1625913942-569e7355de758cf58bf6a6d787d946b7 (536941), страница 23
Текст из файла (страница 23)
В соответствии с нашей вероятностной интерпретацией плотность вероятности () нахождения компоненты с частотой (в интервале от до + ) определяется квадратом модуля соответствующей Фурье-компоненты,() =c.| − (0 /~) + (/2)|2(5.78)Переходяк энергии, вводя Γ (5.76) и нормируя вероятность так, что∫︀ () = 1, мы приходим к распределению Лоренца() =1Γ.2 ( − 0 )2 + Γ2 /4(5.79)5.8 Ширина уровня155Лоренцева кривая (рис. 5.10) похожа на резонансную кривую классического осциллятора с частотой 0 /~ и затуханием [13] S 26. Величина Γ,равная ширине на половине максимальной высоты, обычно называетсяшириной уровня. Эта величина характеризует энергетический интервалвблизи резонансного значения 0 (центра тяжести резонансной кривой),в котором вероятность нахождения системы велика.Таким образом, возбуждённые состояния нестабильны и их время жизни связано с шириной Γ уравнением (5.76).
Для → ∞ кривая ()становится узкой, Γ → 0, и вытягивается вверх, как на рис. 5.10. Площадьпод кривой остаётся равной 1, так что (3.25)Γ→0:() → ( − 0 ),(5.80)и мы приходим к стационарному состоянию с определённой энергией 0 .По своему смыслу ширина Γ характеризует неопределённость энергии распадающейся системы, а уравнение (5.76) представляет ещё один аспектсоотношения неопределённостей энергия-время (5.7).
Это общий результат;он не зависит от точного выполнения экспоненциального закона (5.69),который привёл к лоренцевой кривой. Более того, можно ожидать (раздел 9.6 из III тома) отклонений от экспоненциального закона. В самомделе, лоренцева кривая имеет длинные хвосты при | − 0 | ≫ Γ. Притаком медленном убывании () среднеквадратичное отклонение энергииот средней,∫︁ ∞2(Δ) = ()( − 0 )2 ,(5.81)−∞расходится. Эта бесконечность является нефизической чертой распределения Лоренца. В любой реальной системе энергетический спектр не включаетвсе энергии от −∞ до +∞, он обрезается снизу на энергии основного состояния. Поэтому распределение энергий нестабильной системы не может бытьточно лоренцевым. Далёкие энергетические хвосты соответствуют согласнопринципу неопределённости очень коротким временам. Начальная стадияраспада должна отклоняться от экспоненты.
Отклонения также ожидаютсяпри очень больших временах ≫ , но внутри физически существенногоинтервала времени распад очень близок к экспоненциальному, и лоренцевазависимость обычно является хорошим приближением к реальности неочень далеко от центра резонансной кривой.156Глава 5 Соотношения неопределённостейE+ErecExcited stateEΓE–Erec"ωsourceE0Source"ωabsAbsorberGround stateРис. 5.11: Сохранение энергии и импульса в резонансной флуоресценции5.9 Ширина линии и эффект Мёссба́уэраВ системах, совершающих радиационный переход между начальнымсостоянием и конечным состоянием , детектор зарегистрирует фотоны счастотой = ( − )/~.
В силу неопределённости энергии нестабильногосостояния испускаемые фотоны будут иметь разброс частоты порядка Γ /~.Если конечное состояние также неустойчиво, то наблюдаемая ширинаспектральной линии будет определяться суммой Γ = Γ + Γ .Экспериментально измеренная ширина линии обычно превышает естественную ширину Γ. Тепловое движение атомов со скоростями тепл. приводит к доплеровскому уширению Γ ∼ (тепл. /)~. Столкновения атомовтакже заметно уширяют спектральные линии, так как атомные состояниявозмущаются от движения другого близко находящегося атома и этот нестационарный процесс нарушает монохроматичность волновой функции атома.Соответствующая ширина может быть оценена как Γстолкн.
∼ ~/столкн. ,где столкн. — это среднее время между столкновениями. Форма спектральной линии в среде также может быть отличной от той, которую имеетпокоящийся одиночный атом.Наблюдаемая ширина линии зависит от способа возбуждения системы.Один из возможных процессов возбуждения — это поглощение электромагнитной волны той же частоты, с которой впоследствии она будет испущена(резонансная флуоресценция или резонансное излучение). Если падающаяволна обладает широким энергетическим спектром Δ ≫ Γ, то все возбуждённые состояния могут быть заселены, а ширина линии излучения5.9 Ширина линии и эффект Мёссба́уэра157совпадёт с естественной радиационной шириной Γ.
Однако если падающаяволна имеет очень узкий спектр, что может быть достигнуто с помощьюлазера, Δ ≪ Γ, то вследствие закона сохранения энергии возбуждаютсятолько соответствующие Фурье-компоненты. В этом случае наблюдаемаяформа линии излучения воспроизведёт спектр падающей волны, а её ширина будет уже, чем естественная ширина. Возбуждение при столкновениях,как правило, характеризуется широким спектром.В отношении резонансной флуоресценции существует значительное отличие между атомами и ядрами (рис. 5.11). Предположим, что возбуждённоеядро 1 (источник ) в состоянии покоя излучает фотон с энергией ~источ.и рассмотрим, может ли этот фотон быть поглощён идентичным ядром 2.Фотон уносит импульс = ~источ. /, а исходное ядро приобретает равныйи противоположный по направлению импульс отдачи и, следовательно,кинетическую энергию отдачи отдачи .
