1625913942-569e7355de758cf58bf6a6d787d946b7 (536941), страница 20
Текст из файла (страница 20)
После того, как виндивидуальном акте измерения получена величина переменной , мыможем потерять возможность иметь определённое значение первоначальнофиксированных переменных , даже если они не изменялись в течениепредыдущей невозмущённой эволюции.Измерения величин, связанных взаимными неопределённостями, являются дополнительными или комплементарными. Интерференционная картина на экране в эксперименте с двумя щелями свидетельствует о волновойприроде света и материи. Однако взаимодействие дифрагирующего пучка сатомами детектора происходит квантовым образом, т. е. атомы поглощаюти испускают свет дискретными порциями — фотонами. Интерференционныеполосы появляются после многих актов взаимодействия фотонов с атомамиэкрана.
Для достаточно интенсивных пучков быстро возникает стационарное распределение максимумов и минимумов. У слабых пучков отдельныевзаимодействия фотонов дают такую картину постепенно путём случайного появления в разных точках. Это означает, что волновые свойстваявляются присущими отдельным частицам, в то время как они наблюдаются статистически в различных точках во многих актах взаимодействия,которые создают состояния, локализованные на экране.
Продвигаясь ещёдальше, можно предложить интерпретацию квантовой теории, вообще избегая понятия частиц [10]. Здесь мир управляется волнами симметрии,а взаимодействие с детектором изменяет симметрию, в то время как отдельные щелчки детектора случайны. Я скептически отношусь к этой идее,потому что природа макроскопического детектора не ясна.Как мы уже видели на простых примерах, в двухщелевой схеме попыткапоймать фотон на его проходе через определённую щель неизбежно локализует его траекторию и, следовательно, вызывает неопределённостьимпульса, нарушая фазовые соотношения и разрушая интерференцию.В этом случае серия измерений будет производить только простое нало-134Глава 5 Соотношения неопределённостейжение интенсивностей соответствующих отдельным щелям. Возможнойформализацией этой ситуации является введение суперпозиции двух амплитуд (двух компонент волновой функции) Ψ = Ψ1 +Ψ2 . При невозмущённомраспространении через щели эта полная амплитуда достигает экрана и образует интерференционную картину с интенсивностью, пропорциональной|Ψ|2 = |Ψ1 |2 + | 2 |2 + 2R (Ψ*1 Ψ2 ).(5.16)При распространении с промежуточной фиксацией траектории неопределённость результирующего импульса влечёт разрушение когерентности,интерференционный член исчезает, в результате чего|Ψ|2 = |Ψ1 |2 + |Ψ2 |2 .(5.17)Эти два типа экспериментов, один из которых связан с интерференционнойкартиной на экране без фиксации траектории даже в виде выбора между двумя щелями, а другой — с измерением промежуточных координатпучка и, соответственно, уничтожением интерференции, дополняют другдруга.
Различные эксперименты выделяют различные аспекты описания —волновые или корпускулярные. Корпускулярно-волновой дуализм — это неутверждение, что один и тот же объект ведёт себя в одном экспериментеодновременно и как волна, и как частица. Напротив, из-за дуализма такиеэксперименты невозможны.Связь между двумя (или более) типами экспериментов устанавливаетсяпутём статистической интерпретации.
Конкретный фотон может быть зарегистрирован в любом месте экрана. Большое число фотонов попадает вяркие места, где волновая интерпретация предсказывает большую интенсивность (5.16). Мы отождествляем интенсивность, или квадрат модуляволновой функции, с вероятностью квантового процесса. Максимальновозможная квантовая информация о системе — это знание вероятностейвсех возможных экспериментов.
