1625913942-569e7355de758cf58bf6a6d787d946b7 (536941), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Оцените массу самых лёгких160Глава 5 Соотношения неопределённостеймезонов в предположении, что ядерные силы действуют (рис. 5.12) путёмобмена мезонами.Решение.Излучение реального мезона единичным нуклоном запрещено закономсохранения энергии-импульса. Взаимодействие протекает как виртуальный процесс конечной продолжительности . Для того чтобы нуклоныпровзаимодействовали, виртуальный мезон должен иметь достаточно времени, чтобы пройти расстояние между ними , < . При наличиивиртуальных мезонов массы неопределённость энергии системы равна Δ ∼ 2 ∼ ~/ . Максимальное расстояние, которое мезон можетпролететь, определяет радиус действия ядерных сил: ∼ ∼~.(5.85)Другими словами, обмен квантами массы связывает частицы на расстоянии порядка комптоновской длины волны переносчика в соответствии с (1.39).
Для виртуального фотона = 0 сила является дальнодействующей (кулоновской). Нуклон-нуклонное взаимодействие на расстоянии ∼ 2 фм (5.85) предсказывает существование переносчика с массой ∼ 200 . Таким образом и было предсказано (Хидэки Юкава, 1935)существование -мезонов (пионов). Обмен пионами приводит к потенциалу Юкавы (1.50), который, однако, не достаточно силён для связываниядвух нуклонов (задача 1.8). Существование связанного протон-нейтронного состояния, дейтрона, обеспечивается дополнительным обменом болеетяжелыми мезонами.При более строгом рассмотрении мы должны использовать не отдельныенуклоны и виртуальные мезоны, а исследовать сложную систему взаимодействующих нуклонов и мезонного поля, причём эта система в целомбудет иметь в основном состоянии определённую энергию. Подобная идеяможет быть использована и при рассмотрении туннелирования (раздел 2.7).Виртуальные состояния возможны, когда частица попадает в запрещённуюобласть под барьером на короткое время Δ.
Это приводит к флуктуацииэнергии Δ ∼ ~/Δ. Для малых Δ «мгновенная» энергия частицы можетпревышать высоту барьера, и частица может преодолеть («перепрыгнуть»)запрещённую область. Это также исключает возможность «поймать» частицу под барьером, так как это потребует дополнительной энергии, большей,чем высота самого барьера. Нужно ещё раз подчеркнуть, что при точномрешении квантовых задач в понятии виртуального состояния нет необ-5.11 Ещё раз о пространственном квантовании161ходимости.
Полная волновая функция системы даёт всю информацию,позволяющую, в частности, найти вероятности процессов туннелирования.В задаче 5.15 существование предельной скорости распространения сигнала имеет ключевое значение. В общем случае в релятивистской областипоявляются новые ограничения поверх обычного квантового соотношениянеопределённости § 1 в ссылке [14].
Групповая скорость релятивистскоговолнового пакета со средней энергией и средним импульсом равна = 2 / < . Так как разбросы энергии и импульса пакета связаны,Δ ∼ Δ, а время прохождения удовлетворяет Δ ∼ ~/Δ, то мы приходим к новому ограничению (которое исчезает в пределе → ∞):Δ · Δ >~.(5.86)Это определяет оптимальную точность измерения импульса при заданнойпродолжительности процесса измерения.Другое соотношение ставит ограничения на само понятие одночастичного состояния.
Для того чтобы понятие частицы массы имело смысл,неопределённость энергии состояния должна заведомо быть меньше, чем2 , а, следовательно, продолжительность измерения Δ > ~/2 . Уравнение (5.86) задаёт границу неопределённости импульса Δ ∼ , и, следовательно, частицы в состоянии покоя не могут быть локализованы лучше,чем в пределах своей комптоновской длины:Δ >~~>= .Δ(5.87)При попытке лучшей локализации, неопределённости энергии и импульсамогут возрасти настолько, что становится энергетически возможным рождение новых частиц, и задача теряет одночастичный характер.
В этом случаевместо квантовой механики нужно использовать полную релятивистскуюквантовую теорию поля.5.11 Ещё раз о пространственном квантованииКак уже отмечалось в разделе 1.8, момент импульса квантовой системы квантуется и равен целому или полуцелому (в случае спина) числу,умноженному на ~.
В тексте мы всюду измеряем момент импульса (сравнить (4.34) и (4.68)) в единицах ~. Безразмерный вектор момента импульсамы по-прежнему обозначаем как ⃗ℓ.162Глава 5 Соотношения неопределённостейz"√l(l+1)"l"(l–1)"(l–2)Рис. 5.13: Пространственное квантование момента импульса и картина прецессииЕсли экспериментально выделить направление в пространстве и измерить, например, с помощью установки Штерна — Герлаха, проекцииуглового момента ℓ = на это направление, то возможны (2ℓ + 1) результатов измерения значения , которое меняется от −ℓ до +ℓ.