Если ядро переходит из возбуждённого состояния в конечное состояние 0 , то из законов сохраненияследует, что: = 0 + ~источ. + отдачи ,отдачи =22отдачи~2 источ.=.22 2(5.82)Для ядра с атомной массой ∼ 50 и энергией возбуждения порядка − 0 ∼ 1 МэВ энергия отдачи (5.82) составляет величину порядка 10 эВ.Ядро 2 (поглотитель) принимает энергию и импульс фотона. Этот процесс (рис. 5.12) требует энергию фотона ~поглот. больше, чем энергиявозбуждения − 0 на ту же величину, что и энергия отдачи.
В результатевозникает рассогласование по энергии, равное~(поглот. − источ. ) ≈ 2отдачи .(5.83)Для низколежащих возбуждённых ядерных уровней со временем жизни,скажем, ∼ 10−13 с, ширина линии излучения (5.76) равна Γ ∼ 10−2 эВ, т. е.меньше, чем рассогласование по энергии (5.83). Поэтому отдача вследствиезакона сохранения импульса выбивает ядро за пределы резонанса. Еслиатомы двигаются, то доплеровское уширение может помочь, сдвигая резонанс в нужном направлении. Однако при комнатной температуре (для техже ядер):√︂tℎΓ ∼~ ∼~ ∼ 10−5 ~ ∼ 10 e ,(5.84) 2158Глава 5 Соотношения неопределённостейт.
е. это работает не всегда. Резонансная флюоресценция ядер наблюдаетсятолько при очень высоких температурах (или в случае специально двигающегося источника или поглотителя) или для уровней с аномально малымвременем жизни (большой шириной).Задача 5.14Сделайте подобную оценку (используйте (5.72)) для того, чтобы показатьвозможность наблюдения резонансной флюоресценции в атомной физикепри типичных условиях.Для ядер резонансную флуоресценцию можно наблюдать с помощьюэффекта Мёссбауэра (1958). В кристаллической решетке сильно связанныеядра позволяют производить излучение и поглощение фотонов без отдачи,так как существует заметная вероятность того, что в процессе излученияили поглощения импульс отдачи будет принят всей решёткой в целом.Энергией отдачи в этом случае можно пренебречь из-за макроскопическоймассы кристалла. В отличие от свободного ядра ядро, связанное потенциалом решётки, локализовано и поэтому имеет широкое распределение поимпульсу.
В частности, существуют Фурье-компоненты волновой функции,которые создают дополнительный импульс (аналог эффекта Доплера),необходимый для компенсации отдачи. Подобный эффект был известени до Мёссбауэра из физики медленных нейтронов, рассеивающихся наядрах в кристалле. Эффект Мёссбауэра позволяет наблюдать очень узкиеспектральные линии.
С помощью эффекта Доплера, двигая источник илипоглотитель с небольшими относительными скоростями порядка 1 мм/с,можно изменять отстройки для очень подробного исследования формыспектральных линий. Это даёт эффективный инструмент, чувствительныйк крошечным относительным сдвигам уровней, например, из-за разницы вхимическом составе окружающей среды или из-за слабого магнитного идаже гравитационного полей.5.10 Виртуальные процессы и релятивистские эффектыИз-за соотношения неопределённости энергия-время, точно определитьэнергию возможно только для процесса бесконечной продолжительности.Часто удобно разделить процесс на промежуточные этапы конечной длительности.
При обсуждении резонансной флуоресценции (раздел 5.9) мыговорили о фотонах, испускаемых источником и поглощаемых поглотителем, как о реальных частицах с = ~ и импульсом = /. Тем неменее если интервал времени Δ между актами излучения и поглощения5.10 Виртуальные процессы и релятивистские эффектыnnπ0n(a)pπ0nπ–nn159π+p(b)Рис. 5.12: Ядерные силы, возникающие через обмен нейтральными (a) и заряженными (b) мезонамистановится очень маленьким, то в силу соотношения неопределённостипонятие фотона с определённой энергией становится бессмысленным. В таком приближённом описании граница между частицей с определённымиэнергией и импульсом и промежуточным объектом, у которого недостаточно времени, чтобы приобрести свойства реальной частицы, становитсяразмытой и различие носит только количественный, а не качественныйхарактер.В таких ситуациях, мы говорим о виртуальных процессах или виртуальных состояниях системы.
Если, как в приведённом выше примере, «новая»частица появляется на короткий промежуток времени, то она тоже может называться виртуальной. Такой подход облегчает квантовое описаниесложных состояний, например, из двух атомов (или ядер) и электромагнитного поля, как в случае флуоресценции. Закон сохранения энергиивыполняется для всей системы в целом. Но в течение виртуального процесса энергия каждой подсистемы не имеет определённого значения. Этоисточник самой идеи о нестабильных состояниях, ширинах уровней и т.
д.Такое приближенное описание удобно из-за его непосредственной связис экспериментальными наблюдаемыми. Другие законы сохранения: импульса, момента импульса, заряда и т. д., всё ещё выполняются на каждом шаге.Есть ещё один тип описания, часто используемый в релятивистской квантовой теории, с законом сохранения энергии, выполняющемся на каждомшаге, но без стандартного соотношения (1.6) между энергией и импульсомвиртуальной частицы. Другими словами, в этом случае масса виртуальнойчастицы может принимать произвольные значения.Задача 5.15Известно, что радиус действия сильного взаимодействия между двумянуклонами порядка ∼ (1 ÷ 2) · 10−13 см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