Волновая функция кодирует все эти вероятности. Например, Ψ(r, ) непосредственно определяет вероятности координатных измерений, в то время как та же функция Φ(p, ), записаннаяв импульсном представлении, является амплитудой вероятности импульсных измерений. Квантовая динамика должна предсказать все соответствующие вероятности через динамические уравнения, которым подчиняетсяволновая функция системы.5.4 Волновой пакет: распространение1355.4 Волновой пакет: распространениеВо многих ситуациях мы хотели бы объединить корпускулярные и волновые свойства, пытаясь создать объект, насколько возможно близкийк классической частице с более или менее определённой траекторией иимпульсом. Не нарушая соотношения неопределённостей, мы можем позволить некоторые неопределённости координаты и импульса, допустимые спрактической точки зрения в соответствии с классическим представлениемо частице.
Пространственный размер волновой функции может быть малым по сравнению с характерным размером экспериментальной установки,например, размером вакуумной камеры или неоднородностью поля в ускорителе. В то же время неопределённость импульса может быть значительноменьше, чем средний импульс.
Полное решение задачи нахождения «лучшего» сочетания такого рода будет дано позже, исходя из общей теории,но уже сейчас мы можем рассмотреть распространение узких волновыхпакетов.Построим волновой пакет путём наложения компонент импульса с амплитудами (), которые имеют значительную величину и тот же знакв небольшом интервале Δ вокруг среднего значения 0 .
В области Δэнергия кванта () = ~() может быть приближённо представлена в видеразложения(︂ )︂+ ... ,(5.18)() ≈ 0 + ( − 0 ) 0где 0 = (0 ). С амплитудами, сосредоточенными в этом интервале,волновая функция может быть записана как∫︁Ψ(, ) = ()−() .(5.19)ΔВ приближении узкого пакета (5.18) находим{︂[︂(︂ )︂ ]︂}︂∫︁(0 −0 )Ψ(, ) ≈ () exp ( − 0 ) − . (5.20) 0Волновая функция — это «несущая» плоская волна для центра пакета(0 , 0 ) с «амплитудой» модуляции, задаваемой интегралом в формуле(5.20), которая по-прежнему зависит от координат и времени, но, предположительно, содержит только медленно меняющиеся компоненты с малымиволновыми векторами − 0 и частотами − 0 (рис.
5.6). Более того, эта136Глава 5 Соотношения неопределённостейРис. 5.6: Движущийся волновой пакетпеременная амплитуда на самом деле зависит не от времени и координатпо отдельности, а только от их комбинации − (/)0 . Для всех точек и моментов времени , связанных условием(︂ )︂− = c,(5.21) 0модуляция амплитуды имеет одно и то же значение. Это означает, чтов приближении (5.18) пакет движется как единое целое с групповой скоростью(︂ )︂,(5.22) = 0которая совпадает с классической скоростью частицы = / (сравните,например, с (3.91)).
Групповую скорость следует отличать от фазовойскорости ph = ()/. Заметим также, что конечная ширина в импульсномпространстве приводит к энергетическому разбросу Δ ≈ Δ, в то времякак за счёт конечного размера пакета в пространстве Δ время пролётатакже конечно Δ ∼ Δ/ . Поэтому соотношение неопределённостейэнергия-время Δ · Δ ∼ Δ · Δ (выражение (5.7)) тоже выполняется.Задача 5.3Волновой пакет распространяется в среде с законом дисперсии ph = +, где и — константы и — длина волны. Покажите, что произвольнаяпервоначальная форма волнового пакета периодически восстанавливается,и найдите этот период.Решение.5.4 Волновой пакет: распространение137Здесь () = ( + ) = + 2. По истечении времени волновойпакет∫︁∫︁−()−2Ψ(, ) =()=()−(5.23)22описывается уравнениемΨ(, + ) = −2(+ )∫︁()[−(+ )] .2(5.24)Сдвиг фазы под интегралом означает перемещение всего пакета на расстояние , в то время как полная фаза восстанавливается при = (целоечисло), т.
