших квантовых чисел, когда энергия частицы растёт, а её длина волныстановится короче.
Это, как мы уже отмечали, область квазиклассическогодвижения или аналог геометрической оптики.В этой ситуации мы можем предположить, что элемент фазового объёма3 3 достаточно мал для того, чтобы классическая энергия частицы(p, r) =p2+ (r)2(3.100)была практически константой в пределах этого элемента. В тоже времярассматриваемый объём должен содержать несколько длин волн, определяемых локальными значениями импульса. Тогда по аналогии с (3.94) этотэлемент соответствует числу 3 3 /(2~)3 квантовых состояний, а полная3.9 Считаем уровни в гладком потенциале95плотность уровней определяется обобщением выражения (3.90):∫︁ 3 3 (︁)︁ () =−(p,r).(2~)3(3.101)При отсутствии потенциала в области интегрированияэнергия (3.100) не∫︀зависит от координаты, поэтому интеграл 3 сводится к объёму и мывозвращаемся к выражению (3.88).Откладывая интегрирование по координатам, мы может сначала вычислить локальную плотность уровней, соответствующую данной координате:∫︁)︁3 (︁−(p,r).(3.102)(r, ) =(2~)3Эта величина может быть вычислена так же, как было сделано ранее (3.91),с помощью замены полной энергии на локальную кинетическую:(︂ 2 )︂1 √︀1= 2 3 23 [ − (r)].
(3.103)(r, ) = 2 32 ~ kin (,r)=− (r) 2 ~Это квазиклассическое выражение обращается в нуль в классической точкеповорота, где = (r). Мы не можем продолжить эту плотность уровнейдалее в классически запрещённую область, где (r) > . Однако есличастью плотности снаружи ямы можно пренебречь (это можно сделать невсегда), то полная плотность уровней может быть найдена интегрированием (3.103) по области классического движения:∫︁() =3/23 (r, ) = √2 2 ~3∫︁3 √︀ − (r).(3.104)> (r)Задача 3.10Найти квазиклассическую плотность уровней для частицы в поле изотропного трёхмерного гармонического осциллятора () =Решение.1 2 2 .2(3.105)96Глава 3 Связанные состоянияПлотность уровней растёт ∼ 2 , как и в случае фотонов (3.92):() =2.2(~)3(3.106)Задача 3.11Обобщите результат (3.106) на случай анизотропного трёхмерного осциллятора (r) = 2 2( + 2 2 + 2 2 ).2 (3.107)Решение.Воспользуемся растянутой системой координат = , = , , , инайдём() =2.2~3 (3.108)Дальнейшее интегрирование плотности уровней по энергии даст полноечисло связанных состояний (3.86).
Например, предполагая, что притягивающий потенциал является отрицательным везде и на больших расстоянияхасимптотически стремится к нулю, мы можем оценить полное число связанных состояний интегрируя () по всем дозволенным отрицательнымэнергиям:3/2 = √2 2 ~3∫︁3∫︁√0 (r)√︀ − (r) =23/23 2 ~3∫︁3 [− (r)]3/2 .(3.109)Задача 3.12Предполагая, что потенциал () имеет центральную симметрию (нетзависимости от углов) и асимптотическое поведение ∼ 1/ , > 0 при → ∞, найдите, является ли полное число связанных состояний конечным.Решение.3.9 Считаем уровни в гладком потенциале97∫︀Ответ зависит от поведения интеграла 3 −(3/2) на больших . Интеграл расходится для < 2.
Тогда число уровней бесконечно (потенциалспадает слишком медленно, как, например, в случае кулоновского потенциала, = 1, спектр становится бесконечно плотным вблизи порога нулевойэнергии = 0, а соответствующие волновые функции имеют очень большой размер). Однако это не квантовое гало, так как волновая функцияспадает быстрее, чем потенциал, и движение происходит в классически разрешённой области. Для > 2 полное число связанных состояний конечно.Мир — это изменение. . .Маркус Авре́лий Антони́н,«Размышления IV.3».Глава 4Динамические переменные4.1 Импульсное представлениеРеальный физический источник не в состоянии создать чистый монохроматический поток частиц. Реальные квантовые волны всегда имеютнекоторый разброс импульса Δ и соответствующий разброс по энергии.Необходимо обратить внимание, что мы обсуждаем волновую функцию одной частицы, а не энергетический разброс среди частиц в пучке;«пучок» используется здесь только для того, чтобы была возможностьповторять эксперимент при тех же условиях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
