1625913942-569e7355de758cf58bf6a6d787d946b7 (536941), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Смещённый оператор играетту же самую роль по отношению к смещённой функции, что и начальныйоператор по отношению к прежней функции.120Глава 4 Динамические переменныеЗадача 4.8Вычислите^^^()= −ℓ ^ℓ ,^^^ () = −ℓ ^ℓ(4.85)и найдите геометрический смысл преобразования.Решение.С коммутатором (4.35) указанный выше метод приводит к системе уравнений:^= ^ ,^^= −(4.86)с начальными условиями^(0)=^,^ (0) = ^.(4.87)Решение представляет собой преобразование вращения:^ =^ cos + ^ sin ,^ = ^ cos − ^ sin ,(4.88)и координатное представление (4.64) находится в согласии с правилом (4.66): = cos( − ), = sin( − ).(4.89)Задача 4.9Вычислите^^^()= −ℓ ℓ^ ℓ (4.90)и объясните геометрический смысл результата.Решение.Если дважды использовать коммутатор (4.37) и процедуру, изложеннуюв задаче 4.8, и решить простое дифференциальное уравнение, то можнополучить^()= ℓ^ cos + ℓ^ sin .(4.91)4.8 Преобразование операторов121Сходство с предыдущей задачей позволяет выявить простой геометрический смысл этого преобразования — вращение вокруг оси .
Моментимпульса преобразуется здесь как обычный вектор.122Глава 4 Динамические переменныеЗадача 4.10^ которые коммутируют с иха) Докажите, что для операторов ^ и ,^^^^ = [,^ ]^ = 0, справедливо^коммутатором [, ] ≡ , так что [, ]следующее тождество:^^^ ^^+ = −/2 .(4.92)б) Докажите более общий результат^^^ ^ ] + ^ − = ^ + [,1 [︁ ^ ^ ^ ]︁ 1 [︁ ^ [︁ ^ ^ ^ ]︁]︁, [, ] +, , [, ] + · · · . (4.93)2!3!Решение.а) Рассмотрите оператор, содержащий вспомогательный параметр :^^ ^^^ () = − (+) − ,(4.94)вычислите ^ / и покажите, что решение имеет следующий вид:2^^ = −( /2) .(4.95)б) Сделайте подстановку ^ ⇒ ^ и разложите в степенной ряд по .Дополнительная литература: [6–8].Это, по сути своей, совершенно новаяситуация, не имеющая аналогов нив одном из классических направленийфилософской мыслиДжулиан Швингер, «Квантоваямеханика»Глава 5Соотношения неопределённостей5.1 Соотношение неопределённости в волновой механикеМы видели в предыдущей лекции, что в состоянии свободного движенияс определённым значением импульса плотность вероятности нахождениячастицы в точке (r, ) не зависит от координат и времени.
Детектор, которыйрегистрирует координаты и таким образом локализует частицу, можетсработать равновероятно в любой момент, как если бы частицы былиразмазаны по всему пространству. С волновой точки зрения мы имеембесконечную в пространстве и времени стационарную волну. Как иногдаговорят (хотя это не лучшее выражение), детектор вызывает «коллапс»волны в точку. Измерение — это оператор, который фиксирует положениечастицы, преобразуя плоскую волну в локализованное состояние. В концекурса мы вернёмся к физике процесса измерения.Как мы подчеркивали ранее, плоская волна, которая не может бытьнормирована, является идеализацией реального эксперимента, где пучокчастиц, созданный источником и сформированный внешними полями, направлен в экспериментальную зону, а частицы регистрируются в детекторекак отдельные события.
Реальный пучок всегда имеет конечную длительность в пространстве и времени. Рассмотрим волновой фрагмент какимпульс определённой периодичности, но конечной длины (волновой цуг,или волновой пакет). С помощью специального затвора, который отрезаету волны хвосты, мы создали сигнал вида:{︂ − 0 , || < /2,Ψ() =(5.1)0,|| > /2.Здесь мы записали комплексное выражение, но далее используем его вещественную часть, изображённую на рис. 5.1. Момент прохождения волны124Глава 5 Соотношения неопределённостейReψ(t)t–τ2τ2Рис. 5.1: Волновой цуг выраженияφωΔωωРис. 5.2: Спектральный анализ сигнала, показанного на рис.
5.1определён с точностью Δ ∼ . Из-за конечной длительности волновойцуг не эквивалентен монохроматической волне определённой частоты 0 .Гармонический анализ даёт спектр сигнала, показанный на рис. 5.2,(︁)︁∫︁ ∞∫︁ /22 sin ( − 0 ) /2Φ() = Ψ() = (−0 ) =. (5.2) − 0−∞− /2Этот спектр имеет высокий максимум при = 0 и слабые вторичныемаксимумы с амплитудами, уменьшающимися обратно пропорциональнорасстоянию от центра шкалы частот.
Высота главного максимума равна ,в то время как ширина спектрального интервала Δ = −0 , содержащегонаибольшие амплитуды Фурье-гармоник, может быть оценена как расстояние до первого нуля, Δ ∼ 2/ . С увеличением продолжительности спектр всё больше концентрируется вблизи центра, при этом площадь подспектральной кривой сохраняется:∫︁ ∞∫︁ ∞sin() Φ() = 2= 2(5.3)−∞−∞(последний интеграл, полученный с помощью замены переменных == ( − 0 ) , равен , как это легко получить интегрированием с помощьювычетов).