Вследствиеизотропности пространства аналогичное квантование будет обнаружено прилюбом выборе оси. Так как максимально возможная длина проекции — ℓ, тобыло бы√︀ естественно предположить, что длина вектора момента импульсаравна ⃗ℓ2 = ℓ. Однако такое предположение несовместимо с соотношениемнеопределённости.Предположим, что структура исследуемых частиц не имеет внутреннихкорреляций с каким-либо выделенным направлением.
Применив в опытеШтерна — Герлаха поле с различной ориентацией, мы с одинаковой вероятностью получим все возможные значения проекций моментов (конечнодля каждой частицы можно измерить только одну конкретную проекцию). Среднее значение ⃗ℓ2 по большому числу измерений (здесь измеренияотносятся к разным экспериментальным настройкам), в силу изотропии,равно⃗ℓ2 = ℓ2 + ℓ2 + ℓ2 = 3ℓ2 .(5.88)Так как возможные результаты квантованы, то среднее значение равно⃗ℓ2 =ℓℓ∑︁∑︁362 =2 .2ℓ + 12ℓ + 1=−=1(5.89)5.11 Ещё раз о пространственном квантовании163Вычисляя сумму квадратов целых чисел, мы получим⃗ℓ2 =6 ℓ(ℓ + 1)(2ℓ + 1)= ℓ(ℓ + 1).2ℓ + 16(5.90)Отсюда получается,что среднее значение «длины» вектора момента им√︀пульса равно ℓ(ℓ + 1) и, следовательно, всегда превышает максимальнуюпроекцию ℓ этого вектора на любое направление (рис. 5.13).Этот результат (он также верен и в случае квантования момента импульса по полуцелым числам) может показаться странным.
Его следуетинтерпретировать в духе соотношения неопределённости. Если существуетсостояние, в котором вектор ⃗ℓ в точности направлен вдоль определённой оси,то можно выбрать это направление в качестве оси квантования и измерениебудет обеспечивать проекцию на этом направленииравную максимально√︀2⃗возможному значению и совпадающую с ℓ . В действительности такоесостояние не существует. У нас есть новая пара связанных переменных ℓ иазимутальный угол .
В классической механике они являются каноническисопряжёнными, по аналогии с импульсом и координатой . В квантовоймеханике есть сходство между оператором импульса (4.29) и оператороммомента импульса (4.34) и (4.68). Они оба выражены как производные покоординатам, соответственно линейной и угловой, а в более строгом подходеони являются генераторами сдвига и поворота. Поэтому естественно ожидать соотношение неопределённости в виде Δ(~ℓ ) · Δ ∼ ~. Если это так,то состояние с вектором момента импульса, полностью ориентированнымвдоль определённой оси квантования, будет аналогом состояния плоскойволны с точно определённым импульсом . В этом состоянии азимутальныйугол будет неопределённым. Однако два взаимосвязанных условия делаютэто предположение неверным.Во-первых, компоненты ℓ и ℓ в этом предельном случае будут полностью установлены (равны нулю), что противоречило бы принципу неопределённости для этих компонент, так как полярный угол тоже имеет определённое значение = 0.
Во-вторых, неопределённость Δ не может бытьбесконечной, как того требует форма соотношения неопределённости, предложенная выше. Действительно, угол является компактной координатой,определённой только на интервале 2, и нет никакого смысла говорить о егобесконечной неопределённости. Более того, любая однозначная функцияот должна быть периодическая с периодом 2, как мы уже сталкивалисьс этим при создании полного набора азимутальных функций (4.71). Длявсех таких функций неопределённость угла, безусловно, конечна (равна164Глава 5 Соотношения неопределённостей√/ 3 независимо от выбора интервала длиной 2).Различие между импульсом с его бесконечным диапазоном в декартовыхкоординатах и момента импульса с его компактной областью определенияугла с точки зрения геометрии или топологии имеет определяющее значение. Формально это видно также и потому, что операторы ^ компонентимпульса коммутируют (4.57), в то время как компоненты момента импульса ℓ^ — нет (4.37).
Результат от двух последовательных сдвигов вдольпроизвольных направлений не зависит от порядка операций. В противоположность этому результат двух вращений вокруг разных осей действительно зависит от их порядка. Группа вращений в трехмерном пространствеявляется неабелевой. Многочисленные последствия этого будут освещеныв процессе изложения курса.Так как точное выравнивание вектора ⃗ℓ невозможно, то его «длина» всегда больше, чем максимальная величина его проекции. Ближайшим классическим аналогом является явление прецессии вектора момента импульсавокруг оси квантования (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