е. период равен 1/. Фазовая скорость равна (/ ) + , и мынаблюдаем волну из системы координат, где среда движется со скоростью ,которая добавляется к «естественной» скорости . Для линейного законадисперсии расплывания нет (раздел 5.5), и фазовая картина полностьювосстанавливается после смещения на длину волны.Если амплитуда () приблизительно постоянна в диапазоне Δ, то мыможем вывести её из интеграла (5.20), выполнив интегрирование точнотак же, как в уравнении (5.2). Максимум волнового пакета может бытьнайден из требования нулевой производной / фазы экспоненты вподынтегральном выражении (5.20):[︂(︂ )︂ ]︂() = ( − 0 ) − .(5.25) 0Условие стационарной фазы означает, что фаза не изменяется между смежными компонентами волнового пакета, их интерференция конструктивна,и в результате амплитуда максимальна.Не нарушая соотношения неопределённостей, мы пришли к тому, чтоцуг волн с огибающей, имеющей конечный размер Δ ∼ 1/Δ свободнодвижется с классической скоростью.
Расширив это описание на квазиклассический случай в присутствии внешних полей, медленно (по сравнению сΔ и Δ ∼ Δ/ ) изменяющихся в пространстве и времени, мы видим, чтодвижение может считаться свободным в каждом интервале малой длины.Затем мы повторяем тот же приём в следующих интервалах, при этомсредний импульс 0 будет плавно меняться вдоль пути и волновой пакетбудет двигаться близко к классической траектории.138Глава 5 Соотношения неопределённостей5.5 Расплывание волнового пакетаВышеприведённые соображения становятся точными, если закон дисперсии () линеен, как для распространения света в вакууме, когда = .Если это не так, то в разложении (5.18) присутствуют высшие члены. Онипривносят специфические квантовые эффекты, даже если ожидается, чтодвижение является почти классическим.
Причина состоит в том, что групповые скорости (5.22) в разных частях волнового пакета с нелинейнымзаконом дисперсии различны. Подразделяя пакет на меньшие части, мыувидим, что они движутся слегка по-разному и эти эффекты накапливаютсясо временем, приводя к искажению пакета.Из-за дисперсии разные гармоники волнового пакета пройдут разныерасстояния за одно и то же время . Двигаясь вдоль траектории, волновойпакет претерпевает квантовое расплывание. При неопределённости импульса Δ разброс скоростей для частицы с = есть Δ ∼ Δ/ и размербудет увеличиваться со временем как(Δ)s ∼ Δ · ∼Δ~∼.Δ(5.26)Поскольку начальная неопределённость положения (Δ)0 и дополнительноерасплывание (5.26) некогерентны, мы можем ожидать, что они складываются квадратично, так что пространственный размер пакета растётсо временем приблизительно как(Δ)2 ≈ (Δ)20 + (Δ)2s .(5.27)В обычных условиях для атомных и ядерных пучков, а также для пучковэлементарных частиц в ускорителях эффект квантового расплывания мали отстаёт от нормального движения вдоль траектории.Задача 5.4Оцените расплывание протонного пучка радиуса 0.1 мм с энергией 1 ГэВна пути 10 м от ускорителя до детектора.Задача 5.5Мячик для пинг-понга прыгает, упруго отражаясь от плоской платформырадиуса 5 см.
Оцените максимальное число отскоков.Задача 5.6Выведите оценку расплывания (5.27) прямым вычислением, учитываяследующий член в разложении (5.18).5.5 Расплывание волнового пакета139Задача 5.7Покажите, что расплывание релятивистского волнового пакета в направлении, перпендикулярном скорости, больше продольного расплыванияв 2 = (/2 )2 раз.Как показано в разделе 3.4, временная эволюция может быть описана (3.38) в терминах функции Грина (3.37). Для свободного движениястационарные состояния это плоские волны, так что с нормировкой (4.9)мы получаем в одномерном случае∫︁ (/~)[(−′ )−()(−′ )]′ ′(, ; , ) =.(5.28)2~Для невозмущённой эволюции пропагатор (3.37) всегда является функциейразности = − ′ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