В пределе → ∞ мы приходим к бесконечно узкому и беско-5.1 Соотношение неопределённости в волновой механике125нечно высокому спектру с фиксированной нормировкой. Это полностьюсоответствует определению дельта-функции, так что мы получили ранееобещанное представление (3.25), которое эквивалентно также (4.9):∫︁ ∞ (−0 ) = 2( − 0 ).(5.4)−∞Только в пределе бесконечного мы получим монохроматическую волнуопределённой частоты.Эти соображения дают типичный пример дополнительности, возникающей при рассмотрении классических величин, которые в квантовоймеханике не могут иметь определённые значения одновременно. Гармонический анализ позволяет выявить такие дополнительные величины, например:длительность и частота, пространственный размер и импульс.
Из нашегопримера мы видим, что их неопределённости связаны выражениемΔ · Δ ∼ 1,(5.5)где мы указываем только порядок величины оценки, потому что мы покане точно сформулировали, что такое неопределённости Δ и Δ. В полнойаналогии с этим примером из координатного Фурье-анализа мы моглибы получить неопределённость произведения пространственной ширинысигнала и разбросом его волнового вектора:Δ · Δ ∼ 1.(5.6)В конечном итоге, переводя эти соотношения на язык частиц, мы можемзаписать соотношения неопределённостей между энергией и временемпролёта:Δ · Δ ∼ ~(5.7)или координатой и импульсом:Δ · Δ ∼ ~.(5.8)Они непосредственно вытекают из корпускулярно-волнового дуализма, выраженного преобразованием Фурье, и должны быть интерпретированы какневозможность создания состояния с точно фиксированными значениямикоординаты и сопряжённого импульса.
Такие состояния не существуютв природе, и этот факт не зависит от точности наших измерительных126Глава 5 Соотношения неопределённостейScreendISIIaxРис. 5.3: Попытка выделить щель в эксперименте с двумя щелямиинструментов. Отметим ещё раз, что постоянная Планка всего лишь масштабный фактор, в то время как соотношение неопределённостей являетсятипичным волновым явлением, которое имеет свои аналоги в оптике, акустике и других областях, связанных с физикой волн, но не в классическоймеханике частиц. Как мы увидим позже, существует нижний предел произведения неопределённостей (5.8).5.2 Простые примерыТипичные примеры можно найти во всех учебниках (см., например,лекции [9]). Исторически обсуждения этой темы известными физикамисыграли важную роль в принятии и понимании квантовой механики.
Нижебудет показано, что соотношения неопределённостей делают невозможным наблюдение квантовой интерференции различных путей эволюцииодновременно с фиксацией конкретной траектории.Рассмотрим схему эксперимента с двумя щелями (рис. 1.1). Добавимк классической схеме детектор (рис. 5.3), например, легкое зеркало, котороепозволит определить по его слабой отдаче, какая щель была использована частицей в отдельном событии. Тогда в соответствии с принципомнеопределённости интерференционная картина будет полностью искажена.Аргумент состоит в следующем.
Размер детектора в направлении распространения должен быть малым, иначе он будет также регистрироватьчастицы, проходящие через другую щель. Например, установим его размерΔ < /2, где — расстояние до экрана. Но детектор, как квантовая система, также подвержен принципу неопределённости. Ограничение на егоположение ведёт к ограничению на его импульс: Δ ∼ ~/Δ ∼ 2~/. Что-5.2 Простые примеры127xpxpdφyРис. 5.4: Схема дифракциибы выполнить задачу регистрации частицы, измеренный импульс отдачи детектора должен превышать его неопределённость, > Δ . Импульсотдачи возникает при взаимодействии детектора с частицей при её регистрации. Поэтому импульс частицы должен измениться по крайней мерена Δ ∼ > 2~/.
После этого частица движется к экрану. На этом пути(большем чем /2) фаза соответствующей волны де Бройля приобретаетнеопределённость больше, чем Δ · (/2) = (Δ/~) · (/2) ∼ 1 радиан. Этополностью разрушает интерференционную картину.Задача 5.1Обсудите с точки зрения соотношения неопределённостей дифракциюволны на отверстии в непрозрачном экране (рис. 5.4).Решение.При размере отверстия мы имеем Δ ∼ , в то время как угол дифракции ∼ /, где ≪ — длина волны. Тогда неопределённостьволнового вектора (компонента ⊥ , перпендикулярная к падающему пучку)составляет Δ⊥ ∼ ∼ 1/, или Δ⊥ Δ ∼ 1.Однако такое доказательство не является полностью убедительным.Было бы естественно ожидать, что неопределённость компоненты ⊥ изза дифракции ограничена сверху длиной исходного волнового вектора,Δ⊥ = sin (рис.
5.4), и, следовательно, Δ⊥ 6 . Поскольку Δ 6 ,неравенство выглядит как Δ⊥ 6 . В отличие от уравнения (5.8) его можно сделать сколь угодно малым за счёт уменьшения ширины щели . Чтобы128Глава 5 Соотношения неопределённостейпонять, что происходит, мы должны разобраться немного глубже.
Еслиперед щелью, < 0, где ось перпендикулярна плоскости экрана, у насесть плоская волна , то после щели, > 0, в плоскости имеем также-компоненту импульса, ≡ ̸= 0. Так как в стационарной ситуацииполная энергия сохраняется, то компонента ≡ меняется и можетбыть найдена из равенства 2 + 2 = 2/~2 = 2 . Соответствующаяволновая функция после щели зависит от двух переменных:(︁ √)︁ +(, ) = + = 2 − 2 .(5.9)Здесь мы не можем утверждать, что || < .
Если бы это было так, товолна бы просто распространялась под углом к оси , с tan = /. Ноэто не дало бы полный набор возможных решений.√︀Мы должны принимать√︀во внимание также вариант, где || > , тогда 2 − 2 = ± 2 − 2 .Физически решение не может расти бесконечно, но выбирая знак +, мыприходим к функции, экспоненциально падающей с увеличением расстояния от щели (затухающая волна).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
